Statistica descrittiva: esercizi con soluzioni passo passo
Detto anche: media · deviazione standard · mediana · varianza
Esercizi gratuiti su Statistica descrittiva con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: media e mediana, deviazione standard, distribuzione normale.
Esercizio gratuitoFacile
Trova la media x̄ dei dati: 4, 14, 15, 20, 40, 37, 14, 33, 33.
La statistica descrittiva riassume un elenco di numeri, chiamati dati, con pochi valori. La prima domanda è: dov’è il centro?
La media è la normale media aritmetica: somma tutti i valori e dividi per quanti sono, n.
x̄ = Σx / n
Il simbolo Σ significa “somma tutti”, e x̄ si legge “x segnato”. Per 3, 5 e 10 la media è 18/3 = 6.
La mediana è il valore centrale dopo aver ordinato i dati dal più piccolo al più grande.
n dispari: la mediana è l’unico valore centrale. Per 3, 5, 10 è 5.
n pari: la mediana è la media dei due valori centrali.
Un solo valore estremo, un valore anomalo (outlier), attira la media verso di sé ma sposta appena la mediana. Per questo i redditi sono spesso riassunti con la mediana.
Autoverifica Qual è la mediana di 4, 40, 29, 22, 17, 20?
20
21
22
25,5
Risposta: 21. Ordinati: 4, 17, 20, 22, 29, 40. I due valori centrali sono 20 e 22, quindi la mediana è 21. 25,5 deriva dal prendere il centro dell’elenco non ordinato; 22 è la media.
2La dispersione: deviazione standard
Due insiemi di dati possono avere la stessa media ma una dispersione molto diversa. La deviazione standard s misura quanto i valori si trovano tipicamente lontani dalla media.
Ogni valore ha uno scarto x − x̄. Gli scarti sommano a zero, quindi li elevi prima al quadrato, il che li rende tutti positivi.
s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )
Questa è la deviazione standard campionaria: si divide per n − 1, non per n. Il quadrato di s si chiama varianza.
Per 2, 4 e 6: la media è 4, gli scarti sono −2, 0 e 2, i quadrati sommano a 8, 8/2 = 4, e s = √4 = 2.
Autoverifica Qual è la deviazione standard campionaria di 2, 4 e 6?
0
1,633
2
4
Risposta: 2. Σ(x − x̄)² = 8, diviso per n − 1 = 2 dà 4, e √4 = 2. Dividere per n = 3 dà 1,633; 4 dimentica la radice quadrata, e 0 è la somma degli scarti prima di elevarli al quadrato.
3Punteggi z e distribuzione normale
Molte misure, come le altezze o i voti degli esami, seguono una curva a campana: la distribuzione normale. Il suo centro è la media μ e la sua larghezza è la deviazione standard σ.
Un punteggio z indica a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore:
z = (x − μ) / σ
Con μ = 70 e σ = 10, un punteggio di 74 ha z = 4/10 = 0,4. Uno z negativo significa che il valore è sotto la media.
La regola 68–95–99,7: circa il 68% dei valori sta entro 1σ dalla media, il 95% entro 2σ e il 99,7% entro 3σ.
Con μ = 50 e σ = 5, il valore 60 ha z = 2. Circa il 95% sta tra 40 e 60, quindi circa il 2,5% sta sopra 60. Una tabella z dà il valore esatto 0,0228.
Autoverifica I punteggi del QI sono normali con μ = 100 e σ = 15. Circa quale percentuale di persone ottiene più di 115?
16%
32%
34%
68%
Risposta: 16%. 115 è 1σ sopra la media. Il 68% sta entro 1σ, quindi il 32% sta fuori, diviso equamente tra le due code: 16% sopra. Il 32% dimentica di dividere le due code.
4Il metodo passo dopo passo
Scrivi i dati in fila e conta n.
Media: somma tutto e dividi per n.
Mediana: ordina prima, poi prendi il valore centrale, o la media dei due valori centrali.
Deviazione standard: sottrai la media da ogni valore, eleva al quadrato, somma, dividi per n − 1, estrai la radice quadrata.
Punteggio z: sottrai μ, dividi per σ. Poi usa la regola 68–95–99,7 o una tabella z per una proporzione.
Una tabella con le colonne x, x − x̄ e (x − x̄)² mantiene ordinato il calcolo della deviazione standard.
5Un esempio svolto
Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.
Esempio svolto
Trova la media, la mediana e la deviazione standard campionaria s dei dati: 4, 8, 6, 5, 7.
1
La media
x̄ = (4 + 8 + 6 + 5 + 7) / 5 = 30 / 5 = 6
2
La mediana
Ordinati: 4, 5, 6, 7, 8. Con n = 5 il valore centrale è il terzo.
mediana = 6
3
Scarti e quadrati
Sottrai la media da ogni valore: −2, 2, 0, −1, 1. Controllo: sommano a 0.
Elevali al quadrato: 4, 4, 0, 1, 1.
Σ(x − x̄)² = 4 + 4 + 0 + 1 + 1 = 10
4
Dividi per n − 1
s² = 10 / (5 − 1) = 2,5
5
Estrai la radice quadrata
s = √2,5 ≈ 1,58
Controllo: i valori distano 0, 1 o 2 dalla media, quindi una distanza tipica di circa 1,6 ha senso.
Risposta
Media x̄ = 6, mediana 6, e s ≈ 1,58.
6Errori comuni
Prendere il centro dell’elenco senza ordinarlo prima.
Dividere per n invece che per n − 1 per una deviazione standard campionaria.
Dimenticare la radice quadrata alla fine, il che dà la varianza invece di s.
Sbagliare il segno di un punteggio z: un valore sotto la media ha z negativo.
Dimenticare di dividere per σ nel punteggio z.
Autoverifica I voti di un esame hanno media 70 e deviazione standard 10. Qual è il punteggio z di un voto di 60?
1
6
−10
−1
Risposta: −1. z = (60 − 70)/10 = −10/10 = −1. Il voto sta sotto la media, quindi z è negativo. −10 dimentica di dividere per σ.
7Come sono fatte le domande d’esame
Facile: la media o la mediana di un breve elenco di dati.
Medio: la deviazione standard campionaria di cinque o sei valori. Dividi per n − 1.
Difficile: la distribuzione normale. Trova un punteggio z, o la proporzione di valori sopra o sotto un dato valore.
Un controllo rapido: la media e la mediana stanno tra il valore più piccolo e il più grande, e s non è mai negativa.
Trova la mediana M dei dati: 39, 11, 3, 28, 18, 17, 40, 40, 5.
n = 9
Calcola M
Mostra i suggerimenti
Ordina i valori dal più piccolo al più grande.
Con un numero dispari di valori, la mediana è quello centrale.
ordinati: 3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Ordina
3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40
Valore centrale
M = 18
Risposta
M = 18
Esempio 2Media
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 26, 57, 34, 22, 53, 13, 59.
n = 7
Calcola s
Mostra i suggerimenti
Trova prima la media.
Eleva al quadrato ogni scarto dalla media, sommali, dividi per n − 1 e fai la radice quadrata.
x̄ = 37,71.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 12. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 36?
μ = 60σ = 12x = 36
Calcola P
Mostra i suggerimenti
Converti prima in punteggio z.
z = (36 − 60)/12 = −2.
Leggi Φ(z) nella tavola della normale standard.
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Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −2
Tavola della normale standard
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Risposta
P = 0,02275
Domande e risposte
Statistica descrittiva: di cosa si tratta?
La statistica descrittiva riassume un elenco di numeri, chiamati dati, con pochi valori. La prima domanda è: dov’è il centro?
La media è la normale media aritmetica: somma tutti i valori e dividi per quanti sono, n.
Statistica descrittiva: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: che cosa si esercita?
Facile: media e mediana
Media: deviazione standard
Difficile: distribuzione normale
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta. Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
Come funziona l’esercitazione
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta.
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I tuoi progressi, i tuoi errori e gli esercizi salvati restano memorizzati, così puoi ripassare prima dell’esame.