Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Calcola il limite L = limx→∞ (1 + 2/x)3x. Dai un valore decimale.
Calcola il limite L = limx→0 (1 − cos 4x)/(x²), con x in radianti.
Sia f(x) = ln(2x2 + 2). Trova f′(−2).
Sia f(x) = x3 + 6x2 + 9x + 1. Trova l'ascissa x del minimo locale.
Una lattina cilindrica chiusa (con coperchio e fondo) deve contenere 355 cm³. Il metallo usato è proporzionale alla superficie totale. Trova il raggio r che usa meno materiale.
Una piccola impresa vende il suo prodotto a un prezzo di mercato fisso di €45 per unità. Produrre q unità costa C(q) = 100 + 26q + 0,25q² euro. Trova il profitto massimo P.
La regione sotto y = 3x da x = 0 a x = 3 viene ruotata attorno all’asse x. Trova il volume V del solido (un cono).
Trova l'area A della regione tra la parabola y = 9 − x² e l'asse x.
Risposta: L = 403,4
Limiti: prova prima la sostituzione diretta. Se dà 0/0, semplifica prima: scomponi e semplifica il fattore comune, oppure moltiplica per il coniugato. Per x → ∞, dividi numeratore e denominatore per la potenza più alta di x. Regola di de l’Hôpital: se f/g dà 0/0 o ∞/∞, allora lim f/g = lim f′/g′, derivando separatamente numeratore e denominatore (non con la regola del quoziente).
ln(1 + u)/u → 1 per u → 0, quindi x·ln(1 + a/x) → a.
Risposta: L = 8
Limiti: prova prima la sostituzione diretta. Se dà 0/0, semplifica prima: scomponi e semplifica il fattore comune, oppure moltiplica per il coniugato. Per x → ∞, dividi numeratore e denominatore per la potenza più alta di x. Regola di de l’Hôpital: se f/g dà 0/0 o ∞/∞, allora lim f/g = lim f′/g′, derivando separatamente numeratore e denominatore (non con la regola del quoziente).
Risposta: f′(−2) = −0,8
Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.
Risposta: x = −1
Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.
f″(x) = 6x + 12: negativa in un massimo, positiva in un minimo.
Risposta: r = 3,837 cm
Ottimizzazione: scrivi la grandezza da ottimizzare come funzione di una sola variabile, usando il vincolo per eliminare l’altra. Poni la derivata uguale a zero e risolvi. Verifica che il punto critico sia un massimo o un minimo (derivata seconda o cambio di segno della derivata prima) e che si trovi nell’intervallo ammesso; un estremo come un lato di lunghezza zero non è la risposta.
A″(r) = 4π + 1420/r³ > 0, quindi è un minimo.
La lattina chiusa più economica è alta quanto è larga: h = 2r.
Risposta: P = 261 €
Ottimizzazione: scrivi la grandezza da ottimizzare come funzione di una sola variabile, usando il vincolo per eliminare l’altra. Poni la derivata uguale a zero e risolvi. Verifica che il punto critico sia un massimo o un minimo (derivata seconda o cambio di segno della derivata prima) e che si trovi nell’intervallo ammesso; un estremo come un lato di lunghezza zero non è la risposta.
P″(q) = −0,5 < 0, quindi è un massimo.
Risposta: V = 254,5
Volumi di rotazione: ruotando attorno all’asse x la regione sotto y = f(x) da x = a a x = b si ottiene un solido la cui sezione in x è un disco di raggio f(x). Sommando i dischi si ha V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Quando la regione sta tra una curva esterna R(x) e una interna r(x), ogni fetta è una rondella: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleva al quadrato i raggi prima di sottrarli.
Verifica: un cono di raggio 9 e altezza 3 ha (1/3)πr²h = 254,5.
Risposta: A = 36
Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.
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