Integrali: esercizi con soluzioni passo passo
Detto anche: integrali indefiniti · integrali definiti · integrazione per parti
Esercizi gratuiti su Integrali con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: polinomi, esponenziali, logaritmi e sostituzione, aree tra curve.
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Prima di questo: Derivate
1Che cos’è un integrale
Un integrale somma una grandezza che cambia. L’immagine più chiara è quella di un’area sotto un grafico.
Un’auto viaggia a 20 m/s per 5 s. Percorre 20 · 5 = 100 m. In un grafico velocità–tempo, questa è l’area del rettangolo sotto la linea.
Quando la velocità cambia, la figura sotto il grafico è curva, ma l’idea è la stessa: l’area è la distanza.
Scriviamo l’area sotto f tra x = a e x = b come:
∫ab f(x) dx
I numeri a e b sono gli estremi dell’integrale. Il dx ti dice che x è la variabile.
Autoverifica Un ciclista pedala a una velocità costante di 10 m/s per 4 s. Qual è l’area sotto il grafico velocità–tempo?
- 10 m
- 14 m
- 2,5 m
- 40 m
Risposta: 40 m. L’area è un rettangolo: altezza 10 m/s per larghezza 4 s dà 40 m. Dividere 10 per 4 dà 2,5, che non è un’area.
2Primitive e regola della potenza
L’integrazione è la derivazione al contrario. Una primitiva F di f è una funzione la cui derivata è f.
Poiché (x³)′ = 3x², una primitiva di 3x² è x³. Si può aggiungere qualsiasi costante, quindi scriviamo ∫3x² dx = x³ + C.
La regola della potenza per gli integrali: aumenta l’esponente di uno, poi dividi per il nuovo esponente.
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, n ≠ −1
- Un fattore costante resta davanti: ∫5x² dx = 5x³/3 + C.
- Una costante da sola: ∫4 dx = 4x + C.
- In una somma, integra ogni termine separatamente.
Impara anche queste: ∫eˣ dx = eˣ, ∫ekx dx = ekx/k, ∫1/x dx = ln|x|, ∫cos x dx = sin x e ∫sin x dx = −cos x.
Puoi sempre verificare una primitiva: derivala, e devi riottenere la funzione originale.
Autoverifica Quanto vale ∫6x² dx?
- 12x + C
- 2x³ + C
- 3x³ + C
- 6x³ + C
Risposta: 2x³ + C. Aumenta l’esponente a 3 e dividi per 3: 6x³/3 = 2x³. 12x è la derivata, non l’integrale, e 6x³ dimentica di dividere per il nuovo esponente.
3Integrali definiti e aree
Un integrale definito ha degli estremi e dà un numero. Trova una primitiva F, poi sottrai i suoi valori ai due estremi.
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)
La costante C si elimina nella sottrazione, quindi qui puoi ometterla.
Esempio: ∫13 3/x dx = 3 ln 3 − 3 ln 1 = 3 ln 3 ≈ 3,296, perché ln 1 = 0.
La sostituzione aiuta quando una funzione si trova dentro un’altra. Per e0,5x, poni u = 0,5x. Il risultato è la regola vista sopra: dividi per 0,5.
∫03 e0,5x dx = 2e0,5x |03 = 2(e1,5 − 1) ≈ 6,963
L’area tra due curve è l’integrale della curva superiore meno la curva inferiore, tra i punti in cui si incontrano.
Per y = 2x e y = x², le curve si incontrano in x = 0 e x = 2. In quell’intervallo 2x sta sopra.
A = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3
Autoverifica Le curve y = x e y = x² si incontrano in x = 0 e x = 1. Tra i due punti, y = x sta sopra. Qual è l’area racchiusa?
- 1/2
- 1/6
- 5/6
- −1/6
Risposta: 1/6. ∫(x − x²) dx da 0 a 1 è 1/2 − 1/3 = 1/6. Prendere inferiore meno superiore dà −1/6, e sommare i due integrali dà 5/6.
4Il metodo passo dopo passo
- Riscrivi la funzione come somma di termini semplici. Scrivi radici e frazioni come potenze: √x = x1/2.
- Trova una primitiva di ogni termine con la regola della potenza o con un integrale notevole.
- Controlla rapidamente derivando a mente.
- Per un integrale definito, calcola F(b) e F(a) separatamente.
- Sottrai: F(b) − F(a). Fai attenzione ai segni meno quando a è negativo.
Per un’area tra curve, risolvi prima f(x) = g(x) per trovare gli estremi, poi integra la curva superiore meno quella inferiore.
5Un esempio svolto
Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.
Esempio svoltoCalcola I = ∫02 (3x² + 2x + 1) dx.
13x² dà 3x³/3 = x³. 2x dà 2x²/2 = x². La costante 1 dà x.
F(x) = x³ + x² + x
2F′(x) = 3x² + 2x + 1
Questa è la funzione originale, quindi F è corretta.
5I = F(2) − F(0) = 14 − 0 = 14
L’integrale è l’area colorata sotto la curva tra x = 0 e x = 2.
6Errori comuni
- Dimenticare di dividere per il nuovo esponente.
- Derivare invece di integrare: abbassare l’esponente invece di aumentarlo.
- Scrivere ∫1/x dx come x⁰/0. La regola della potenza non funziona per n = −1; usa ln|x|.
- Dimenticare i segni meno in F(a) quando a è negativo, per esempio (−1)³ = −1.
- Dimenticare + C in un integrale indefinito, oppure non cambiare gli estremi dopo una sostituzione.
Autoverifica Quanto vale ∫02 x³ dx?
- 12
- 16
- 4
- 8
Risposta: 4. F(x) = x⁴/4, quindi F(2) − F(0) = 16/4 − 0 = 4. Dimenticare di dividere per il nuovo esponente 4 dà 16.
7Come sono fatte le domande d’esame
- Facile: un integrale definito di un polinomio, a volte con estremi negativi. Usa la regola della potenza e F(b) − F(a).
- Medio: esponenziali, logaritmi e sostituzione, come ∫e0,5x dx o ∫3/x dx tra due estremi.
- Difficile: l’area racchiusa da due curve, come y = x² e y = 4x. Trova dove si incontrano, poi integra la curva superiore meno quella inferiore.
Un controllo rapido: un’area racchiusa da due curve è sempre positiva. Se ottieni un numero negativo, hai sottratto nell’ordine sbagliato.
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