Ottimizzazione: esercizi con soluzioni passo passo
Esercizi gratuiti su Ottimizzazione con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: area o volume massimo, costo o materiale minimo, profitto e ricavo.
Esercizio gratuitoFacile
Un agricoltore ha 240 m di recinzione per recintare un campo rettangolare lungo un fiume rettilineo. Lungo il fiume non serve recinzione. Trova l’area massima A che si può recintare.
Ottimizzare significa trovare il valore migliore: l’area più grande per una data lunghezza di recinzione, il minimo di metallo per una lattina, o il massimo profitto.
La grandezza che vuoi rendere più grande o più piccola possibile dipende da una variabile, per esempio la larghezza x di un campo.
Immagina il suo grafico. In cima a una collina e sul fondo di una valle, il grafico è piatto per un istante. Quindi lì la pendenza è zero.
Questa è l’idea chiave: in un massimo o in un minimo, la derivata è 0. Trovi la x migliore risolvendo Q′(x) = 0.
Autoverifica L’area A(x) di un campo ha il suo valore massimo in x = 12. Quanto vale A′(12)?
0
Lo stesso di A(12)
Un numero negativo
Un numero positivo
Risposta: 0. In cima al grafico la tangente è orizzontale, quindi la pendenza è 0. Una pendenza positiva significherebbe che l’area sta ancora aumentando.
2L’obiettivo e il vincolo
Ogni problema di ottimizzazione ha due parti. Dai loro un nome prima di calcolare qualsiasi cosa.
L’obiettivo: la grandezza da massimizzare o minimizzare, come un’area A o un costo C.
Il vincolo: una condizione fissa, come la lunghezza totale della recinzione o il volume che una lattina deve contenere.
L’obiettivo di solito ha due variabili, per esempio A = x · y. Questa non si può ancora derivare.
Usa il vincolo per scrivere y in funzione di x. Allora l’obiettivo dipende solo da x.
Esempio: un rettangolo con un perimetro di 20 m ha 2x + 2y = 20, quindi y = 10 − x e A(x) = x(10 − x) = 10x − x².
Fai prima uno schizzo e scrivi su di esso ogni lunghezza. La maggior parte degli errori avviene nel vincolo.
Autoverifica Un campo lungo un fiume è recintato su tre lati con 40 m: due lati di lunghezza x e un lato y parallelo al fiume. Qual è il vincolo?
2x + 2y = 40
2x + y = 40
x + y = 40
x · y = 40
Risposta: 2x + y = 40. Ci sono tre recinzioni: x, x e y. Il lato sul fiume non ha bisogno di recinzione. 2x + 2y sarebbe un rettangolo completo con quattro lati recintati.
3Problemi di costo e profitto
Nei problemi aziendali, l’obiettivo è il profitto: ricavo meno costo.
P(q) = R(q) − C(q), R = p · q
Qui q è il numero di unità vendute e p il prezzo per unità. Se il prezzo dipende da q, inserisci prima quella formula in R.
Esempio: il prezzo è p = 60 − q e il costo è C = 100 + 30q.
R = (60 − q)·q = 60q − q²
P = 60q − q² − 100 − 30q = −q² + 30q − 100
P′(q) = −2q + 30 = 0 ⇒ q = 15
Il prezzo migliore è allora p = 60 − 15 = €45. Leggi con attenzione la domanda: può chiedere q, p o il profitto P stesso.
Autoverifica Un prodotto si vende a €40 per unità. Il costo di q unità è C = 100 + 10q + 0,5q² euro. Quale produzione q dà il massimo profitto?
15
30
40
60
Risposta: 30. P = 40q − 100 − 10q − 0,5q², quindi P′ = 30 − q = 0 e q = 30. Dimenticare il 2 quando derivi 0,5q² dà 60.
4Il metodo passo dopo passo
Fai uno schizzo e dai un nome alle variabili.
Scrivi l’obiettivo Q (area, costo, profitto) e il vincolo.
Usa il vincolo per scrivere Q come funzione di una sola variabile, Q(x).
Deriva e risolvi Q′(x) = 0.
Controlla che sia il tipo di punto giusto: Q″ < 0 per un massimo, Q″ > 0 per un minimo.
Rispondi alla domanda posta: x, l’altro lato, o il valore ottimo di Q stesso, con le unità.
5Un esempio svolto
Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.
Esempio svolto
Un agricoltore ha 60 m di recinzione per un campo rettangolare lungo un fiume rettilineo. Lungo il fiume non serve recinzione. Trova il lato y parallelo al fiume e l’area massima A.
1
Schizzo e vincolo
Il fiume è in alto, quindi serve recinzione solo su tre lati: due lati x e un lato y.
2x + y = 60 ⇒ y = 60 − 2x
2
Area in una variabile
A = x · y = x(60 − 2x) = 60x − 2x²
3
Poni la derivata uguale a zero
A′(x) = 60 − 4x = 0 ⇒ x = 15 m
4
È un massimo?
A″(x) = −4 < 0
La derivata seconda è negativa, quindi x = 15 m dà l’area massima.
5
Altro lato e area
y = 60 − 2 · 15 = 30 m
A = 15 · 30 = 450 m²
6
Controlla il risultato
Prova un valore da ciascun lato. x = 14 dà 14 · 32 = 448 m², e x = 16 dà 16 · 28 = 448 m². Entrambi sono minori di 450 m².
Risposta
y = 30 m e l’area massima è A = 450 m².
6Errori comuni
Dare la risposta per la grandezza sbagliata: la domanda chiede y, e tu dai x.
Derivare un obiettivo che ha ancora due variabili. Usa prima il vincolo.
Scrivere il vincolo sbagliato, per esempio recintando anche il lato sul fiume.
Non verificare se il punto è un massimo o un minimo.
Dimenticare le unità, o dare un’area in m invece che in m².
Autoverifica Con 40 m di recinzione lungo un fiume (2x + y = 40), la larghezza ottima è x = 10 m. La domanda chiede il lato y parallelo al fiume. Che cosa rispondi?
10 m
20 m
200 m²
40 m
Risposta: 20 m. y = 40 − 2 · 10 = 20 m. Rispondere 10 m dà x invece di y, e 200 m² è l’area, non un lato.
7Come sono fatte le domande d’esame
Facile: area o volume massimi, come un campo lungo un fiume o un recinto diviso da una recinzione in più.
Medio: costo o materiale minimi, come una lattina chiusa (V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh) o una recinzione con due prezzi al metro.
Difficile: profitto e ricavo. Costruisci P = R − C, risolvi P′(q) = 0, poi trova il prezzo o il profitto massimo.
Un controllo rapido: inserisci in Q un valore poco sopra e uno poco sotto la tua risposta. Entrambi devono essere peggiori.
Una scatola aperta si ottiene da un foglio quadrato di cartone di 18 cm × 18 cm ritagliando dai quattro angoli quadrati uguali di lato x e ripiegando i lati. Trova il volume massimo possibile V.
18 cm × 18 cm
Calcola V(cm³)
Mostra i suggerimenti
La base misura (18 − 2x) per (18 − 2x) e l’altezza è x.
V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x.
V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0. Ha senso solo una radice con 0 < x < 9.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Ottimizzazione: scrivi la grandezza da ottimizzare come funzione di una sola variabile, usando il vincolo per eliminare l’altra. Poni la derivata uguale a zero e risolvi. Verifica che il punto critico sia un massimo o un minimo (derivata seconda o cambio di segno della derivata prima) e che si trovi nell’intervallo ammesso; un estremo come un lato di lunghezza zero non è la risposta.
Volume in funzione di x
V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x
Poni la derivata uguale a zero
La radice maggiore dà un lato della base ≤ 0, quindi è fuori dall’intervallo ammesso.
V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0
x = 3 oppure x = 9
x = 3 cm
Volume
V = 3·12·12 = 432 cm³
Risposta
V = 432 cm³
Esempio 2Media
Una lattina cilindrica chiusa (con coperchio e fondo) deve contenere 400 cm³. Il metallo usato è proporzionale alla superficie totale. Trova la superficie minima possibile A.
V = 400 cm³
Calcola A(cm²)
Mostra i suggerimenti
Usa il volume per eliminare h: πr²h = 400, quindi h = 400/(πr²).
A(r) = 2πr² + 2·400/r.
A′(r) = 4πr − 2·400/r² = 0 → r³ = 400/(2π).
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Ottimizzazione: scrivi la grandezza da ottimizzare come funzione di una sola variabile, usando il vincolo per eliminare l’altra. Poni la derivata uguale a zero e risolvi. Verifica che il punto critico sia un massimo o un minimo (derivata seconda o cambio di segno della derivata prima) e che si trovi nell’intervallo ammesso; un estremo come un lato di lunghezza zero non è la risposta.
Area in funzione di r
h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r
Poni la derivata uguale a zero
A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, quindi è un minimo.
4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3,993 cm
Altezza e area
h = 400/(π·3,993²) = 2r = 7,986 cm
A = 2π·3,993² + 800/3,993 = 300,5 cm²
Risposta
A = 300,5 cm²
La lattina chiusa più economica è alta quanto è larga: h = 2r.
Esempio 3Difficile
Un teatro vende 580 biglietti per spettacolo a €10 ciascuno. Un’indagine di mercato mostra che ogni aumento di €1 del prezzo del biglietto comporta 20 biglietti venduti in meno (e ogni diminuzione di €1, 20 in più). Trova il ricavo massimo R per spettacolo.
Ottimizzazione: scrivi la grandezza da ottimizzare come funzione di una sola variabile, usando il vincolo per eliminare l’altra. Poni la derivata uguale a zero e risolvi. Verifica che il punto critico sia un massimo o un minimo (derivata seconda o cambio di segno della derivata prima) e che si trovi nell’intervallo ammesso; un estremo come un lato di lunghezza zero non è la risposta.
Ricavo in funzione del prezzo
n(p) = 780 − 20p
R(p) = 780p − 20p²
Poni la derivata uguale a zero
R″(p) = −40 < 0, quindi è un massimo.
p = 780/40 = €19,5
Ricavo massimo
n = 780 − 20·19,5 = 390
R = 19,5·390 = €7605
Risposta
R = €7605
Domande e risposte
Ottimizzazione: di cosa si tratta?
Ottimizzare significa trovare il valore migliore: l’area più grande per una data lunghezza di recinzione, il minimo di metallo per una lattina, o il massimo profitto.
La grandezza che vuoi rendere più grande o più piccola possibile dipende da una variabile, per esempio la larghezza x di un campo.
Ottimizzazione: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
Ottimizzazione: scrivi la grandezza da ottimizzare come funzione di una sola variabile, usando il vincolo per eliminare l’altra. Poni la derivata uguale a zero e risolvi. Verifica che il punto critico sia un massimo o un minimo (derivata seconda o cambio di segno della derivata prima) e che si trovi nell’intervallo ammesso; un estremo come un lato di lunghezza zero non è la risposta.
Ottimizzazione: quali sono gli errori più comuni?
Ogni lato della base perde un quadrato a entrambe le estremità, quindi i lati della base sono a − 2x e b − 2x, non a − x e b − x.
La lattina è chiusa: conta sia il coperchio sia il fondo, A = 2πr² + 2πrh.
Questo è il ricavo al prezzo attuale. Trova prima il prezzo per cui R′(p) = 0.
Ottimizzazione: che cosa si esercita?
Facile: area o volume massimo
Media: costo o materiale minimo
Difficile: profitto e ricavo
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta. Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
Come funziona l’esercitazione
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta.
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I tuoi progressi, i tuoi errori e gli esercizi salvati restano memorizzati, così puoi ripassare prima dell’esame.