Analisi matematica 1: esercizi e domande d’esame

Derivate e integrali: le regole di derivazione, applicazioni come rette tangenti e ottimizzazione, e le principali tecniche di integrazione.

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Argomenti di questo corso

  1. Limitisostituzione diretta e scomposizione · limiti all’infinito · Regola di de l’Hôpitalcalcoli
  2. Derivateregola della potenza · regole della catena e del prodotto · tangenti ed estremicalcoli
  3. Ottimizzazionearea o volume massimo · costo o materiale minimo · profitto e ricavocalcoli
  4. Integralipolinomi · esponenziali, logaritmi e sostituzione · aree tra curvecalcoli

Consigli per l’esame di Analisi matematica 1

  • Scrivi per intero la regola della catena: la derivata della funzione esterna per la derivata di quella interna.
  • Verifica un integrale derivando il risultato.
  • In un integrale definito, una sostituzione cambia anche gli estremi di integrazione.

Esempi svolti

LimitiFacile
xyx = 1

Calcola il limite L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1).

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

Calcola L

Mostra i suggerimenti
  1. La sostituzione dà 0/0. Scomponi il numeratore.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Limiti: prova prima la sostituzione diretta. Se dà 0/0, semplifica prima: scomponi e semplifica il fattore comune, oppure moltiplica per il coniugato. Per x → ∞, dividi numeratore e denominatore per la potenza più alta di x. Regola di de l’Hôpital: se f/g dà 0/0 o ∞/∞, allora lim f/g = lim f′/g′, derivando separatamente numeratore e denominatore (non con la regola del quoziente).

Prova la sostituzione diretta

numeratore → 0 e denominatore → 0, quindi la forma è 0/0.

Scomponi e semplifica

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

Sostituisci

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

Risposta

L = 4

Questa è la derivata di xⁿ in x = a: n·aⁿ⁻¹.

DerivateMedia
xyx = 1

Sia f(x) = x3·e−x. Trova f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

Calcola f′(1)

Mostra i suggerimenti
  1. Regola del prodotto con u = x3 e v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.

Regola del prodotto

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Sostituisci

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Risposta

f′(1) = 0,7358

Come funziona l’esercitazione

  • “Esercitati su questo corso” mescola esercizi di tutti i suoi argomenti, come in un vero esame.
  • Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta.
  • Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
  • Le simulazioni d’esame sono a tempo e senza suggerimenti; alla fine ricevi il punteggio e una revisione completa.

Calcolatrici per questo corso

Calcolatrice di derivate con passaggiCalcolatrice di integrali (definiti e indefiniti)

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