Calcolo multivariabile: esercizi con soluzioni passo passo

Detto anche: derivate parziali · integrali doppi · funzioni di più variabili

Esercizi gratuiti su Calcolo multivariabile con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: derivate parziali e integrali doppi, gradiente, piano tangente e regola della catena, punti critici e integrali su regioni.

Esercizio gratuitoFacile
xy3−3P

Per f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xy, trova la derivata parziale ∂f/∂x nel punto (3, −3).

f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xyP = (3, −3)
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Su cosa ti eserciti

  1. Facilederivate parziali e integrali doppi
  2. Mediagradiente, piano tangente e regola della catena
  3. Difficilepunti critici e integrali su regioni

Come risolvere gli esercizi di Calcolo multivariabile

  1. Per una derivata parziale, tratta l’altra variabile come una costante e usa le regole a una variabile.
  2. Per le domande sul gradiente calcola ∇f = (fx, fy) nel punto; usa |∇f| per la pendenza massima e ∇f·u con un versore u per una derivata direzionale.
  3. Per gli estremi risolvi insieme fx = 0 e fy = 0, poi classifica ogni punto con D = fxx·fyy − fxy².
  4. Per un integrale doppio disegna la regione, scegli l’ordine (o le coordinate polari per i dischi) in modo che gli estremi interni siano le curve di contorno, e integra prima all’interno.

Errori comuni

  • Derivare la variabile che dovrebbe essere tenuta costante.
  • Dimenticare di normalizzare il vettore direzione.
  • Scrivere D = fxx·fyy + fxy² o definire estremo un punto con D < 0.
  • Usare estremi interni costanti per una regione delimitata da curve.
  • Omettere il fattore r in dA = r dr dθ.

Formule chiave

Derivate parziali
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradiente
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Derivata direzionale
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Piano tangente
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Regola della catena
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Test delle derivate seconde
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integrale doppio
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Coordinate polari
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Impara Calcolo multivariabile da zero

Prima di questo: Derivate, Integrali

1Derivate parziali

Una funzione di due variabili, z = f(x, y), è una superficie sopra il piano xy. Su una mappa si disegna con le curve di livello, linee in cui f ha lo stesso valore.

Una derivata parziale misura la pendenza in una direzione. Per ∂f/∂x (scritta anche fx) si tiene y costante e si deriva rispetto a x, con le regole ordinarie.

Esempio: f(x, y) = x²y + 3y². Tratta y come un numero per fx, e x come un numero per fy:

fx = 2xy fy = x² + 6y

In (1, 2) si ottiene fx = 4 e fy = 1 + 12 = 13.

Derivando ancora si ottengono le derivate seconde fxx, fyy e fxy. L’ordine della derivata mista non conta: fxy = fyx. Qui fxy = 2x.

Autoverifica Quanto vale ∂f/∂y per f(x, y) = x³y²?
  1. 2x³y
  2. 3x²y²
  3. 6x²y
  4. x³y²

Risposta: 2x³y. Tieni x costante: x³ è un fattore costante, e y² dà 2y, quindi fy = 2x³y. 3x²y² è ∂f/∂x.

2Gradiente e derivata direzionale

Il gradiente raccoglie entrambe le derivate parziali: ∇f = (fx, fy). Punta nella direzione in cui f cresce più rapidamente, ad angolo retto con la curva di livello.

xy∇fP

La pendenza massima stessa è la lunghezza |∇f| = √(fx² + fy²).

La pendenza in un’altra direzione v è la derivata direzionale. Prima rendi v un versore u = v/|v|, poi calcola il prodotto scalare:

Duf = ∇f·u

Per f = x²y + 3y² in (1, 2): ∇f = (4; 13). Nella direzione v = (3; 4), u = (0,6; 0,8), quindi Duf = 4·0,6 + 13·0,8 = 12,8.

Autoverifica In un punto ∇f = (3, 4). Qual è la massima velocità di crescita di f lì?
  1. 12
  2. 25
  3. 5
  4. 7

Risposta: 5. È |∇f| = √(3² + 4²) = 5. Sommare le componenti dà 7, e dimenticare la radice quadrata dà 25.

3Piano tangente e regola della catena

Vicino a un punto (a, b) la superficie è quasi piatta. Il piano tangente è

z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)

Dà l’approssimazione lineare f(a + Δx, b + Δy) ≈ f(a, b) + fxΔx + fyΔy.

Esempio: f = x²y + 3y² ha f(1, 2) = 14, quindi vicino a (1, 2): f(1,1; 1,9) ≈ 14 + 4·0,1 + 13·(−0,1) = 13,1. Il valore esatto è 13,129.

Quando x e y dipendono entrambe da t, la regola della catena somma i due percorsi: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

4Punti critici

In un massimo, in un minimo o in un punto di sella la superficie è piatta: fx = 0 e fy = 0. Tali punti sono i punti critici.

Il test delle derivate seconde usa D = fxxfyy − fxy² nel punto:

  • D > 0 e fxx > 0: minimo locale.
  • D > 0 e fxx < 0: massimo locale.
  • D < 0: punto di sella, in alto in una direzione e in basso in un’altra.
  • D = 0: il test non decide nulla.
Esempio svolto

Trova e classifica i punti critici di f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y.

1

Poni a zero entrambe le derivate parziali

fx = 3x² − 3 = 0 → x = ±1 fy = 2y − 4 = 0 → y = 2

I punti critici sono (1, 2) e (−1, 2).

2

Derivate seconde

fxx = 6x, fyy = 2, fxy = 0
3

Verifica (1, 2)

D = 6·2 − 0 = 12 > 0 e fxx = 6 > 0: un minimo locale, con f(1, 2) = 1 − 3 + 4 − 8 = −6.

4

Verifica (−1, 2)

D = −6·2 − 0 = −12 < 0: un punto di sella.

Risposta

Minimo locale in (1, 2) con f = −6; punto di sella in (−1, 2).

5Integrali doppi

Un integrale doppio ∬R f dA somma f su una regione R; per f = 1 è l’area di R. Si calcola come due integrali semplici, prima quello interno.

Su un rettangolo gli estremi sono numeri: ∫02∫01 (x + 2y) dy dx. L’integrale interno dà x + 1, e ∫02 (x + 1) dx = 4.

Su una regione generica, gli estremi interni sono le curve che la delimitano. Per la regione tra y = x² e y = 2x, y va da x² fino a 2x, e x da 0 a 2.

xyy = 2xy = x²2
Area = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3

Per dischi e settori usa le coordinate polari: x² + y² = r² e dA = r dr dθ. Sul disco r ≤ 2: ∬(x² + y²) dA = ∫02π∫02 r³ dr dθ = 2π·4 = 8π.

Autoverifica In coordinate polari, in che cosa diventa dA?
  1. dr dθ
  2. r dr dθ
  3. r² dr dθ
  4. θ dr dθ

Risposta: r dr dθ. Una piccola porzione polare è larga Δr e lunga r·Δθ, quindi dA = r dr dθ. Dimenticare il fattore r è l’errore più comune.

6Errori comuni e domande d’esame

  • Derivare anche la variabile "costante" in una derivata parziale.
  • Usare v invece del versore u in una derivata direzionale.
  • Scrivere D = fxxfyy + fxy², o classificare come estremo un punto con D < 0.
  • Usare numeri come estremi interni quando la regione è delimitata da curve.
  • Dimenticare il fattore r nelle coordinate polari.

Facile: derivate parziali in un punto e integrali su rettangoli. Medio: gradiente, derivata direzionale, piano tangente e regola della catena. Difficile: classificazione dei punti critici e integrali su regioni curve, in coordinate polari o con l’ordine invertito.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
xy−1−3P

Per f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xy, trova la derivata parziale ∂f/∂x nel punto (−1, −3).

f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xyP = (−1, −3)

Calcola fx(−1, −3)

Mostra i suggerimenti
  1. Tratta y come un numero costante e deriva rispetto a x.
  2. ∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y
  3. Sostituisci x = −1 e y = −3.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Derivate parziali: ∂f/∂x è la derivata ordinaria rispetto a x mentre y è tenuta costante (tratta y come un numero), e ∂f/∂y il contrario. Le regole (potenza, prodotto, funzione composta) sono le stesse di una variabile. Le derivate seconde miste danno lo stesso risultato in entrambi gli ordini: fxy = fyx. Un integrale doppio su un rettangolo si calcola come due integrali semplici, prima quello interno: ∫∫ f dA = ∫(∫ f dy) dx.

Deriva

y è tenuta costante.

∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y

Sostituisci

fx(−1, −3) = −4

Risposta

fx(−1, −3) = −4
Esempio 2Media

z = 2x²e3y con x = −t − 2 e y = t² + 2. Usa la regola della catena per trovare dz/dt in t = 0.

z = 2x²e3yx = −t − 2y = t² + 2t = 0

Calcola dz/dt

Mostra i suggerimenti
  1. dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
  2. In t = 0: x = −2, y = 2, dx/dt = −1, dy/dt = 0.
  3. fx = 4xe3y, fy = 6x²e3y
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Gradiente: ∇f = (fx, fy) punta nella direzione di massima crescita, e |∇f| è la massima velocità di variazione. La derivata direzionale lungo una direzione v è Duf = ∇f·u con il versore u = v/|v|. Il piano tangente in (a, b) è z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); dà l’approssimazione lineare di f vicino a quel punto. Regola della catena: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Punto e velocità di variazione

x(0) = −2, y(0) = 2
dx/dt = −1, dy/dt = 2t = 0

Derivate parziali

fx = 4xe3y = −3227
fy = 6x²e3y = 9682

Regola della catena

dz/dt = (−3227)·(−1) + 9682·0 = 3227

Risposta

dz/dt = 3227
Esempio 3Difficile
xy02−1012(0, 0)(1, 1)

f(x, y) = x³ + y³ − 3xy ha un punto critico in (1, 1). Calcola lì il discriminante D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ + y³ − 3xyP = (1, 1)

Calcola D

Mostra i suggerimenti
  1. Trova le tre derivate seconde fxx, fyy e fxy.
  2. Nel punto: fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3.
  3. D = fxxfyy − fxy².
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Punti critici e integrali doppi: un punto critico ha fx = fy = 0. Test delle derivate seconde con D = fxxfyy − fxy²: D > 0 e fxx > 0 è un minimo locale, D > 0 e fxx < 0 un massimo locale, D < 0 un punto di sella, e D = 0 non decide nulla. Per un integrale doppio su una regione generica, prendi come estremi interni le curve che delimitano la regione; per dischi e settori usa le coordinate polari, x = r cos θ, y = r sin θ e dA = r dr dθ (non dimenticare il fattore r).

Derivate seconde

fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3

Discriminante

D = 6·6 − (−3)² = 27
→ minimo locale

Risposta

D = 27

Domande e risposte

Calcolo multivariabile: di cosa si tratta?

Una funzione di due variabili, z = f(x, y), è una superficie sopra il piano xy. Su una mappa si disegna con le curve di livello, linee in cui f ha lo stesso valore.

Una derivata parziale misura la pendenza in una direzione. Per ∂f/∂x (scritta anche fx) si tiene y costante e si deriva rispetto a x, con le regole ordinarie.

Calcolo multivariabile: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
  1. Per una derivata parziale, tratta l’altra variabile come una costante e usa le regole a una variabile.
  2. Per le domande sul gradiente calcola ∇f = (fx, fy) nel punto; usa |∇f| per la pendenza massima e ∇f·u con un versore u per una derivata direzionale.
  3. Per gli estremi risolvi insieme fx = 0 e fy = 0, poi classifica ogni punto con D = fxx·fyy − fxy².
  4. Per un integrale doppio disegna la regione, scegli l’ordine (o le coordinate polari per i dischi) in modo che gli estremi interni siano le curve di contorno, e integra prima all’interno.
Calcolo multivariabile: quali sono gli errori più comuni?
  • Derivare la variabile che dovrebbe essere tenuta costante.
  • Dimenticare di normalizzare il vettore direzione.
  • Scrivere D = fxx·fyy + fxy² o definire estremo un punto con D < 0.
  • Usare estremi interni costanti per una regione delimitata da curve.
  • Omettere il fattore r in dA = r dr dθ.
Calcolo multivariabile: che cosa si esercita?
  • Facile: derivate parziali e integrali doppi
  • Media: gradiente, piano tangente e regola della catena
  • Difficile: punti critici e integrali su regioni

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