Regressione lineare e correlazione: esercizi con soluzioni passo passo

Detto anche: retta di regressione · coefficiente di correlazione · minimi quadrati

Esercizi gratuiti su Regressione lineare e correlazione con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: pendenza e intercetta, coefficiente di correlazione, previsione.

Esercizio gratuitoFacile
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La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Trova l’intercetta a.

n = 6
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Su cosa ti eserciti

  1. Facilependenza e intercetta
  2. Mediacoefficiente di correlazione
  3. Difficileprevisione

Formule chiave

Somme dei quadrati
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza
b = Sxy/Sxx
Intercetta
a = ȳ − b·x̄
Correlazione
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residuo
e = y − ŷ

Impara Regressione lineare e correlazione da zero

Prima di questo: Statistica descrittiva

1Che cos’è la regressione

Per ogni caso misuri due grandezze, per esempio x = ore di studio e y = voto dell’esame. Ogni coppia è un punto in un diagramma di dispersione.

xy123456246810

Se i punti stanno più o meno lungo una retta, puoi descriverli con una retta e usarla per prevedere y da x. Questa è la regressione lineare.

ŷ = a + b · x
  • ŷ (“y cappello”) è il valore previsto di y.
  • b è il coefficiente angolare: di quanto cambia ŷ quando x aumenta di 1.
  • a è l’intercetta: il valore di ŷ per x = 0.
Autoverifica Una retta di regressione è ŷ = 40 + 5x, con x le ore di studio e ŷ il voto previsto. Che cosa significa il 5?
  1. Il voto è 5 volte le ore
  2. La retta passa per (5, 40)
  3. Ogni ora in più aggiunge circa 5 punti
  4. Uno studente che non studia ottiene 5

Risposta: Ogni ora in più aggiunge circa 5 punti. Il coefficiente angolare b è la variazione di ŷ per unità di x. Il voto previsto per x = 0 è l’intercetta a = 40, non 5.

2La retta dei minimi quadrati

Nessuna retta passa per ogni punto. La distanza verticale da un punto alla retta è il suo residuo, e = y − ŷ.

La retta dei minimi quadrati è la retta con la minima somma possibile dei residui al quadrato. Il suo coefficiente angolare e la sua intercetta derivano da somme di scarti dalle medie:

Sxx = Σ(x − x̄)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)
b = Sxy / Sxx, a = ȳ − b · x̄

La retta passa sempre per il punto delle medie (x̄, ȳ). Per questo a = ȳ − b · x̄.

Se sono date solo le somme, usa le scorciatoie Sxx = Σx² − (Σx)²/n e Sxy = Σxy − ΣxΣy/n.

Autoverifica Per un insieme di dati x̄ = 4, ȳ = 10 e b = 2. Quanto vale l’intercetta a?
  1. 10
  2. 18
  3. 2
  4. −2

Risposta: 2. a = ȳ − b · x̄ = 10 − 2 · 4 = 2. Sommare invece di sottrarre dà 18, e 10 è ȳ stesso, che dimentica il coefficiente angolare.

3Il coefficiente di correlazione

Il coefficiente di correlazione di Pearson r misura quanto i punti sono vicini a una retta. È sempre compreso tra −1 e 1.

r = Sxy / √(Sxx · Syy), Syy = Σ(y − ȳ)²
  • r vicino a 1: una forte tendenza crescente.
  • r vicino a −1: una forte tendenza decrescente, come il prezzo di un’auto rispetto alla sua età.
  • r vicino a 0: nessuna relazione lineare.

r ha lo stesso segno del coefficiente angolare b. Il suo quadrato r² è la frazione della variazione di y spiegata dalla retta.

Una forte correlazione non dimostra che x causi y. Entrambe possono dipendere da una terza grandezza.

Autoverifica Per l’età x di un’auto e il prezzo y, r = −0,95. Che cosa ti dice?
  1. Il calcolo è sbagliato, perché r è negativo
  2. Le auto più vecchie costano di più
  3. Una forte relazione lineare decrescente
  4. Una relazione debole

Risposta: Una forte relazione lineare decrescente. r vicino a −1 significa che i punti stanno vicini a una retta decrescente: il prezzo scende quando l’età sale. Un r negativo è perfettamente valido; sono impossibili solo valori fuori da −1 e 1.

4Il metodo passo dopo passo

  1. Calcola le medie x̄ e ȳ.
  2. Costruisci una tabella con le colonne x − x̄, y − ȳ, il loro prodotto e (x − x̄)². Aggiungi (y − ȳ)² se è richiesto r.
  3. Somma le colonne per ottenere Sxy, Sxx e Syy.
  4. Coefficiente angolare b = Sxy/Sxx, poi intercetta a = ȳ − b · x̄.
  5. Correlazione r = Sxy/√(SxxSyy).
  6. Previsione: inserisci x in ŷ = a + bx. Residuo: e = y − ŷ.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Sono misurate cinque coppie: x = 1, 2, 3, 4, 5 e y = 3, 5, 6, 8, 8. Trova la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x e prevedi ŷ per x = 6.

1

Le medie

x̄ = 15 / 5 = 3, ȳ = 30 / 5 = 6
2

Scarti

x − x̄: −2, −1, 0, 1, 2.

y − ȳ: −3, −1, 0, 2, 2.

3

Le somme

Moltiplica le coppie: 6, 1, 0, 2, 4. Eleva al quadrato gli scarti di x: 4, 1, 0, 1, 4.

Sxy = 6 + 1 + 0 + 2 + 4 = 13, Sxx = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10
4

Coefficiente angolare e intercetta

b = 13 / 10 = 1,3
a = 6 − 1,3 · 3 = 6 − 3,9 = 2,1
xy123456246810ŷ = 2,1 + 1,3x

Le linee tratteggiate sono i residui. Sono piccoli, quindi la retta si adatta bene.

5

Prevedi

ŷ = 2,1 + 1,3 · 6 = 2,1 + 7,8 = 9,9

Controllo: la retta passa per il punto delle medie, 2,1 + 1,3 · 3 = 6 = ȳ.

Risposta

ŷ = 2,1 + 1,3x, e la previsione per x = 6 è ŷ = 9,9.

6Errori comuni

  • Calcolare il residuo come ŷ − y invece di y − ŷ.
  • Dividere per Syy invece che per Sxx nel coefficiente angolare.
  • Confondere a e b: il coefficiente angolare moltiplica x.
  • Dimenticare che r ha lo stesso segno del coefficiente angolare.
  • Prevedere molto fuori dall’intervallo dei dati. Lì la retta può non valere.
Autoverifica La retta è ŷ = 2,1 + 1,3x. Viene misurato un nuovo punto (6, 8). Qual è il suo residuo?
  1. 1,9
  2. 17,9
  3. 9,9
  4. −1,9

Risposta: −1,9. ŷ = 2,1 + 1,3 · 6 = 9,9, quindi e = y − ŷ = 8 − 9,9 = −1,9. Il punto sta sotto la retta. 1,9 calcola ŷ − y, al contrario.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: coefficiente angolare e intercetta. Cinque coppie in una tabella; trova b oppure a della retta dei minimi quadrati.
  • Medio: il coefficiente di correlazione r, dai dati o da somme date.
  • Difficile: previsione. Usa la retta per prevedere ŷ per un nuovo x, oppure trova il residuo di una nuova osservazione.

Un controllo rapido: il segno di b e di r deve corrispondere alla direzione del diagramma di dispersione.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
xy2441262082210301235xy510102030

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Trova l’intercetta a.

n = 6

Calcola a

Mostra i suggerimenti
  1. Trova prima la pendenza b = Sxy/Sxx.
  2. x̄ = 7, ȳ = 20,5.
  3. La retta passa per (x̄, ȳ), quindi a = ȳ − b·x̄.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 123/6 = 20,5

Somme dei quadrati e dei prodotti

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 211

Pendenza

b = 211/70 = 3,014

Intercetta

a = 20,5 − 3,014·7 = −0,6

Risposta

a = −0,6
Esempio 2Media
xy1787199921100231242512727146xy2025100120140

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 6Σx = 132Σy = 683Σx² = 2974Σy² = 80191Σxy = 15429

Calcola r

Mostra i suggerimenti
  1. Sxy = Σxy − Σx·Σy/n.
  2. Sxx = Σx² − (Σx)²/n, Syy = Σy² − (Σy)²/n.
  3. r = Sxy/√(Sxx·Syy).
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

Sxy = 15429 − 132·683/6 = 403
Sxx = 2974 − 132²/6 = 70
Syy = 80191 − 683²/6 = 2443

Coefficiente di correlazione

r = 403/√(70·2443) = 0,9746

Risposta

r = 0,9746
Esempio 3Difficile
xy123221318412513xy241520x = 1,5

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 1,5.

n = 5x = 1,5

Calcola ŷ

Mostra i suggerimenti
  1. Trova prima la retta dei minimi quadrati: b = Sxy/Sxx e a = ȳ − b·x̄.
  2. x̄ = 3, ȳ = 17,4.
  3. ŷ = a + b·1,5.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 87/5 = 17,4

Somme dei quadrati e dei prodotti

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

Retta di regressione

b = −29/10 = −2,9
a = 17,4 − (−2,9)·3 = 26,1
ŷ = 26,1 − 2,9·x

Previsione

ŷ = 26,1 + (−2,9)·1,5 = 21,75

Risposta

ŷ = 21,75

Domande e risposte

Regressione lineare e correlazione: di cosa si tratta?

Per ogni caso misuri due grandezze, per esempio x = ore di studio e y = voto dell’esame. Ogni coppia è un punto in un diagramma di dispersione.

Se i punti stanno più o meno lungo una retta, puoi descriverli con una retta e usarla per prevedere y da x. Questa è la regressione lineare.

Regressione lineare e correlazione: come si risolvono gli esercizi passo per passo?

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Regressione lineare e correlazione: quali sono gli errori più comuni?
  • L’intercetta è a = ȳ − b·x̄: la retta passa per (x̄, ȳ).
  • ȳ è l’altezza della retta in x = x̄, non in x = 0. Usa a = ȳ − b·x̄.
  • Usa lo stesso divisore (n o n − 1) nella covarianza e in entrambe le deviazioni standard. Con Sxy, Sxx e Syy i divisori si semplificano.
Regressione lineare e correlazione: che cosa si esercita?
  • Facile: pendenza e intercetta
  • Media: coefficiente di correlazione
  • Difficile: previsione

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Argomenti prima e dopo questo

Da studiare prima

Statistica descrittiva

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