Risonanza LC, fattore Q e larghezza di banda: esercizi con soluzioni passo passo

Esercizi gratuiti su Risonanza LC, fattore Q e larghezza di banda con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: frequenza naturale, Q ed energia, RLC serie e parallelo, progetto, perdite e decadimento.

Esercizio gratuitoFacile
C = ?L = 4,7 mH

Un circuito LC con L = 4,7 mH deve risuonare a 50 kHz. Trova la capacità C in nF.

L = 4,7 mHf0 = 50 kHz
nF
Esercizio successivo →
Esercitati su Risonanza LC, fattore Q e larghezza di banda gratisEsercitati su Risonanza LC, fattore Q e larghezza di banda ora5 esercizi gratuiti ogni giorno. Nessuna carta richiesta.

Su cosa ti eserciti

  1. Facilefrequenza naturale, Q ed energia
  2. MediaRLC serie e parallelo
  3. Difficileprogetto, perdite e decadimento

Come risolvere gli esercizi di Risonanza LC, fattore Q e larghezza di banda

  1. Trova prima la frequenza di risonanza: ω₀ = 1/√(LC) e f₀ = ω₀/(2π).
  2. Decidi se il circuito è serie o parallelo: serie Q = (1/R)√(L/C), parallelo Q = R√(C/L).
  3. Usa BW = f₀/Q per la larghezza di banda, oppure le scorciatoie R/(2πL) (serie) e 1/(2πRC) (parallelo).
  4. Nei problemi di energia usa il fatto che l’energia totale ½CV₀² resta costante in un circuito LC ideale e oscilla tra C e L ogni quarto di periodo.

Errori comuni

  • Confondere ω₀ (rad/s) e f₀ (Hz): differiscono di 2π.
  • Usare la formula di Q della serie in un circuito parallelo, dove un R più grande dà un Q più alto.
  • Mettere f₀ a metà tra f₁ e f₂: è la loro media geometrica √(f₁f₂).
  • Dimenticare di convertire µH, nF e pF in H e F.

Formule chiave

Frequenza naturale
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Energia
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Corrente di picco
Imax = V0√(C/L)
Fattore di qualità
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC serie
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC parallelo
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Larghezza di banda
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Frequenze di mezza potenza
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Circuito risonante con resistenza r della bobina
RD = L/(C·r) = Q²·r
Decadimento dell’ampiezza
e−Rt/(2L)

Impara Risonanza LC, fattore Q e larghezza di banda da zero

Prima di questo: Impedenza AC e fasori

1Che cosa succede in un circuito LC

Carica un condensatore e collegalo a un induttore. Il condensatore fa passare una corrente nella bobina. La corrente costruisce un campo magnetico e, quando il condensatore è scarico, il campo mantiene la corrente, quindi il condensatore si carica nel verso opposto. Poi tutto torna indietro.

C+−Li

L’energia oscilla tra il campo elettrico di C (½Cv²) e il campo magnetico di L (½Li²), come un pendolo oscilla tra altezza e velocità. Senza resistenza l’energia totale ½CV0² resta la stessa.

Autoverifica Nell’istante in cui la tensione sul condensatore è zero, dove si trova l’energia di un circuito LC ideale?
  1. Metà in C e metà in L
  2. Tutta nel condensatore
  3. Tutta nell’induttore, e la corrente è al massimo
  4. È stata persa sotto forma di calore

Risposta: Tutta nell’induttore, e la corrente è al massimo. Con v = 0 il condensatore contiene ½Cv² = 0, quindi tutta l’energia è ½Li² nell’induttore: la corrente è al massimo. Un circuito ideale non ha resistenza, quindi non si perde nulla.

2La frequenza naturale

Il circuito oscilla alla frequenza in cui le reattanze di L e C sono uguali, ωL = 1/(ωC):

ω0 = 1/√(LC) f0 = ω0/(2π) = 1/(2π√(LC))

Con L = 10 mH e C = 1 µF: LC = 10⁻⁸ s², ω0 = 10 000 rad/s e f0 = 1592 Hz. L’energia passa da C a L in un quarto del periodo T = 1/f0.

L’energia dà anche la corrente di picco: ½CV0² = ½LImax², quindi Imax = V0√(C/L).

Autoverifica Che cosa succede a f0 quando raddoppi C?
  1. Aumenta di un fattore √2
  2. Raddoppia
  3. Scende a f0/√2, circa 0,71·f0
  4. Si dimezza

Risposta: Scende a f0/√2, circa 0,71·f0. f0 è proporzionale a 1/√C, quindi raddoppiare C la divide per √2. Si dimezza solo quando C è quattro volte più grande.

3Fattore di qualità e larghezza di banda

I circuiti reali perdono energia nella resistenza. Il fattore di qualità Q confronta l’energia immagazzinata con la perdita: Q = 2π·(energia immagazzinata)/(energia persa per ciclo). Un Q alto dà un picco di risonanza stretto.

f|I|0,707f0​f1​f2​BW

La larghezza di banda è l’ampiezza del picco tra le frequenze di mezza potenza f1 e f2, dove la corrente vale 0,707 del suo picco:

BW = f2 − f1 = f0/Q f0 = √(f1·f2)
  • RLC serie: Q = (1/R)·√(L/C) e BW = R/(2πL). Una piccola resistenza in serie dà un Q alto.
  • RLC parallelo: Q = R·√(C/L) e BW = 1/(2πRC). Una grande resistenza in parallelo dà un Q alto.

4Il metodo passo dopo passo

  1. Converti L e C in H e F, poi trova ω0 = 1/√(LC) e f0 = ω0/(2π).
  2. Decidi se R è in serie o in parallelo e usa la formula di Q corrispondente.
  3. Trova la larghezza di banda BW = f0/Q.
  4. Per le frequenze di mezza potenza usa f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)); per un Q alto, f0 ∓ BW/2 è una buona approssimazione.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Un circuito RLC serie ha R = 10 Ω, L = 10 mH e C = 1 µF. Trova la sua frequenza di risonanza, il fattore di qualità, la larghezza di banda e le frequenze di mezza potenza.

1

Osserva il circuito

RLC

Tutte e tre le parti portano la stessa corrente, quindi è un circuito serie.

2

Frequenza di risonanza

f0 = 1/(2π√(0,01·10⁻⁶)) = 1/(2π·10⁻⁴) = 1592 Hz
3

Fattore di qualità

Q = (1/10)·√(0,01/10⁻⁶) = (1/10)·100 = 10
4

Larghezza di banda

BW = f0/Q = 1592/10 = 159,2 Hz

Verifica: R/(2πL) = 10/(2π·0,01) = 159,2 Hz.

5

Frequenze di mezza potenza

f1,2 = 1592·(√(1 + 1/400) ∓ 0,05) = 1514 Hz e 1673 Hz

Verifica: 1673 − 1514 = 159 Hz, e √(1514·1673) = 1592 Hz.

Risposta

f0 = 1,59 kHz, Q = 10, BW = 159 Hz, f1 = 1,51 kHz e f2 = 1,67 kHz.

6Errori comuni

  • Confondere ω0 in rad/s e f0 in Hz: differiscono di 2π.
  • Usare la formula di Q della serie in un circuito parallelo.
  • Mettere f0 a metà tra f1 e f2: è la loro media geometrica.
  • Dimenticare di convertire mH, µH, nF e pF in H e F.
Autoverifica Un circuito RLC parallelo ha R = 10 kΩ, L = 10 mH e C = 1 µF. Quanto vale il suo Q?
  1. 0,01
  2. 10 000
  3. 100
  4. 1

Risposta: 100. In parallelo, Q = R·√(C/L) = 10 000·√(10⁻⁴) = 100. La formula della serie (1/R)·√(L/C) dà 0,01, e omettere la radice quadrata dà 1.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: frequenza naturale, Q ed energia. Trovi f0 o il C per un dato f0, la larghezza di banda da Q o Q dalla larghezza di banda, l’energia immagazzinata o la corrente di picco.
  • Medio: RLC serie e parallelo. Trovi Q o la larghezza di banda di un circuito serie o parallelo, l’esatta frequenza di mezza potenza, il tempo che l’energia impiega a passare da C a L, o l’energia in L a una data tensione del condensatore.
  • Difficile: progetto, perdite e decadimento. Dimensioni R per una larghezza di banda o C per un filtro, trovi l’energia persa per ciclo, la resistenza dinamica di un circuito risonante, il numero di cicli prima che l’ampiezza si dimezzi, o Q dalle due frequenze di mezza potenza.

Impara passo dopo passo nell’appImpara passo dopo passo nell’app

Esempi svolti

Esempio 1Facile
C = ?L = 47 µH

Un circuito LC con L = 47 µH deve risuonare a 500 kHz. Trova la capacità C in nF.

L = 47 µHf0 = 500 kHz

Calcola C (nF)

Mostra i suggerimenti
  1. f₀ = 1/(2π√(LC)).
  2. C = 1/(ω₀²·L).
  3. ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Risonanza LC: un condensatore carico collegato a un induttore fa passare una corrente che lo carica nel verso opposto: l’energia oscilla tra il campo elettrico di C (½Cv²) e il campo magnetico di L (½Li²) alla frequenza naturale f0 = 1/(2π√(LC)). Senza resistenza l’energia totale ½CV0² resta costante, quindi la corrente di picco è Imax = V0√(C/L). Un periodo è T = 1/f0; l’energia passa da C a L in un quarto di esso.

Pulsazione

ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s

Capacità

C = 1/(ω₀²L) = 1/(9,87 × 10¹²·4,7 × 10⁻⁵) = 2,156 × 10⁻⁹ F = 2,156 nF

Risposta

C = 2,156 nF
Esempio 2Media
V2 Ω2,2 mH220 nF

Un circuito RLC serie ha R = 2 Ω, L = 2,2 mH e C = 220 nF. Trova la sua larghezza di banda BW in Hz.

R = 2 ΩL = 2,2 mHC = 220 nF

Calcola BW (Hz)

Mostra i suggerimenti
  1. La larghezza di banda è f₀/Q.
  2. Per l’RLC serie si semplifica in BW = R/(2πL): C scompare.
  3. R/L = 909,1 rad/s.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Fattore Q e larghezza di banda: in un circuito risonante Q = 2π·(energia immagazzinata)/(energia persa per ciclo). Per l’RLC serie Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); per l’RLC parallelo Q = R/(ω0L) = R√(C/L). La larghezza di banda tra le frequenze di mezza potenza f1 e f2 (dove la potenza è metà e la corrente o la tensione è 1/√2 del picco) è BW = f2 − f1 = f0/Q, cioè R/(2πL) in serie e 1/(2πRC) in parallelo. La frequenza di risonanza è la media geometrica f0 = √(f1f2), e f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Le perdite fanno anche smorzare l’oscillazione: nell’RLC serie l’ampiezza diminuisce come e−Rt/(2L).

Larghezza di banda in rad/s

R/L = 2/0,0022 = 909,1 rad/s

Larghezza di banda in Hz

BW = 909,1/(2π) = 144,7 Hz = 144,7 Hz

Risposta

BW = 144,7 Hz

Con f₀ = 7,234 kHz si ottiene Q = 50.

Esempio 3Difficile
C = 10 nFr = 0,5 ΩL = 47 µH

Un circuito risonante parallelo è fatto di un condensatore da 10 nF e una bobina da 47 µH con resistenza dell’avvolgimento di 0,5 Ω. In risonanza si comporta come un resistore, la sua resistenza dinamica è RD = L/(C·r). Trova RD in kΩ.

L = 47 µHC = 10 nFr = 0,5 Ω

Calcola RD (kΩ)

Mostra i suggerimenti
  1. In risonanza il circuito assorbe solo una piccola corrente, quindi la sua impedenza è grande.
  2. RD = L/(C·r) = Q²·r.
  3. L/C = 4700 Ω².
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Fattore Q e larghezza di banda: in un circuito risonante Q = 2π·(energia immagazzinata)/(energia persa per ciclo). Per l’RLC serie Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); per l’RLC parallelo Q = R/(ω0L) = R√(C/L). La larghezza di banda tra le frequenze di mezza potenza f1 e f2 (dove la potenza è metà e la corrente o la tensione è 1/√2 del picco) è BW = f2 − f1 = f0/Q, cioè R/(2πL) in serie e 1/(2πRC) in parallelo. La frequenza di risonanza è la media geometrica f0 = √(f1f2), e f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Le perdite fanno anche smorzare l’oscillazione: nell’RLC serie l’ampiezza diminuisce come e−Rt/(2L).

Resistenza dinamica

RD = 4,7 × 10⁻⁵/(1 × 10⁻⁸·0,5) = 9400 Ω = 9,4 kΩ

Verifica con Q

Q = (1/r)·√(L/C) = 137,1, Q²·r = 9400 Ω

Risposta

RD = 9,4 kΩ

Domande e risposte

Risonanza LC, fattore Q e larghezza di banda: di cosa si tratta?

Carica un condensatore e collegalo a un induttore. Il condensatore fa passare una corrente nella bobina. La corrente costruisce un campo magnetico e, quando il condensatore è scarico, il campo mantiene la corrente, quindi il condensatore si carica nel verso opposto. Poi tutto torna indietro.

L’energia oscilla tra il campo elettrico di C (½Cv²) e il campo magnetico di L (½Li²), come un pendolo oscilla tra altezza e velocità. Senza resistenza l’energia totale ½CV0² resta la stessa.

Risonanza LC, fattore Q e larghezza di banda: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
  1. Trova prima la frequenza di risonanza: ω₀ = 1/√(LC) e f₀ = ω₀/(2π).
  2. Decidi se il circuito è serie o parallelo: serie Q = (1/R)√(L/C), parallelo Q = R√(C/L).
  3. Usa BW = f₀/Q per la larghezza di banda, oppure le scorciatoie R/(2πL) (serie) e 1/(2πRC) (parallelo).
  4. Nei problemi di energia usa il fatto che l’energia totale ½CV₀² resta costante in un circuito LC ideale e oscilla tra C e L ogni quarto di periodo.
Risonanza LC, fattore Q e larghezza di banda: quali sono gli errori più comuni?
  • Confondere ω₀ (rad/s) e f₀ (Hz): differiscono di 2π.
  • Usare la formula di Q della serie in un circuito parallelo, dove un R più grande dà un Q più alto.
  • Mettere f₀ a metà tra f₁ e f₂: è la loro media geometrica √(f₁f₂).
  • Dimenticare di convertire µH, nF e pF in H e F.
Risonanza LC, fattore Q e larghezza di banda: che cosa si esercita?
  • Facile: frequenza naturale, Q ed energia
  • Media: RLC serie e parallelo
  • Difficile: progetto, perdite e decadimento

Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta. Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.

Come funziona l’esercitazione

  • Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta.
  • Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
  • I tuoi progressi, i tuoi errori e gli esercizi salvati restano memorizzati, così puoi ripassare prima dell’esame.

Argomenti prima e dopo questo

Da studiare prima

Impedenza AC e fasori

Calcolatrici

Calcolatrice della frequenza di risonanza (LC e RLC)

Corsi con questo argomento

Elettrotecnica 2: circuiti in corrente alternata

Altri argomenti di Elettrica

Resistori in serie e paralleloSovrapposizione degli effettiThévenin e NortonAnalisi nodaleAnalisi alle maglieTransitori RC e RLImpedenza AC e fasoriPotenza AC e fattore di potenzaSistemi trifaseTrasformatoriMotori in corrente continuaCircuiti con amplificatori operazionaliDiodi e transistorConvertitori DC-DCLogica digitale: porte, mappe K e flip-flopPonte di Wheatstone ed estensimetriAcquisizione dati e campionamentoTrasformate di LaplaceSchemi a blocchiRisposta al gradinoDiagrammi di Bode e marginiStabilità: Routh–Hurwitz e luogo delle radiciErrore a regime e controllo PIDConvoluzione e sistemi LTI

Scheda di esercizi stampabile

Scheda di esercizi di Risonanza LC, fattore Q e larghezza di banda con soluzioni
Esercitati su Risonanza LC, fattore Q e larghezza di banda gratisEsercitati su Risonanza LC, fattore Q e larghezza di banda ora5 esercizi gratuiti ogni giorno. Nessuna carta richiesta.