Statistika 2: Inferensi Statistik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Uji chi-kuadrat

Statistik uji: χ² = Σ(O − E)²/E
Uji kecocokan: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independensi: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai kritis (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Keputusan: tolak H₀ jika χ² > χ²_crit

2Soal latihan

1.Distribusi normalSedang

X normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 4 g; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 500 g dan simpangan baku 9 g. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 742,1 g. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 742,1 g

P =

2.Distribusi normalSulit

nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Seret batas sehingga 70% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.

μ = 65 poinσ = 10 poin70%

x = poin

3.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 11 unit memiliki rata-rata 108 dan simpangan baku s = 4. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

n = 11x̄ = 108s = 490%t(10) = 1,812

E =

4.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 6. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1,5?

σ = 6E = 1,595%

n =

5.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

11 karyawan mengikuti tes mengetik sebelum dan sesudah pelatihan. Untuk setiap orang dicatat selisih d = sesudah − sebelum (kata per menit). Rata-rata selisihnya −3,14 dan simpangan baku selisihnya 4. Tentukan statistik uji berpasangan t untuk H₀: μ_d = 0.

n = 11d̄ = −3,14s_d = 4

t =

6.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Seberapa besar sampel harus agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1? Simpangan bakunya 5. Tentukan ukuran sampel terkecil n.

σ = 5E = 199%

n =

7.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 6

r² =

8.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (1,5, 24) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 5(1,5, 24)

e =

9.Uji chi-kuadratSedang

Tabel kontingensi menunjukkan frekuensi teramati. Hitung statistik chi-kuadrat χ² untuk uji independensi antara variabel baris dan variabel kolom. Jangan gunakan koreksi kontinuitas.

N = 1002 × 2

χ² =

10.Uji chi-kuadratSulit

Tabel menunjukkan frekuensi teramati. Uji pada α = 0,05 apakah kedua variabel independen (tanpa koreksi kontinuitas). Hitung statistik uji χ², lalu bandingkan dengan nilai kritis dari tabel.

N = 2003 × 2α = 0,05

χ² =

3Larutan

1.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7881

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi jumlah

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standarkan

z = (742,1 − 750)/9,849 = −0,8

Ekor atas

P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881

Jawaban

P = 0,7881

2.Distribusi normal

Jawaban: x = 70,2 poin

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,7

z dari tabel

z ≈ 0,52

Kembali ke satuan semula

x = 65 + 0,52·10 = 70,2 poin

Jawaban

x = 70,2 poin

3.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 2,185

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 10, t = 1,812

Margin galat

E = 1,812·4/√11 = 2,185

Jawaban

E = 2,185

4.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 62

Selesaikan untuk n

n = (1,96·6/1,5)² = 61,47

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 62

Jawaban

n = 62

5.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −2,604

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Galat baku rata-rata selisih

SE = 4/√11 = 1,206

Statistik uji

t = −3,14/1,206 = −2,604

Jawaban

t = −2,604

Dengan df = 10, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,228; |t| lebih besar, jadi H₀ ditolak.

6.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 166

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Selesaikan untuk n

n = (2,576·5/1)² = 165,9

Bulatkan ke atas

n = 166

Jawaban

n = 166

7.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9885

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 809/6 = 134,8

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 949,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 5791

Koefisien determinasi

r² = 949,5²/(157,5·5791) = 0,9885

Jawaban

r² = 0,9885

Sekitar 98,85% variasi y dijelaskan oleh garis.

8.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 1,9

Rata-rata

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 91/5 = 18,2

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

Garis regresi

b = −26/10 = −2,6

a = 18,2 − (−2,6)·3 = 26

ŷ = 26 − 2,6·x

Nilai prediksi

ŷ = 26 + (−2,6)·1,5 = 22,1

Residu

e = 24 − 22,1 = 1,9

Jawaban

e = 1,9

Titik terletak di atas garis.

9.Uji chi-kuadrat

Jawaban: χ² = 20,37

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Frekuensi harapan

pria: 60·55/100 = 33, 60·45/100 = 27

wanita: 40·55/100 = 22, 40·45/100 = 18

Statistik chi-kuadrat

χ² = (44 − 33)²/33 + (16 − 27)²/27 + (11 − 22)²/22 + (29 − 18)²/18

χ² = 20,37

Jawaban

χ² = 20,37

df = 1. Pada α = 0,05 nilai kritisnya 3,841, sehingga H₀ (independensi) ditolak.

10.Uji chi-kuadrat

Jawaban: χ² = 29,35

Frekuensi harapan

usia 18–30: 48, 12

usia 31–50: 64, 16

usia 51+: 48, 12

Statistik chi-kuadrat

χ² = (41 − 48)²/48 + (19 − 12)²/12 + (79 − 64)²/64 + (1 − 16)²/16 + (40 − 48)²/48 + (20 − 12)²/12

χ² = 29,35

Keputusan

df = 2, χ²_crit = 5,991

29,35 > 5,991

Jawaban

χ² = 29,35

χ² di atas nilai kritis, sehingga H₀ ditolak: variabel-variabelnya tampak berhubungan.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference