Statistika 2: Inferensi Statistik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

Uji chi-kuadrat

Statistik uji
χ² = Σ(O − E)²/E
Uji kecocokan
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independensi
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai kritis (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Keputusan
tolak H0 jika χ² > χ²crit

2Soal latihan

1.Distribusi normalSedang
480 g486,2 gT = X₁ + … + X₁₂?

Massa baut saling bebas dan normal dengan rata-rata 40 g dan simpangan baku 1,2 g. Cari peluang P bahwa massa total 12 di antaranya di bawah 486,2 g. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 12< 486.2 g
P =
2.Distribusi normalSulit
0,02 mm0D − d?

Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,02 mm dan simpangan baku 0,01 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,01 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.

lubang: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
3.Selang kepercayaanSedang
n = 8, s = 19,5LUx̄ = 108E = ?99%

Sebuah sampel berisi 8 unit memiliki rata-rata 108 dan simpangan baku s = 19,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

n = 8x̄ = 108s = 19,599%t(7) = 3,499
E =
4.Selang kepercayaanSulit
p ≈ 0,7, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,02599%

Studi pendahuluan menunjukkan bahwa sekitar 0,7 produk cacat. Berapa produk n yang harus diperiksa agar selang kepercayaan 99% untuk proporsi memiliki margin galat paling banyak 0,025?

p ≈ 0,7E = 0,02599%
n =
5.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
−2,5712,571t = ?df = 5

6 karyawan mengikuti tes mengetik sebelum dan sesudah pelatihan. Untuk setiap orang dicatat selisih d = sesudah − sebelum (kata per menit). Rata-rata selisihnya −4,94 dan simpangan baku selisihnya 3,9. Tentukan statistik uji berpasangan t untuk H₀: μd = 0.

n = 6d̄ = −4,94sd = 3,9
t =
6.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
−1,961,96z = ?

Dalam suatu uji klinis, 30 dari 200 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 4 dari 100 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 30n₁ = 200x₂ = 4n₂ = 100
z =
7.Regresi linear & korelasiSedang
xy124223318418516xy2420

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 5Σx = 15Σy = 99Σx² = 55Σy² = 2009Σxy = 276
r =
8.Regresi linear & korelasiSulit
xy239343450559657765xy246405060x = 4,5

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 4,5.

n = 6x = 4,5
ŷ =
9.Uji chi-kuadratSedang
tanpa cacatcacat ringancacat beratTotalshift siang26322280shift malam282250100Total545472180

Tabel kontingensi menunjukkan frekuensi teramati. Hitung statistik chi-kuadrat χ² untuk uji independensi antara variabel baris dan variabel kolom. Jangan gunakan koreksi kontinuitas.

N = 1802 × 3
χ² =
10.Uji chi-kuadratSulit

Uji independensi chi-kuadrat dilakukan pada tabel kontingensi dengan 3 baris dan 4 kolom (tidak termasuk total). Berapa derajat kebebasan df uji tersebut?

3 × 4
df =

3Larutan

1.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,9319

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μT = 480 g, σT = 1,2·√12 = 4,157 g

Standarkan

z = (486,2 − 480)/4,157 = 1,49

Peluang

P = Φ(1,49) = 0,9319

Jawaban

P = 0,9319
2.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,9207

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01414 mm

Standarkan

z = (0 − 0,02)/0,01414 = −1,41

Peluang

P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207

Jawaban

P = 0,9207
3.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 24,12

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 7, t = 3,499

Margin galat

E = 3,499·19,5/√8 = 24,12

Jawaban

E = 24,12
4.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 2230

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 2,576²·0,7·0,3/0,025² = 2230

Bulatkan ke atas

n = 2230

Jawaban

n = 2230
5.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −3,103

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Galat baku rata-rata selisih

SE = 3,9/√6 = 1,592

Statistik uji

t = −4,94/1,592 = −3,103

Jawaban

t = −3,103

Dengan df = 5, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,571; |t| lebih besar, jadi H₀ ditolak.

6.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = 2,833

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporsi sampel

p̂₁ = 30/200 = 0,15
p̂₂ = 4/100 = 0,04
p̂ = 34/300 = 0,1133

Galat baku menurut H₀

SE = √(0,1133·0,8867·(1/200 + 1/100)) = 0,03882

Statistik uji

z = (0,15 − 0,04)/0,03882 = 2,833

Jawaban

z = 2,833

|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

7.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = −0,9506

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

Sxy = 276 − 15·99/5 = −21
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2009 − 99²/5 = 48,8

Koefisien korelasi

r = −21/√(10·48,8) = −0,9506

Jawaban

r = −0,9506
8.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 52,17

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 313/6 = 52,17

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90,5

Garis regresi

b = 90,5/17,5 = 5,171
a = 52,17 − 5,171·4,5 = 28,9
ŷ = 28,9 + 5,171·x

Prediksi

ŷ = 28,9 + 5,171·4,5 = 52,17

Jawaban

ŷ = 52,17
9.Uji chi-kuadrat

Jawaban: χ² = 10,72

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Frekuensi harapan

shift siang: 80·54/180 = 24, 80·54/180 = 24, 80·72/180 = 32
shift malam: 100·54/180 = 30, 100·54/180 = 30, 100·72/180 = 40

Statistik chi-kuadrat

χ² = (26 − 24)²/24 + (32 − 24)²/24 + (22 − 32)²/32 + (28 − 30)²/30 + (22 − 30)²/30 + (50 − 40)²/40
χ² = 10,72

Jawaban

χ² = 10,72

df = 2. Pada α = 0,05 nilai kritisnya 5,991, sehingga H₀ (independensi) ditolak.

10.Uji chi-kuadrat

Jawaban: df = 6

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Derajat kebebasan

df = (3 − 1)·(4 − 1) = 6

Jawaban

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference