Analisi nodale: esercizi con soluzioni passo passo

1Che cos’è l’analisi nodale

L’analisi nodale è un metodo standard per trovare tutte le tensioni in un circuito. Funziona anche quando le regole di serie e parallelo non bastano.

Un nodo è un punto in cui si incontrano due o più parti di un circuito. Un intero tratto di semplice filo conta come un solo nodo, perché lungo un filo non c’è caduta di tensione.

Scegli un nodo come riferimento, detto anche massa (ground), e gli assegni 0 V. Ogni altra tensione di nodo è misurata a partire da quel nodo.

Pensa alle altezze su una carta geografica, misurate dal livello del mare. L’acqua scorre dall’alto verso il basso, e il flusso in un tubo dipende dalla differenza di altezza tra le sue estremità.

Una volta note le tensioni di nodo, la legge di Ohm dà tutte le correnti. Quindi le tensioni di nodo sono le uniche incognite di cui hai bisogno.

2Legge di Kirchhoff delle correnti

La carica non può accumularsi in un nodo. Quindi tutta la corrente che entra in un nodo deve uscirne di nuovo. Questa è la legge di Kirchhoff delle correnti (KCL).

Per esempio, se in un nodo entrano 3 A e 2 A, allora 5 A in totale devono uscirne attraverso gli altri rami.

Scrivi la corrente in ogni resistore con la legge di Ohm, usando le tensioni ai suoi due capi:

Questa è la corrente da a verso b. Se il risultato è negativo, la corrente in realtà scorre da b verso a. Va bene: mantieni il segno.

3Il metodo passo dopo passo

1. Scegli il nodo di riferimento. La scelta usuale è il filo in basso. Contrassegnalo con il simbolo di massa.
2. Trova i nodi di cui conosci già la tensione. Un nodo collegato a massa da un generatore di tensione si trova alla tensione di quel generatore.
3. Dai un nome a ogni altro nodo (A, B, …). Le loro tensioni V_A, V_B, … sono le incognite.
4. A ogni nodo incognito scrivi la KCL: le correnti che escono attraverso i resistori si sommano alla corrente immessa dai generatori di corrente.
5. Scrivi la corrente di ogni resistore come (V_nodo − V_{altro capo})/R, poi risolvi le equazioni.
6. Usa la legge di Ohm per trovare qualsiasi corrente di ramo richiesta dalla domanda.

Scrivere ogni corrente di resistore come uscente dal nodo rende automatici i segni. Non devi prima indovinare i versi reali.

Serve un’equazione per ogni nodo incognito. Non scrivere mai un’equazione per il nodo di riferimento: la sua tensione è già nota.

4Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

5Due nodi incogniti

Con due nodi incogniti scrivi un’equazione KCL a ciascun nodo e risolvi insieme le due equazioni.

Al nodo A escono tre resistori: R₁, R₂ e R₃. Al nodo B escono due resistori e il generatore di corrente immette 2 A.

Moltiplica la prima equazione per 6 e la seconda per 3:

Somma le due equazioni. I termini in V_B si annullano, quindi 6·V_A = 24.

Nota che R₃ compare in entrambe le equazioni, come (V_A − V_B) in A e come (V_B − V_A) in B. È un modo rapido per controllare che le equazioni siano giuste.

6Errori comuni

• Confondere il segno di un resistore condiviso: è (V_A − V_B) in A, ma (V_B − V_A) in B.
• Dimenticare un generatore di corrente che entra o esce dal nodo.
• Scrivere un’equazione KCL per il nodo di riferimento, o trattare un nodo noto come incognito.
• Eliminare il segno meno di una corrente negativa. Un risultato negativo significa che la corrente scorre contro la freccia.

7Come sono fatte le domande d’esame

• Facile: un nodo incognito A, con un generatore di tensione e un generatore di corrente oppure un secondo generatore di tensione. Basta un’equazione KCL.
• Medio: due nodi incogniti A e B, con un generatore di corrente in B. Scrivi due equazioni e risolvile insieme.
• Difficile: due nodi incogniti e tre generatori: due generatori di tensione e uno di corrente. Il metodo è lo stesso, con più termini.

La domanda chiede una tensione di nodo, oppure la corrente in un resistore nel verso della freccia.

Per una corrente di ramo, trova prima le tensioni di nodo. Poi usa I = (V_inizio − V_fine)/R lungo la freccia.