Sistemi trifase: esercizi con soluzioni passo passo

Detto anche: collegamento stella triangolo · potenza trifase

Esercizi gratuiti su Sistemi trifase con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: tensioni e correnti in sistemi equilibrati a stella e a triangolo, potenza trifase, rifasamento.

Esercizio gratuitoFacile
ABCVL​ = 415 VIL​ = ?NZ = 24 + j7 Ωper fase

Un carico equilibrato a stella ha un’impedenza di 24 + j7 Ω per fase. È alimentato da una sorgente trifase equilibrata con una tensione concatenata di 415 V. Trova il modulo della corrente di linea IL.

VL = 415 VZ = 24 + j7 Ω per fase
A
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Su cosa ti eserciti

  1. Faciletensioni e correnti in sistemi equilibrati a stella e a triangolo
  2. Mediapotenza trifase
  3. Difficilerifasamento

Formule chiave

Collegamento a stella (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Collegamento a triangolo (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potenza attiva totale
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potenza apparente e reattiva
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Condensatori di rifasamento
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensione su ciascun condensatore
Δ: VL Y: VL/√3
Potenza assorbita dal motore
Pin = Pout/η

Impara Sistemi trifase da zero

Prima di questo: Potenza AC e fattore di potenza

1Che cos’è la potenza trifase

Quasi tutta l’elettricità è generata e distribuita come c.a. trifase. Tre fili, chiamati linee o fasi (A, B e C), portano ciascuno un’onda sinusoidale.

Le tre onde hanno la stessa ampiezza e frequenza, ma ciascuna è sfasata di un terzo di ciclo, 120°, rispetto alla successiva.

tABC120°

Pensa a tre persone che pedalano a turno su una bicicletta: una spinge mentre le altre recuperano. La spinta totale resta costante. Allo stesso modo, un sistema trifase equilibrato fornisce una potenza totale costante, il che fa girare i motori in modo regolare.

Richiede inoltre meno rame di tre circuiti monofase separati per la stessa potenza.

In questo argomento ogni carico è equilibrato: tutte e tre le fasi hanno la stessa impedenza. Allora puoi calcolare una fase e moltiplicare per tre.

Autoverifica Di quanto è sfasata ciascuna tensione di fase rispetto alla successiva?
  1. 120°
  2. 180°
  3. 60°
  4. 90°

Risposta: 120°. Le tre fasi si dividono un ciclo completo di 360°, quindi distano 360/3 = 120°.

2Collegamenti a Y e a Δ

Un carico trifase ha tre impedenze. Possono essere collegate in due modi.

NABCYABCΔ
  • Y (stella): ogni impedenza va da una linea a un centro stella comune N.
  • Δ (triangolo): ogni impedenza sta tra due linee, formando un triangolo.

La tensione tra due linee è la tensione di linea VL, il valore normalmente indicato (400 V, 415 V, 208 V…). La tensione ai capi di una impedenza è la tensione di fase Vph. Lo stesso vale per la corrente di linea IL e la corrente di fase Iph.

Y: VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ: VL = Vph, IL = √3·Iph

In entrambi i casi, una fase segue la legge di Ohm: Iph = Vph / |Z|, con |Z| = √(R² + X²).

Autoverifica Un carico collegato a Y è alimentato da una rete a 400 V (tra le linee). Quale tensione c’è ai capi di ciascuna impedenza?
  1. 133 V
  2. 231 V
  3. 400 V
  4. 693 V

Risposta: 231 V. In Y, Vph = VL/√3 = 400/√3 = 231 V. 400 V è il caso Δ, 693 V moltiplica per √3, e 133 V divide due volte per √3.

3Sistemi trifase

La potenza totale è tre volte la potenza di una fase. Scritto con i valori di linea, lo stesso totale diventa:

P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ
S = √3·VL·IL Q = P·tan φ

Questa formula è la stessa per Y e Δ. Il fattore di potenza cos φ è il fattore di potenza di una impedenza di fase: cos φ = R/|Z|.

Se conosci la corrente di fase e la resistenza, puoi usare anche P = 3·Iph²·R. Solo la resistenza assorbe potenza attiva.

Autoverifica Un carico equilibrato assorbe 10 A per linea da una rete a 400 V con un fattore di potenza di 0,9. Quale potenza attiva totale assorbe?
  1. 10800 W
  2. 3600 W
  3. 6235 W
  4. 6928 W

Risposta: 6235 W. P = √3·400·10·0,9 = 6235 W. Omettere √3 dà 3600 W, usare 3 invece di √3 con i valori di linea dà 10800 W, e 6928 W dimentica il fattore di potenza.

4Il metodo passo dopo passo

  1. Annota il collegamento (Y o Δ) e la tensione di linea VL.
  2. Trova la tensione di fase: Vph = VL/√3 per Y, Vph = VL per Δ.
  3. Trova |Z| = √(R² + X²) e la corrente di fase Iph = Vph/|Z|.
  4. Trova la corrente di linea: IL = Iph per Y, IL = √3·Iph per Δ.
  5. Trova la potenza: P = 3·Iph²·R, oppure P = √3·VL·IL·cos φ con cos φ = R/|Z|.

Lavora su una fase finché puoi. Passa ai valori di linea solo alla fine.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Un carico equilibrato collegato a Y ha un’impedenza di 6 + j8 Ω per fase ed è alimentato da una rete a 400 V (tra le linee). Trova la corrente di linea IL e la potenza attiva totale P.

1

Tensione di fase

In un collegamento a Y ogni impedenza vede la tensione di fase.

Vph = 400 / √3 = 230,9 V
2

Modulo dell’impedenza

|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω

Il fattore di potenza è cos φ = R/|Z| = 6/10 = 0,6.

3

Corrente di fase e di linea

Iph = 230,9 / 10 = 23,1 A

In Y la corrente di linea è la corrente di fase, quindi IL = 23,1 A.

4

Potenza attiva totale

P = 3·Iph²·R = 3·23,1²·6 = 9600 W
5

Controlla il risultato

Con i valori di linea: P = √3·400·23,1·0,6 = 9600 W. Le due formule concordano.

Risposta

IL = 23,1 A e P = 9,6 kW.

6Errori comuni

  • Mettere la tensione di linea ai capi di una impedenza a Y. In Y ogni impedenza vede VL/√3.
  • Dimenticare che in Δ la corrente di linea è √3 volte la corrente di fase.
  • Dividere per R invece che per |Z| quando si trova la corrente.
  • Usare 3 con i valori di linea o √3 con i valori di fase nella formula della potenza.
Autoverifica Le stesse impedenze 6 + j8 Ω sono ora collegate a Δ alla rete a 400 V. Qual è la corrente di linea?
  1. 115 A
  2. 23,1 A
  3. 40 A
  4. 69,3 A

Risposta: 69,3 A. In Δ, Vph = 400 V, quindi Iph = 400/10 = 40 A e IL = √3·40 = 69,3 A. 40 A è solo la corrente di fase, e 115 A divide per R invece che per |Z|.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: un carico a Y o a Δ con un’impedenza come 3 + j4 Ω. Trovi la corrente di linea o la corrente di fase.
  • Medio: potenza attiva totale, dall’impedenza oppure da VL, IL e fattore di potenza. Una domanda su un motore dà la potenza in uscita e il rendimento: prima trova Pin = Pout/η, poi IL = Pin/(√3·VL·cos φ).
  • Difficile: rifasamento con una batteria di condensatori trifase. Trovi la potenza reattiva QC o la capacità per fase.

Per il rifasamento, QC = P·(tan φ1 − tan φ2) come nel monofase. Ciascuno dei tre condensatori fornisce un terzo di questo valore:

C = QC / (3·ω·V²)

Qui V è la tensione ai capi di ciascun condensatore: VL per Δ, e VL/√3 per Y. Quindi una batteria a Y richiede il triplo della capacità di una batteria a Δ.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?Z = 24 + j7 Ωper fase

Un carico equilibrato a triangolo ha un’impedenza di 24 + j7 Ω per fase. È alimentato da una sorgente trifase equilibrata con una tensione concatenata di 400 V. Trova il modulo della corrente di linea IL.

VL = 400 VZ = 24 + j7 Ω per fase

Calcola IL (A)

Mostra i suggerimenti
  1. In un collegamento a triangolo ogni impedenza è collegata tra due linee.
  2. Quindi ogni impedenza è sottoposta all’intera tensione concatenata, e IL = √3·Iph.
  3. Iph = 400/25 = 16 A.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Sistemi trifase equilibrati: in un collegamento a stella (Y) la tensione concatenata è √3 volte la tensione di fase, VL = √3·Vph, e la corrente di linea è uguale alla corrente di fase. In un collegamento a triangolo (Δ) la tensione concatenata è uguale alla tensione di fase e la corrente di linea è √3 volte la corrente di fase, IL = √3·Iph. La potenza totale è tre volte la potenza di una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Modulo dell’impedenza

|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω

Corrente di fase

Ogni impedenza è collegata tra due linee ed è sottoposta a VL.

Iph = VL/|Z| = 400/25 = 16 A

Corrente di linea

IL = √3·Iph = √3·16 = 27,71 A

Risposta

IL = 27,71 A
Esempio 2Media
ABCVL​ = 400 VZ = 24 + j18 Ωper fase

Un carico equilibrato a triangolo con un’impedenza di 24 + j18 Ω per fase è collegato a una rete trifase equilibrata con una tensione concatenata di 400 V. Trova la potenza attiva totale P assorbita dal carico in kW.

VL = 400 VZ = 24 + j18 Ω per fase

Calcola P (kW)

Mostra i suggerimenti
  1. In un collegamento a triangolo ogni impedenza è sottoposta all’intera tensione concatenata.
  2. Trova la corrente di fase, poi P = 3·Iph²·R.
  3. Iph = 13,33 A.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Sistemi trifase equilibrati: in un collegamento a stella (Y) la tensione concatenata è √3 volte la tensione di fase, VL = √3·Vph, e la corrente di linea è uguale alla corrente di fase. In un collegamento a triangolo (Δ) la tensione concatenata è uguale alla tensione di fase e la corrente di linea è √3 volte la corrente di fase, IL = √3·Iph. La potenza totale è tre volte la potenza di una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Tensione di fase

Vph = VL = 400 V

Corrente di fase

|Z| = √(24² + 18²) = 30 Ω
Iph = 400/30 = 13,33 A

Potenza attiva totale

Solo la parte resistiva di ogni impedenza assorbe potenza attiva.

P = 3·Iph²·R = 3·13,33²·24 = 12,8 kW

Risposta

P = 12,8 kW

Verifica: cos φ = R/|Z| = 0,8, e √3·VL·IL·cos φ dà la stessa potenza.

Esempio 3Difficile
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​

Un carico trifase equilibrato assorbe 60 kW con un fattore di potenza di 0,7 in ritardo da una rete a 480 V (tensione concatenata) e 60 Hz. Una batteria trifase di condensatori in parallelo al carico deve portare il fattore di potenza complessivo a 0,9 in ritardo. La potenza attiva resta invariata. I condensatori sono collegati a stella. Trova la capacità Cph di ciascun condensatore in µF.

P = 60 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,9VL = 480 Vf = 60 Hz

Calcola Cph (µF)

Mostra i suggerimenti
  1. Trova prima QC = P·(tan φ1 − tan φ2).
  2. Ogni condensatore fornisce QC/3.
  3. A stella ogni condensatore è sottoposto a VL/√3: QC/3 = (VL/√3)²·ω·C.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Sistemi trifase equilibrati: in un collegamento a stella (Y) la tensione concatenata è √3 volte la tensione di fase, VL = √3·Vph, e la corrente di linea è uguale alla corrente di fase. In un collegamento a triangolo (Δ) la tensione concatenata è uguale alla tensione di fase e la corrente di linea è √3 volte la corrente di fase, IL = √3·Iph. La potenza totale è tre volte la potenza di una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Rifasamento: i condensatori forniscono localmente potenza reattiva, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Ciascuno dei tre condensatori fornisce QC/3 = V²·ω·C, dove V è la tensione ai capi di quel condensatore: VL in una batteria a triangolo, VL/√3 in una batteria a stella.

Potenza reattiva prima e dopo

La potenza attiva non cambia, quindi ogni fattore di potenza determina la potenza reattiva: Q = P·tan φ.

Q1 = 60·tan(acos 0,7) = 60·1,02 = 61,21 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0,9) = 60·0,4843 = 29,06 kvar

Potenza reattiva dei condensatori

QC = Q1 − Q2 = 32,15 kvar

Capacità per fase

In una batteria a stella ogni condensatore è collegato tra una linea e il centro stella.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 10718/(377·277,1²) = 370,2 µF

Risposta

Cph = 370,2 µF

Domande e risposte

Sistemi trifase: di cosa si tratta?

Quasi tutta l’elettricità è generata e distribuita come c.a. trifase. Tre fili, chiamati linee o fasi (A, B e C), portano ciascuno un’onda sinusoidale.

Le tre onde hanno la stessa ampiezza e frequenza, ma ciascuna è sfasata di un terzo di ciclo, 120°, rispetto alla successiva.

Sistemi trifase: come si risolvono gli esercizi passo per passo?

Sistemi trifase equilibrati: in un collegamento a stella (Y) la tensione concatenata è √3 volte la tensione di fase, VL = √3·Vph, e la corrente di linea è uguale alla corrente di fase. In un collegamento a triangolo (Δ) la tensione concatenata è uguale alla tensione di fase e la corrente di linea è √3 volte la corrente di fase, IL = √3·Iph. La potenza totale è tre volte la potenza di una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Sistemi trifase: quali sono gli errori più comuni?
  • Questa è la corrente di fase in una impedenza. In un collegamento a triangolo la corrente di linea è √3 volte maggiore.
  • Questo è il risultato per un collegamento a stella. In un collegamento a triangolo ogni impedenza è sottoposta all’intera tensione concatenata.
  • Dividi per il modulo dell’impedenza |Z| = √(R² + X²), non solo per R.
Sistemi trifase: che cosa si esercita?
  • Facile: tensioni e correnti in sistemi equilibrati a stella e a triangolo
  • Media: potenza trifase
  • Difficile: rifasamento

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