Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
P1​ = 50 kNP2​ = 10 kNABRA​ = ?RB​4 m3 m3 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RA.

L = 10 mP1 = 50 kN di 4 mP2 = 10 kN di 7 m
RA = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
w = 10 kN/mP = 70 kNABCRA​ = ?2 m4 m4 m

Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 6 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P pada 2 m dari A dan beban merata w dari 6 m sampai ujung bebas di 10 m. Cari reaksi vertikal RA, dengan arah ke atas positif.

AB = 6 mAC = 10 mP = 70 kN di 2 mw = 10 kN/m dari 6 sampai 10 m
RA = kN
3.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 12 kN/mP = 80 kNAB0,5 m3,5 m

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 0,5 m dari A. Cari momen lentur MA di tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mP = 80 kN di 0,5 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 4 m
MA = kN·m
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 3 kN/mP = 20 kNABpotongan3 m7 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 3 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mP = 20 kN di 3 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 3 m
Mx = kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABBCACACB15 kN6 m5 m2 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 2 mB berjarak 5 m dari Abeban vertikal = 15 kN
FAC = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB30 kN15 kN8 m6 m2 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FBC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 2 mB berjarak 6 m dari Abeban vertikal = 30 kNbeban horizontal = 15 kN ←
FBC = kN
7.Lendutan balokSedang
P = 24 kNABδ1,5 m3,5 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 1,5 m dari tumpuan A. Cari lendutan δP di bawah beban.

P = 24 kNa = 1,5 mL = 5 mE = 200 GPa (baja)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Lendutan balokSulit
w = 4 kN/mδL = 8 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 4 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Tekuk kolomSedang
PL = 3 m25 × 100 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 4 md = 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 33 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

P1​ = 50 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​4 m3 m3 m

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣMA = 0: RB·10 = 50·4 + 10·7
RB = 270/10 = 27 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 27 = 33 kN

Jawaban

RA = 33 kN
2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 33,33 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Resultan beban merata

W = 10·4 = 40 kN, x̄ = (6 + 10)/2 = 8 m

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣMA = 0: RB·6 = 70·2 + 40·8
RB = 460/6 = 76,67 kN
RA = 110 − 76,67 = 33,33 kN

Jawaban

RA = 33,33 kN
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: MA = −136 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Ambil bagian ujung bebas

P: −80·0,5 = −40 kN·m
w: −12·4²/2 = −96 kN·m
MA = −40 − 96 = −136 kN·m

Jawaban

MA = −136 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 73,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, bekerja di x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·3 + 3·10·5
RB = 210/10 = 21 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 21 = 29 kN
w = 3 kN/mP = 20 kNABRA​ = 29RB​ = 21potongan3 m7 m

Potong di x = 3 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 29·3 − 3·3·1,5 = 73,5 kN·m

Jawaban

Mx = 73,5 kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAC = 6,25 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·6 = 15·5 → Cy = 12,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 12,5 = 2,5 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −12,5/0,8944 = −13,98 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−13,98)·0,4472 = 6,25 kN

Jawaban

FAC = 6,25 kN (tarik)
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FBC = −26,52 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB30 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·8 = 30·6 − 15·2 → Cy = 18,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 18,75 = 11,25 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −18,75/0,7071 = −26,52 kN

Jawaban

FBC = −26,52 kN (tekan)
7.Lendutan balok

Jawaban: δP = 18,38 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 24000 N, a = 1500 mm, b = 3500 mm, L = 5000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 24000·1500²·3500²/(3·2,4 × 10¹²·5000) = 18,38 mm

Jawaban

δP = 18,38 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 137,1 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·8000⁴/(384·70000·22,22) = 1,371 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 137,1 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 137,1 × 10⁶ mm⁴
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 2,499 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·3000 = 6000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/6000² = 2499 N = 2,499 kN

Jawaban

Pcr = 2,499 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 35,25 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0,7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/20 = 140

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Jawaban

σcr = 35,25 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis