Numeri complessi: esercizi con soluzioni passo passo
Detto anche: forma trigonometrica · formula di De Moivre
Esercizi gratuiti su Numeri complessi con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: aritmetica in forma cartesiana, forma polare ed esponenziale, De Moivre, radici ed equazioni.
Esercizio gratuitoFacile
Per z₁ = 1 + j4 e z₂ = 5 + j6, trova la parte immaginaria di w = 2z₁ + 5z̄₂.
L’equazione x² = −1 non ha soluzioni reali. Gli ingegneri aggiungono un nuovo numero j con j² = −1. I matematici scrivono i; in ingegneria si usa j perché i indica già la corrente.
Un numero complesso ha la forma z = a + jb. Il numero a è la parte reale e b è la parte immaginaria: Re(z) = a e Im(z) = b.
Puoi disegnare z come il punto (a, b) nel piano di Argand: la parte reale lungo l’asse orizzontale, la parte immaginaria lungo quello verticale.
La distanza dall’origine è il modulo |z| = √(a² + b²). L’angolo dal semiasse reale positivo è l’argomento θ. L’immagine speculare rispetto all’asse reale, z̄ = a − jb, è il coniugato.
Autoverifica Qual è il modulo di z = 3 − j4?
25
5
7
−1
Risposta: 5. |z| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5. Sommare 3 e 4 dà 7, e dimenticare la radice quadrata dà 25.
2Somma, moltiplicazione e divisione
Somma e sottrai parte per parte: (2 + j3) + (1 − j4) = 3 − j.
Moltiplica sviluppando le parentesi e sostituendo j² con −1:
Risposta: 2. È un numero per il suo coniugato: 1² + 1² = 2. Scrivere 1 − j² come 1 − 1 = 0 dimentica che j² = −1, quindi −j² = +1.
3Forma polare ed esponenziale
Un punto può anche essere dato dalla sua distanza e dal suo angolo: z = r∠θ, con r = |z| e θ = arg z. Per tornare alla forma cartesiana: a = r cos θ e b = r sin θ.
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
L’ultima forma usa la formula di Eulero ejθ = cos θ + j sin θ. Nella forma esponenziale θ deve essere in radianti.
Attenzione al quadrante. Una calcolatrice dà atan(b/a) tra −90° e 90°. Se a < 0 il punto è a sinistra, quindi somma o sottrai 180°.
Esempio: z = −2 + j2. Allora r = √8 = 2,828. L’angolo di riferimento è atan(2/2) = 45°, e il punto è nel secondo quadrante, quindi θ = 180° − 45° = 135°.
Autoverifica Qual è l’argomento di z = −1 − j, tra −180° e 180°?
135°
45°
−135°
−45°
Risposta: −135°. Il punto si trova nel terzo quadrante. L’angolo di riferimento è 45°, quindi θ = −(180° − 45°) = −135°. atan(−1/−1) = 45° indica il quadrante opposto.
4Moltiplicazione in forma polare, potenze e radici
In forma polare la moltiplicazione è facile: moltiplica i moduli e somma gli argomenti. Per la divisione, dividi i moduli e sottrai gli argomenti.
(r₁∠θ₁)(r₂∠θ₂) = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂)
Ripetendo questo si ottiene il teorema di De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ.
L’equazione zⁿ = R∠φ ha esattamente n radici. Hanno tutte modulo R1/n e argomenti (φ + 360°·k)/n per k = 0, 1, …, n − 1.
Per z³ = 8 = 8∠0°: il modulo è 2 e gli argomenti sono 0°, 120° e 240° (cioè −120°). Le radici formano un triangolo regolare sulla circonferenza.
Un’equazione quadratica z² + pz + q = 0 con p² < 4q ha le radici complesse −p/2 ± j√(q − p²/4). I polinomi reali hanno sempre le radici complesse in coppie coniugate.
5Un esempio svolto
Le potenze di numeri come 1 + j sono molto più rapide in forma polare che sviluppando il prodotto.
Esempio svolto
Calcola (1 + j)6 con il teorema di De Moivre.
1
Scrivi 1 + j in forma polare
r = √(1² + 1²) = √2. Il punto è nel primo quadrante, quindi θ = atan(1/1) = 45°.
1 + j = √2∠45°
2
Applica De Moivre
Eleva il modulo alla potenza 6 e moltiplica l’angolo per 6.
(√2)6 = 8, 6·45° = 270°
3
Riporta l’angolo nell’intervallo
270° è la stessa direzione di −90°.
(1 + j)6 = 8∠−90°
4
Torna alla forma cartesiana
8(cos(−90°) + j sin(−90°)) = 8(0 − j) = −j8
Risposta
(1 + j)6 = −j8: parte reale 0, parte immaginaria −8.
6Errori comuni e domande d’esame
Dimenticare che j² = −1 quando si sviluppa il prodotto, così un termine ha il segno sbagliato.
Dividere parte per parte: (a + jb)/(c + jd) non è a/c + jb/d. Usa il coniugato.
Prendere atan(b/a) come argomento quando a < 0. Disegna prima il punto.
Usare i gradi in ejθ, o lasciare la calcolatrice in radianti per r∠θ dato in gradi.
In De Moivre: dimenticare di elevare a potenza il modulo, o dare una sola radice di zⁿ = w.
Le domande facili chiedono una parte di un prodotto, quoziente o somma. Quelle medie convertono tra forma cartesiana, polare ed esponenziale. Quelle difficili usano De Moivre, le radici n-esime e le equazioni polinomiali.
Autoverifica z₁ = 2∠30° e z₂ = 4∠50°. Quanto vale z₁·z₂?
6∠80°
8∠1500°
8∠20°
8∠80°
Risposta: 8∠80°. Moltiplica i moduli (2·4 = 8) e somma gli argomenti (30° + 50° = 80°). Sommare i moduli dà 6, e moltiplicare gli angoli non ha senso.
Per z₁ = −7 + j e z₂ = 4 + j2, trova la parte reale del prodotto z₁·z₂.
z₁ = −7 + jz₂ = 4 + j2
Calcola Re(z₁z₂)
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Sviluppa le parentesi come (a + b)(c + d), ottenendo quattro termini.
Sostituisci j² con −1 in modo che uno dei quattro termini diventi reale.
(−7 + j)(4 + j2) = (−28) + j(−14) + j4 + j²·2
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Numeri complessi: z = a + jb ha parte reale a e parte immaginaria b, con j² = −1 (i matematici scrivono i). Somma e sottrai parte per parte; sviluppa le parentesi e sostituisci j² con −1; dividi moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore, z̄ = a − jb, perché z·z̄ = a² + b² è reale. Nel piano di Argand z è il punto (a, b): la sua distanza dall’origine è il modulo |z| = √(a² + b²), e l’angolo dal semiasse reale positivo è l’argomento θ.
Scrivi z = 4∠160° in forma cartesiana a + jb e dai la parte immaginaria b.
r = 4θ = 160°
Calcola b
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a = r·cos θ e b = r·sin θ.
sin(160°) = 0,342
Moltiplica per r = 4.
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Forma polare: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, con r = |z| e θ = arg z. Per tornare alla forma cartesiana: a = r cos θ, b = r sin θ. L’argomento richiede il quadrante: θ = atan(b/a) solo quando a > 0; per a < 0 somma o sottrai 180°. In forma polare la moltiplicazione è facile: moltiplica i moduli e somma gli argomenti; per la divisione dividi i moduli e sottrai gli argomenti.
Componenti
a = 4·cos(160°) = −3,759
b = 4·sin(160°) = 1,368
Forma cartesiana
z = −3,759 + j1,368
b = 1,368
Risposta
b = 1,368
Esempio 3Difficile
Le radici di zⁿ = w con n = 4 e w = 16∠−60° sono zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2, 3. Trova la parte reale di z₂.
w = 16∠−60°n = 4k = 2
Calcola Re(z₂)
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Ogni radice ha modulo R1/n = 161/4 = 2.
L’argomento di z₂ è (φ + 360°·k)/n con φ = −60°, k = 2 e n = 4.
a = R1/n·cos(165°).
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
De Moivre e radici: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. L’equazione zⁿ = R∠φ ha esattamente n radici, tutte con modulo R1/n, agli argomenti (φ + 360°·k)/n per k = 0, 1, …, n − 1: giacciono equidistanziate su una circonferenza, a 360°/n l’una dall’altra. Un’equazione quadratica z² + pz + q = 0 con p² < 4q ha le radici complesse z = −p/2 ± j√(q − p²/4); un polinomio a coefficienti reali ha sempre le radici complesse in coppie coniugate a ± jb.
Modulo delle radici
161/4 = 2
Argomento della radice
θ₂ = (−60° + 360°·2)/4 = 165°
Forma cartesiana
z₂ = 2·(cos 165° + j sin 165°) = −1,932 + j0,5176
Re(z₂) = −1,932
Risposta
Re(z₂) = −1,932
Le 4 radici giacciono sulla circonferenza di raggio 2, a distanza angolare di 90°.
Domande e risposte
Numeri complessi: di cosa si tratta?
L’equazione x² = −1 non ha soluzioni reali. Gli ingegneri aggiungono un nuovo numero j con j² = −1. I matematici scrivono i; in ingegneria si usa j perché i indica già la corrente.
Un numero complesso ha la forma z = a + jb. Il numero a è la parte reale e b è la parte immaginaria: Re(z) = a e Im(z) = b.
Numeri complessi: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
Decidi quale forma si adatta all’operazione: cartesiana a + jb per sommare e sottrarre, polare r∠θ per moltiplicare, dividere, potenze e radici.
Sviluppa con j² = −1; dividi moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore.
Converti con r = √(a² + b²) e θ da un disegno del punto (controlla il quadrante), e viceversa con a = r cos θ, b = r sin θ.
Per le potenze usa De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; per zⁿ = R∠φ elenca tutte le n radici R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Numeri complessi: quali sono gli errori più comuni?
Considerare j² come +1 quando si sviluppa il prodotto.
Dividere separatamente la parte reale e quella immaginaria.
Prendere atan(b/a) come argomento per un punto nel semipiano sinistro.
Confondere gradi e radianti, soprattutto in ejθ.
Dare una sola radice di zⁿ = w, o dimenticare di calcolare la radice n-esima del modulo.
Numeri complessi: che cosa si esercita?
Facile: aritmetica in forma cartesiana
Media: forma polare ed esponenziale
Difficile: De Moivre, radici ed equazioni
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta. Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
Come funziona l’esercitazione
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