Metodi numerici: esercizi con soluzioni passo passo
Detto anche: calcolo numerico · metodo di Newton · metodo di Cavalieri-Simpson · metodo di Eulero
Esercizi gratuiti su Metodi numerici con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: radici e interpolazione, regole dei trapezi e di Simpson, Eulero, Heun e Runge–Kutta.
Esercizio gratuitoFacile
Applica Newton–Raphson a f(x) = e−x − x con valore iniziale x₀ = 0. Trova x2.
Per una radice: controlla il cambio di segno per la bisezione, oppure calcola f e f′ per Newton, e mantieni sei o più cifre in una tabella di iterate.
Per un valore di tabella: interpola linearmente tra i due punti vicini.
Per un integrale: trova h = (b − a)/n, elenca f in ogni nodo, applica i pesi (1, 2, …, 2, 1 per i trapezi; 1, 4, 2, …, 4, 1 per Simpson con n pari) e moltiplica per h/2 o h/3.
Per un’equazione differenziale: avanza da t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Eulero) o con la pendenza media (Heun), una riga per passo, fino a raggiungere il t richiesto.
Errori comuni
Tenere la metà sbagliata dell’intervallo di bisezione, o contare male i passi.
Scrivere x − f′/f invece di x − f/f′ in Newton–Raphson.
Dare peso 1 ai nodi interni nella regola dei trapezi, o usare Simpson con un numero dispari di strisce.
Arrotondare troppo presto le iterate.
Fare un passo di Eulero in meno o in più per raggiungere il tempo finale.
Formule chiave
Bisezione
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolazione lineare
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regola dei trapezi
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Molte equazioni e integrali non hanno una formula per la risposta: x = cos x, ∫e−x²dx, o la maggior parte delle equazioni differenziali. I metodi numerici calcolano la risposta passo dopo passo con l’accuratezza che serve.
Il metodo di bisezione trova una radice di f(x) = 0 su un intervallo [a, b] in cui f cambia segno. Prendi il punto medio c = (a + b)/2 e tieni la metà in cui il segno cambia ancora.
Esempio: f(x) = x² − 2 su [1, 2]. c₁ = 1,5 dà f = 0,25 > 0, quindi tieni [1; 1,5]. c₂ = 1,25 dà f = −0,4375 < 0, quindi tieni [1,25; 1,5]. Poi c₃ = 1,375.
Ogni passo dimezza l’intervallo, quindi dopo n passi la sua ampiezza è (b − a)/2ⁿ. La bisezione è lenta ma funziona sempre quando c’è un cambio di segno.
Autoverifica La bisezione parte da un intervallo di lunghezza 1. Quanto è ampio l’intervallo dopo 10 passi?
1/100
1/1024
1/10
1/20
Risposta: 1/1024. Ogni passo lo dimezza: 1/2¹⁰ = 1/1024 ≈ 0,001. Dividere per 10 o per 20 tratta il dimezzamento come se fosse additivo.
2Newton–Raphson
Newton–Raphson segue la retta tangente fino all’asse x e usa quell’intersezione come stima successiva:
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Per f(x) = x² − 2 con f′(x) = 2x e x₀ = 2: x₁ = 2 − 2/4 = 1,5, x₂ = 1,5 − 0,25/3 = 1,416667, x₃ = 1,414216. La radice è √2 = 1,414214.
Vicino alla radice, Newton raddoppia circa il numero di cifre corrette a ogni passo. Può fallire quando f′(xₙ) è vicino a 0, o quando il punto di partenza è lontano dalla radice.
Mantieni almeno sei cifre in ogni iterata; arrotondare presto impedisce al metodo di migliorare.
Autoverifica Un passo di Newton per f(x) = x² − 5 da x₀ = 2 dà…
1,75
2,25
2,2
2,5
Risposta: 2,25. f(2) = −1 e f′(2) = 4, quindi x₁ = 2 − (−1)/4 = 2,25. Sommare −1/4 invece di sottrarlo dà 1,75.
3Interpolazione lineare
Le tabelle danno valori solo in certi punti. L’interpolazione lineare traccia una retta tra i due punti vicini della tabella:
y = y₁ + (y₂ − y₁)·(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Esempio: la tabella dà f(1) = 2,0 e f(2) = 2,6. In x = 1,4 la frazione è 0,4, quindi f(1,4) ≈ 2,0 + 0,6·0,4 = 2,24.
L’interpolazione inversa funziona allo stesso modo al contrario: per trovare dove y = 2,3, la frazione è (2,3 − 2,0)/0,6 = 0,5, quindi x ≈ 1,5.
4Regola dei trapezi e regola di Simpson
Per integrare f da a a b, dividi l’intervallo in n strisce di larghezza h = (b − a)/n con nodi x₀, x₁, …, xₙ.
La regola dei trapezi sostituisce la curva in ogni striscia con una retta. Ogni nodo interno appartiene a due strisce, quindi conta due volte:
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]
La regola di Simpson adatta parabole a tre nodi alla volta. Richiede n pari:
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]
Per ∫01 x² dx = 1/3 con n = 2 (h = 0,5): T = 0,25·(0 + 0,5 + 1) = 0,375, mentre S = (0,5/3)·(0 + 1 + 1) = 0,3333, esatto.
L’errore dei trapezi diminuisce come h² e quello di Simpson come h⁴: dimezzare h rende Simpson circa 16 volte più accurata.
Autoverifica Quali pesi dà la regola dei trapezi ai nodi x₀, x₁, x₂, x₃?
1, 1, 1, 1
1, 2, 2, 1
1, 4, 2, 1
1, 4, 4, 1
Risposta: 1, 2, 2, 1. I due estremi appartengono a una striscia e i punti interni a due, quindi 1, 2, 2, 1 con il fattore h/2. I 4 appartengono alla regola di Simpson.
5Eulero e Heun per le equazioni differenziali
Per y′ = f(t, y) con y(t₀) = y₀, avanza nel tempo con un passo h. Il metodo di Eulero usa la pendenza all’inizio di ogni passo:
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Il metodo di Heun (Eulero migliorato) prevede con Eulero, poi fa la media delle pendenze a entrambi gli estremi: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂).
L’errore di Eulero è proporzionale a h, quello di Heun a h². Il metodo classico di Runge–Kutta (RK4) usa quattro pendenze ed è accurato fino a h⁴.
Esempio svolto
Risolvi y′ = y, y(0) = 1 con il metodo di Eulero e h = 0,1 fino a t = 0,3, e confronta con la soluzione esatta eᵗ.
1
Passo 1
y₁ = 1 + 0,1·1 = 1,1
2
Passo 2
y₂ = 1,1 + 0,1·1,1 = 1,21
3
Passo 3
y₃ = 1,21 + 0,1·1,21 = 1,331
4
Confronta
Il valore esatto è e0,3 = 1,349859, quindi l’errore globale è 0,0189. Un passo di Heun da y₀ darebbe 1 + 0,05·(1 + 1,1) = 1,105 contro e0,1 = 1,105171.
Risposta
y(0,3) ≈ 1,331 con Eulero; l’errore 0,019 diminuisce all’incirca in proporzione a h.
6Errori comuni e domande d’esame
Contare il primo punto medio della bisezione come passo 0, o tenere la metà sbagliata dell’intervallo.
Scrivere x − f′/f invece di x − f/f′ nel metodo di Newton.
Dimenticare il fattore 2 sui nodi interni, o usare h invece di h/2 nella regola dei trapezi.
Usare la regola di Simpson con un numero dispari di strisce.
Nel metodo di Eulero, usare la pendenza alla fine del passo, o fare un passo in meno.
Facile: bisezione, iterazioni di Newton e interpolazione in una tabella. Medio: le regole dei trapezi e di Simpson, il loro errore e il numero di strisce necessarie. Difficile: passi di Eulero, Heun e Runge–Kutta per equazioni differenziali.
Autoverifica y′ = 2y con y(0) = 1. Che cosa dà un passo di Eulero con h = 0,2?
1,2
1,49
1,4
2,4
Risposta: 1,4. y₁ = 1 + 0,2·(2·1) = 1,4. Dimenticare il fattore 2 nella pendenza dà 1,2; 1,49 è il valore esatto e0,4.
Il metodo di bisezione parte da un intervallo di lunghezza 4. A ogni passo l’intervallo si dimezza. Quanti passi n servono almeno prima che l’intervallo sia più corto di 0,0001?
b − a = 4ε = 0,0001
Calcola n
Mostra i suggerimenti
Dopo n passi l’intervallo ha lunghezza (b − a)/2ⁿ.
Risolvi 4/2ⁿ < 0,0001, quindi 2ⁿ > 40000.
n > log₂(40000) = 15,29
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Ricerca delle radici e interpolazione: il metodo di bisezione mantiene un intervallo [a, b] in cui f cambia segno; a ogni passo prende il punto medio c = (a + b)/2 e tiene la metà in cui il segno cambia ancora, così dopo n passi l’intervallo è largo (b − a)/2ⁿ. Newton–Raphson segue la retta tangente fino all’asse: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn); vicino a una radice semplice raddoppia circa il numero di cifre corrette a ogni passo. Interpolazione lineare tra due punti della tabella: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).
Condizione
4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000
Logaritmo
n > ln(40000)/ln 2 = 15,29
n = 16
Verifica
2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536
Risposta
n = 16
Esempio 2Media
Approssima ∫01,5 √(1 + x³) dx con la regola dei trapezi usando n = 3 strisce. Dai T.
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 3
Calcola T
Mostra i suggerimenti
h = (1,5 − 0)/3 = 0,5; i nodi sono 0, 0,5, 1, 1,5.
Pesi: 1, 2, 2, …, 2, 1; T = (h/2)·Σ wᵢfᵢ.
La somma pesata è Σ wᵢfᵢ = 8,041398.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Integrazione numerica: dividi [a, b] in n strisce di larghezza h = (b − a)/n con nodi x₀ … xₙ. Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. L’errore dei trapezi diminuisce come h² (maggiorazione (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|), quello di Simpson come h⁴, quindi Simpson è di solito molto più accurata a parità di nodi.
Soluzione numerica di y′ = f(t, y): il metodo di Eulero avanza lungo la pendenza all’inizio di ogni passo: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Il metodo di Heun (Eulero migliorato) fa la media della pendenza all’inizio e in una previsione di Eulero: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Il metodo classico di Runge–Kutta (RK4) combina quattro pendenze: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’errore globale di Eulero è proporzionale a h, quello di Heun a h², quello di RK4 a h⁴.
Molte equazioni e integrali non hanno una formula per la risposta: x = cos x, ∫e−x²dx, o la maggior parte delle equazioni differenziali. I metodi numerici calcolano la risposta passo dopo passo con l’accuratezza che serve.
Il metodo di bisezione trova una radice di f(x) = 0 su un intervallo [a, b] in cui f cambia segno. Prendi il punto medio c = (a + b)/2 e tieni la metà in cui il segno cambia ancora.
Metodi numerici: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
Per una radice: controlla il cambio di segno per la bisezione, oppure calcola f e f′ per Newton, e mantieni sei o più cifre in una tabella di iterate.
Per un valore di tabella: interpola linearmente tra i due punti vicini.
Per un integrale: trova h = (b − a)/n, elenca f in ogni nodo, applica i pesi (1, 2, …, 2, 1 per i trapezi; 1, 4, 2, …, 4, 1 per Simpson con n pari) e moltiplica per h/2 o h/3.
Per un’equazione differenziale: avanza da t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Eulero) o con la pendenza media (Heun), una riga per passo, fino a raggiungere il t richiesto.
Metodi numerici: quali sono gli errori più comuni?
Tenere la metà sbagliata dell’intervallo di bisezione, o contare male i passi.
Scrivere x − f′/f invece di x − f/f′ in Newton–Raphson.
Dare peso 1 ai nodi interni nella regola dei trapezi, o usare Simpson con un numero dispari di strisce.
Arrotondare troppo presto le iterate.
Fare un passo di Eulero in meno o in più per raggiungere il tempo finale.
Metodi numerici: che cosa si esercita?
Facile: radici e interpolazione
Media: regole dei trapezi e di Simpson
Difficile: Eulero, Heun e Runge–Kutta
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta. Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
Come funziona l’esercitazione
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