Trasformate di Laplace: esercizi con soluzioni passo passo
Detto anche: trasformata di Laplace · funzione di trasferimento
Esercizi gratuiti su Trasformate di Laplace con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: coppie di tabella e teoremi del valore, antitrasformata con i fratti semplici, Equazioni differenziali e funzioni di trasferimento.
Esercizio gratuitoFacile
Un segnale f(t) ha trasformata di Laplace F(s) = 22/(s(s² + 8s + 10)). Usa il teorema del valore finale per trovare il valore f(∞) a cui tende f(t).
Circuiti, motori e serbatoi sono descritti da equazioni differenziali: l’uscita dipende dalla propria velocità di variazione. Risolverle direttamente è lento.
La trasformata di Laplace trasforma un problema di questo tipo in algebra. Scambi ogni funzione del tempo f(t) con una funzione F(s) di una nuova variabile s.
Risolvi il problema con la normale algebra in s, e poi traduci il risultato di nuovo nel tempo. Quest’ultimo passo è l’antitrasformata.
F(s) = ℒ{f(t)} = ∫₀∞ f(t)·e−st dt
Raramente userai tu stesso questo integrale. In pratica cerchi le coppie di trasformate in una tabella, come le parole in un dizionario tra due lingue.
La figura mostra tre segnali comuni: una costante 1 (un gradino), un’esponenziale decrescente e una sinusoide. Sotto ciascuno c’è la sua trasformata.
Autoverifica Qual è la trasformata di Laplace del segnale costante f(t) = 5?
1/(5s)
5/s
5
5s
Risposta: 5/s. Un fattore costante resta davanti, e ℒ{1} = 1/s. Quindi ℒ{5} = 5/s. Rispondere 5 dimentica che la trasformata di una costante porta sempre il fattore 1/s.
2La tabella delle coppie di trasformate
Impara queste cinque coppie. Insieme a due regole coprono quasi ogni problema d’esame.
1 ↔ 1/s e−at ↔ 1/(s + a) t·e−at ↔ 1/(s + a)² sin ωt ↔ ω/(s² + ω²) cos ωt ↔ s/(s² + ω²)
Linearità: le costanti restano davanti, e una somma si trasforma termine per termine. Quindi 3/(s + 2) ↔ 3·e−2t.
Traslazione: sostituire s con s + a moltiplica la funzione del tempo per e−at. Quindi (s + 2)/((s + 2)² + 9) ↔ e−2t·cos 3t.
Attenzione alla coppia del seno: il numeratore deve essere ω stesso. Per 12/(s² + 9) hai ω = 3, quindi scrivi 12 = 4·3. Il risultato è 4·sin 3t.
In sin ωt e cos ωt l’angolo ωt è in radianti. Imposta la calcolatrice sui radianti prima di calcolare.
Esempio svolto
Trova f(t) per F(s) = 6/(s + 3) + 2/s, e calcola f(0,5).
1
Abbina ogni termine a una coppia
6/(s + 3) ha la forma 1/(s + a) con a = 3, moltiplicata per 6. Il termine 2/s è la costante 2.
6/(s + 3) ↔ 6·e−3t 2/s ↔ 2
2
Scrivi f(t)
Somma le due parti (linearità):
f(t) = 6·e−3t + 2
3
Calcola a t = 0,5
f(0,5) = 6·e−1,5 + 2 = 6·0,2231 + 2 = 3,34
Risposta
f(t) = 6·e−3t + 2, quindi f(0,5) ≈ 3,34.
Autoverifica Qual è l’antitrasformata di 8/(s² + 16)?
2·cos 4t
2·sin 4t
8·sin 16t
8·sin 4t
Risposta: 2·sin 4t. ω² = 16, quindi ω = 4. La coppia richiede 4 al numeratore: 8 = 2·4, che dà 2·sin 4t. 8·sin 4t dimentica di dividere per ω. Il coseno appartiene a s al numeratore.
3Valori iniziale e finale senza antitrasformare
A volte ti serve solo sapere da dove parte f(t) o dove arriva. Due teoremi lo danno direttamente da F(s).
f(0⁺) = lims→∞ s·F(s) f(∞) = lims→0 s·F(s)
Valore iniziale (s → ∞): per s molto grande conta solo la potenza più alta di s al numeratore e al denominatore.
Valore finale (s → 0): semplifica il fattore s, poi poni s = 0 in ogni fattore rimasto, compresi gli zeri.
Il teorema del valore finale funziona solo se f(t) si assesta davvero: tutti i poli di s·F(s) devono avere parte reale negativa.
Valore finale: per F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) si ha s·F(s) = 12/((s + 2)(s + 3)). A s = 0 vale 12/6 = 2, quindi f(∞) = 2.
Valore iniziale: per F(s) = (3s + 10)/(s² + 5s + 6) si ha s·F(s) = (3s² + 10s)/(s² + 5s + 6). Per s grande si comporta come 3s²/s², quindi f(0⁺) = 3.
Per la pendenza iniziale f′(0⁺), usa la trasformata della derivata, ℒ{f′} = s·F(s) − f(0⁺). Poi applica ad essa il teorema del valore iniziale:
f′(0⁺) = lims→∞ s·[s·F(s) − f(0⁺)]
Per la stessa F(s): s·F(s) − 3 = (−5s − 18)/(s² + 5s + 6). Moltiplica per s e fai tendere s → ∞. Le potenze più alte danno −5s²/s², quindi f′(0⁺) = −5.
Autoverifica F(s) = 10(s + 2)/(s(s + 4)(s + 5)). A quale valore si assesta f(t)?
0,5
0
1
20
Risposta: 1. s·F(s) = 10(s + 2)/((s + 4)(s + 5)), che a s = 0 vale 20/20 = 1. Tralasciando il fattore dello zero (s + 2) si ottiene 0,5. Il valore 0 è il limite per s → ∞, cioè il valore iniziale.
4Frazioni parziali, passo dopo passo
La maggior parte delle F(s) non sono in tabella così come sono. Le scomponi in frazioni semplici che ci sono. Si chiama scomposizione in fratti semplici.
Ogni radice del denominatore è un polo. Un polo semplice in s = −a dà un termine A/(s + a), che nel tempo diventa A·e−at.
F(s) = A/(s + a) + B/(s + b) ⇒ f(t) = A·e−at + B·e−bt
La regola di copertura trova ogni coefficiente. Per trovare A, copri il fattore (s + a) in F(s) e poni s = −a in tutto ciò che resta.
Esempio: F(s) = (s + 7)/((s + 1)(s + 4)). Allora A = (−1 + 7)/(−1 + 4) = 6/3 = 2 e B = (−4 + 7)/(−4 + 1) = −1. Quindi f(t) = 2e−t − e−4t.
La posizione di un polo ti dice la forma. Un polo reale in −3 dà un puro decadimento e−3t. Una coppia complessa −1 ± j2 dà un’oscillazione smorzata, e−t per sin 2t o cos 2t.
Polo ripetuto (s + a)²: scrivi A/(s + a) + B/(s + a)². Il secondo termine dà B·t·e−at. Quindi (s + 4)/(s + 1)² = 1/(s + 1) + 3/(s + 1)² ↔ e−t + 3t·e−t.
Poli complessi: completa il quadrato, s² + 4s + 8 = (s + 2)² + 2². Allora 10/((s + 2)² + 2²) = 5·2/((s + 2)² + 2²) ↔ 5·e−2t·sin 2t.
Scomponi il denominatore ed elenca i poli. Per un polinomio di secondo grado, trova le sue radici o completa il quadrato.
Scrivi una frazione per ogni polo: A/s, B/(s + a) e così via. Un polo ripetuto ha anche un termine al quadrato.
Trova ogni coefficiente con la regola di copertura. Mantieni i segni dei fattori rimasti.
Traduci ogni termine di nuovo nel tempo con la tabella.
Inserisci il tempo t (radianti per seno e coseno). Controlla f(0⁺) e f(∞) con i teoremi dei valori.
Risposta: 2. Copri (s + 1) e poni s = −1 nel resto: (−1 + 5)/(−1 + 3) = 4/2 = 2. Il valore −1 è B. 4 dimentica di dividere per il fattore rimanente, e −2 inverte il segno del fattore rimanente: 4/(−2) invece di 4/2.
5Un esempio svolto
Questa è una tipica domanda di livello medio. Prova ogni passo da solo prima di aprirlo.
Esempio svolto
Trova f(t) per F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) con le frazioni parziali, e calcola f(0,5).
1
Imposta le frazioni
Il denominatore è già scomposto. I poli sono s = 0, s = −2 e s = −3, tutti semplici.
F(s) = A/s + B/(s + 2) + C/(s + 3)
2
Regola di copertura per A
Copri il fattore s e poni s = 0 nel resto:
A = 12/((0 + 2)(0 + 3)) = 12/6 = 2
3
Regola di copertura per B e C
Copri (s + 2) e poni s = −2. Poi copri (s + 3) e poni s = −3. Mantieni ogni segno.
B = 12/((−2)(−2 + 3)) = 12/(−2) = −6
C = 12/((−3)(−3 + 2)) = 12/3 = 4
4
Di nuovo nel tempo
Ogni termine è una coppia di tabella: 2/s ↔ 2, e B/(s + a) ↔ B·e−at.
A t = 0: 2 − 6 + 4 = 0. Il teorema del valore iniziale concorda, perché s·F(s) → 0 per s grande.
Per t → ∞ resta solo il 2. Anche il teorema del valore finale dà 12/(2·3) = 2.
Risposta
f(t) = 2 − 6e−2t + 4e−3t, quindi f(0,5) ≈ 0,685.
6Errori comuni
Confondere i teoremi: s → ∞ dà il valore iniziale f(0⁺), e s → 0 dà il valore finale f(∞).
Dimenticare il fattore s in s·F(s), o trascurare un fattore dello zero come (s + 2) quando si pone s = 0.
Errori di segno nella regola di copertura: a s = −3 il fattore (s + 2) vale −1, non 5.
Usare la coppia del seno senza dividere per ω: ω/(s² + ω²) richiede ω al numeratore.
Calcolare sin ωt o cos ωt con la calcolatrice in gradi. L’angolo ωt è in radianti.
Usare il teorema del valore finale quando f(t) non si assesta mai, per esempio F(s) = 1/(s² + 4), che è una sinusoide pura.
Autoverifica F(s) = 6/((s + 1)(s + 3)). Con la regola di copertura, quanto vale il coefficiente B di e−3t?
3
6
−2
−3
Risposta: −3. Copri (s + 3) e poni s = −3 nel resto: 6/(−3 + 1) = 6/(−2) = −3. Un 3 positivo è un errore di segno (è il coefficiente A di e−t). −2 divide per il valore del polo invece che per il fattore rimasto.
7Come sono fatte le domande d’esame
Facile: coppie di tabella e teoremi dei valori. Antitrasformi una costante, un’esponenziale, t·e−at, un seno o un coseno e li calcoli, oppure trovi f(0⁺), f(∞) o la pendenza iniziale f′(0⁺).
Medio: antitrasformate con le frazioni parziali. Trovi un coefficiente A, antitrasformi tre poli semplici s(s + a)(s + b), un polo ripetuto, o poli complessi completando il quadrato.
Difficile: equazioni differenziali e funzioni di trasferimento, per esempio y″ + 7y′ + 6y = 15·u(t) con valori iniziali dati. Trovi y a un dato istante.
Per il livello difficile, trasforma ogni derivata insieme alle sue condizioni iniziali:
ℒ{y′} = s·Y − y(0) ℒ{y″} = s²·Y − s·y(0) − y′(0)
Poi risolvi l’equazione algebrica per Y(s), e antitrasformala con le frazioni parziali come nell’esempio svolto.
Un segnale f(t) ha trasformata di Laplace F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23)). Usa il teorema del valore finale per trovare il valore f(∞) a cui tende f(t).
F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23))
Calcola f(∞)
Mostra i suggerimenti
Teorema del valore finale: f(∞) = lim s·F(s) per s → 0.
Verifica prima che tutti i poli di s·F(s) giacciano nel semipiano sinistro, così che f(t) tenda davvero a un valore finale.
s·F(s) = 28/(s² + 2s + 23).
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Trasformata di Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt trasforma le derivate in moltiplicazioni per s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Coppie standard: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), e una traslazione s → s + σ moltiplica la funzione nel tempo per e−σt. Per antitrasformare una F(s) razionale, scomponila in fratti semplici: il residuo di un polo semplice p è A = [(s − p)·F(s)] in s = p. Teorema del valore finale: f(∞) = lims→0 s·F(s), valido solo quando tutti i poli di s·F(s) giacciono nel semipiano sinistro. Teorema del valore iniziale: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Verifica che il teorema sia applicabile
Il teorema vale solo quando f(t) si assesta; un polo sull’asse immaginario o nel semipiano destro darebbe un risultato sbagliato.
Poli di s·F(s): s² + 2s + 23 = 0, tutti nel semipiano sinistro.
F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48). La sua antitrasformata ha la forma f(t) = A·e−6t + B·e−8t. Trova il coefficiente A con i fratti semplici.
F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48)
Calcola A
Mostra i suggerimenti
Scomponi il denominatore: s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8).
Regola di copertura: A = [(s + 6)·F(s)] in s = −6.
In s = −6: numeratore 16, altro fattore 2.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Trasformata di Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt trasforma le derivate in moltiplicazioni per s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Coppie standard: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), e una traslazione s → s + σ moltiplica la funzione nel tempo per e−σt. Per antitrasformare una F(s) razionale, scomponila in fratti semplici: il residuo di un polo semplice p è A = [(s − p)·F(s)] in s = p. Teorema del valore finale: f(∞) = lims→0 s·F(s), valido solo quando tutti i poli di s·F(s) giacciono nel semipiano sinistro. Teorema del valore iniziale: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Scomponi il denominatore
s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)
F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 8)
Regola di copertura
Moltiplica per (s + 6) e poni s = −6: il termine in B si annulla.
A = (s + 22)/(s + 8) |s = −6 = 16/2 = 8
Risposta
A = 8
(B = −7, quindi f(t) = 8·e−6t − 7·e−8t)
Esempio 3Difficile
Un sistema obbedisce a y″ + 7y′ + 10y = 30·u(t), con y(0) = 5 e y′(0) = 0. A t = 0 viene applicato un ingresso a gradino u(t) = 5. Usa la trasformata di Laplace per trovare y(0,6).
Moltiplica tutto per s: Y(s) = (5s² + 35s + 150)/(s(s + 2)(s + 5)).
A = 15, B = −16,67, C = 6,667.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Trasformata di Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt trasforma le derivate in moltiplicazioni per s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Coppie standard: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), e una traslazione s → s + σ moltiplica la funzione nel tempo per e−σt. Per antitrasformare una F(s) razionale, scomponila in fratti semplici: il residuo di un polo semplice p è A = [(s − p)·F(s)] in s = p. Teorema del valore finale: f(∞) = lims→0 s·F(s), valido solo quando tutti i poli di s·F(s) giacciono nel semipiano sinistro. Teorema del valore iniziale: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Trasforma l’equazione
(s² + 7s + 10)·Y(s) = 5s + 35 + 150/s
Y(s) = (5s² + 35s + 150)/(s(s + 2)(s + 5))
Fratti semplici
A = 150/(2·5) = 15
B = 100/((−2)·3) = −16,67
C = 100/((−5)·(−3)) = 6,667
Risultato
y(t) = 15 − 16,67·e−2t + 6,667·e−5t
y(0,6) = 10,31
Risposta
y(0,6) = 10,31
Controllo: y(0) = A + B + C = 5.
Domande e risposte
Trasformate di Laplace: di cosa si tratta?
Circuiti, motori e serbatoi sono descritti da equazioni differenziali: l’uscita dipende dalla propria velocità di variazione. Risolverle direttamente è lento.
La trasformata di Laplace trasforma un problema di questo tipo in algebra. Scambi ogni funzione del tempo f(t) con una funzione F(s) di una nuova variabile s.
Trasformate di Laplace: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
Trasformata di Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt trasforma le derivate in moltiplicazioni per s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Coppie standard: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), e una traslazione s → s + σ moltiplica la funzione nel tempo per e−σt. Per antitrasformare una F(s) razionale, scomponila in fratti semplici: il residuo di un polo semplice p è A = [(s − p)·F(s)] in s = p. Teorema del valore finale: f(∞) = lims→0 s·F(s), valido solo quando tutti i poli di s·F(s) giacciono nel semipiano sinistro. Teorema del valore iniziale: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Trasformate di Laplace: quali sono gli errori più comuni?
In s = 0 il fattore s² + 2s + 23 vale il suo termine costante 23.
Calcola il limite per s → 0, non s = 1.
Questo è B, il coefficiente di e−8t. A appartiene al polo s = −6.
Trasformate di Laplace: che cosa si esercita?
Facile: coppie di tabella e teoremi del valore
Media: antitrasformata con i fratti semplici
Difficile: Equazioni differenziali e funzioni di trasferimento
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta. Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
Come funziona l’esercitazione
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