Risposta al gradino: esercizi con soluzioni passo passo
Esercizi gratuiti su Risposta al gradino con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: sistemi del primo ordine, parametri del secondo ordine, sistemi fisici e progetto.
Esercizio gratuitoFacile
Un condensatore scarico C = 47 µF viene caricato da un generatore a gradino da 5 V attraverso un resistore R = 4,7 kΩ. Trova la tensione del condensatore vC a t = 220,9 ms.
Un gradino è un ingresso che salta da 0 a un valore costante a t = 0 e poi vi rimane. Pensa ad accendere un riscaldatore, o a premere l’acceleratore e tenerlo premuto.
La risposta al gradino è il modo in cui l’uscita segue. Non può saltare subito: si muove verso un nuovo valore finale y(∞) e vi si assesta.
La curva a sale in modo regolare e non ha mai sovraelongazione. È un sistema del primo ordine, come un circuito RC o un serbatoio riscaldato.
La curva b ha sovraelongazione, oscilla alcune volte e poi si assesta. È un sistema del secondo ordine sottosmorzato, come la sospensione di un’auto o una massa su una molla.
Il valore finale deriva dal guadagno in continua G(0): un gradino di ampiezza U si assesta a y(∞) = G(0)·U. È il teorema del valore finale delle trasformate di Laplace.
Autoverifica Un sistema G(s) = 3/(2s + 1) riceve un gradino di ampiezza 4. Quanto vale il valore finale y(∞)?
12
3
4
6
Risposta: 12. G(0) = 3/(0 + 1) = 3, quindi y(∞) = 3·4 = 12. Il valore 4 dimentica il guadagno, 3 dimentica l’ampiezza del gradino, e 6 divide per il 2 di 2s, che sparisce a s = 0.
2Sistemi del primo ordine
Un sistema del primo ordine ha la forma standard qui sotto. K è il guadagno statico e τ la costante di tempo in secondi.
G(s) = K/(τs + 1) y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)
Se G(s) è scritta come b/(s + a), dividi numeratore e denominatore per a. Allora K = b/a e τ = 1/a.
Dopo 1τ l’uscita ha compiuto il 63% della sua variazione, dopo 3τ il 95%, dopo 5τ più del 99%.
Il tempo per raggiungere una frazione x del valore finale: t = −τ·ln(1 − x). Per il 90%, t = τ·ln 10 = 2,3τ.
Il tempo di salita 10–90% è tr = τ·ln 9 ≈ 2,2τ.
Per un circuito RC τ = R·C. Nota che kΩ per µF dà millisecondi.
Se misuri la risposta, puoi ricavare τ al contrario. Se l’uscita ha raggiunto una frazione x al tempo t, allora τ = −t/ln(1 − x).
Esempio svolto
G(s) = 10/(s + 5) riceve un gradino di ampiezza 2 a t = 0. Trova il valore finale e il tempo per raggiungere il 90% di esso.
1
Forma standard
Dividi numeratore e denominatore per 5:
G(s) = 2/(0,2s + 1) ⇒ K = 2, τ = 0,2 s
2
Valore finale
y(∞) = K·U = 2·2 = 4
3
Tempo per il 90%
Risolvi 1 − e−t/τ = 0,9, quindi e−t/τ = 0,1:
t = −τ·ln(0,1) = 0,2·2,303 = 0,461 s
Risposta
y(∞) = 4 e l’uscita raggiunge il 90% dopo t ≈ 0,461 s.
Autoverifica Qual è la costante di tempo di G(s) = 10/(s + 5)?
0,2 s
10 s
2 s
5 s
Risposta: 0,2 s. Scritta come 2/(0,2s + 1), la costante di tempo è τ = 1/5 = 0,2 s. 5 s confonde τ con a, e 2 è il guadagno K, non un tempo.
3Sistemi del secondo ordine
Un sistema del secondo ordine ha un denominatore quadratico. Confrontalo con la forma standard:
G(s) = K/(s² + 2ζωns + ωn²)
Il termine costante è ωn², quindi la pulsazione naturale è ωn = √(termine costante), in rad/s.
Il coefficiente di s è 2ζωn, quindi il rapporto di smorzamento è ζ = (coefficiente di s)/(2ωn).
Per 0 < ζ < 1 la risposta ha sovraelongazione e oscilla. Un ζ più piccolo significa più sovraelongazione.
Per un gradino unitario il valore finale è G(0) = K/ωn². Cinque numeri descrivono la forma della risposta:
ωd è la pulsazione smorzata: la rapidità con cui oscilla la risposta.
tp è il tempo di picco, quando l’uscita è più alta. %OS è la sovraelongazione percentuale sopra il valore finale.
ts è il tempo di assestamento, dopo il quale l’uscita resta entro il 2% del valore finale.
I due poli sono s = σ ± jωd, con parte reale σ = −ζωn. La loro distanza dall’origine è ωn, e cos θ = ζ.
Autoverifica Un sistema ha il denominatore s² + 4s + 25. Quanto vale il rapporto di smorzamento ζ?
0,08
0,4
0,8
2
Risposta: 0,4. ωn = √25 = 5, e 2ζωn = 4 dà ζ = 4/(2·5) = 0,4. 0,8 dimentica il 2, 0,08 divide per ωn² invece che per ωn, e 2 è ζωn.
4Il metodo passo dopo passo
Decidi l’ordine: un denominatore di grado 1 è del primo ordine, di grado 2 è del secondo ordine.
Primo ordine: scrivi G(s) come K/(τs + 1) e leggi K e τ.
Secondo ordine: confronta il denominatore con s² + 2ζωns + ωn². Trova prima ωn, poi ζ.
Trova il valore finale y(∞) = G(0)·U.
Applica la formula per ciò che è richiesto: y(t), un tempo, tp, %OS, ts o σ.
Controlla le unità: tempi in secondi, ω in rad/s, e l’angolo nelle formule con e… e π in radianti.
5Un esempio svolto
Questa è una tipica domanda di livello medio. Prova ogni passo prima di aprirlo.
Esempio svolto
G(s) = 16/(s² + 4s + 16) riceve un gradino unitario. Trova ζ, ωn, la sovraelongazione percentuale e il tempo di picco.
1
Frequenza naturale
Il termine costante è ωn² = 16.
ωn = √16 = 4 rad/s
2
Fattore di smorzamento
Il coefficiente di s è 2ζωn = 4.
ζ = 4/(2·4) = 0,5
ζ sta tra 0 e 1, quindi la risposta ha sovraelongazione.
3
Sovraelongazione percentuale
ζπ/√(1 − ζ²) = 0,5·π/√0,75 = 1,814
%OS = 100·e−1,814 = 16,3%
4
Tempo di picco
ωd = 4·√(1 − 0,25) = 3,464 rad/s
tp = π/3,464 = 0,907 s
5
Controlla il risultato
Il valore finale è G(0) = 16/16 = 1, quindi il picco è circa 1,163. La figura della sezione precedente usa questo stesso sistema.
Il tempo di assestamento 4/(ζωn) = 4/2 = 2 s è successivo al picco, come deve essere.
Risposta
ωn = 4 rad/s, ζ = 0,5, %OS ≈ 16,3% e tp ≈ 0,907 s.
6Errori comuni
Trattare la salita come lineare. Un’esponenziale raggiunge il 90% dopo 2,3τ, non dopo 0,9τ: usa t = −τ·ln(1 − x).
Usare ln(x) invece di ln(1 − x). Il logaritmo prende la parte che ancora manca.
Leggere τ = a da b/(s + a). La costante di tempo è 1/a.
Usare ωn² come ωn. Prendi la radice quadrata del termine costante.
Dimenticare il 2 in 2ζωn, o usare ωn invece di ωd in tp = π/ωd.
Dare la sovraelongazione come frazione (0,163) quando la domanda chiede la percentuale (16,3%).
Autoverifica G(s) = 2/(s + 4) riceve un gradino. Quanto tempo impiega l’uscita per raggiungere il 90% del suo valore finale?
0,026 s
0,225 s
0,576 s
9,21 s
Risposta: 0,576 s. τ = 1/4 = 0,25 s e t = −0,25·ln(0,1) = 0,576 s. 0,225 s tratta la salita come lineare (0,9τ). 0,026 s usa ln(0,9) invece di ln(0,1). 9,21 s usa a = 4 invece di τ.
7Come sono fatte le domande d’esame
Facile: sistemi del primo ordine. Trovi y(∞), l’uscita a un dato istante, il tempo per raggiungere una percentuale, τ da un punto misurato, o il tempo di carica di un circuito RC.
Medio: parametri del secondo ordine. Da G(s) = K/(s² + a₁s + a₀) trovi ζ, ωn, %OS, tp, ts o la parte reale σ dei poli.
Difficile: sistemi fisici e progetto. Un sistema massa–molla–smorzatore o un circuito RLC, oppure ζ e ωn ricavati da una sovraelongazione e da un tempo di picco misurati.
Per una massa m, uno smorzatore c e una molla k, l’equazione m·x″ + c·x′ + k·x = F dà:
ωn = √(k/m) ζ = c/(2√(k·m)) x(∞) = F/k
Per risalire da una sovraelongazione, ricava ζ dalla formula di %OS:
Un sistema del primo ordine G(s) = 2/(2s + 1) riceve un ingresso a gradino di ampiezza 2 a t = 0, partendo da fermo. Trova il valore finale y(∞) dell’uscita.
G(s) = 2/(2s + 1)U = 2
Calcola y(∞)
Mostra i suggerimenti
Teorema del valore finale: y(∞) = lim s·G(s)·U/s = G(0)·U.
G(0) è il guadagno in continua.
G(0) = 2.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Risposta al gradino: un sistema del primo ordine G(s) = K/(τs + 1) risponde a un gradino di ampiezza U con y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): raggiunge il 63,2 % del valore finale K·U dopo una costante di tempo τ e il 98 % dopo 4τ. Un sistema del secondo ordine G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) ha i poli s = −ζωₙ ± jωd con ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Per 0 < ζ < 1 la risposta al gradino ha sovraelongazione: sovraelongazione percentuale %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tempo di picco tp = π/ωd, e tempo di assestamento al 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Confronta il denominatore con s² + 2ζωₙs + ωₙ² per ricavare ωₙ e ζ. Per un sistema massa-molla-smorzatore ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)); per un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) e ζ = (R/2)·√(C/L).
Guadagno in continua
G(0) = 2
Valore finale
y(∞) = G(0)·U = 2·2 = 4
Risposta
y(∞) = 4
Esempio 2Media
Un sistema ha funzione di trasferimento G(s) = 213/(s² + 8s + 71) e riceve un ingresso a gradino unitario. Trova la sovraelongazione percentuale %OS della risposta al gradino.
G(s) = 213/(s² + 8s + 71)
Calcola %OS(%)
Mostra i suggerimenti
Confronta il denominatore con s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ = √71 = 8,426 rad/s, ζ = 8/(2ωₙ).
ζ = 0,4747.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Risposta al gradino: un sistema del primo ordine G(s) = K/(τs + 1) risponde a un gradino di ampiezza U con y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): raggiunge il 63,2 % del valore finale K·U dopo una costante di tempo τ e il 98 % dopo 4τ. Un sistema del secondo ordine G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) ha i poli s = −ζωₙ ± jωd con ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Per 0 < ζ < 1 la risposta al gradino ha sovraelongazione: sovraelongazione percentuale %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tempo di picco tp = π/ωd, e tempo di assestamento al 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Confronta il denominatore con s² + 2ζωₙs + ωₙ² per ricavare ωₙ e ζ. Per un sistema massa-molla-smorzatore ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)); per un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) e ζ = (R/2)·√(C/L).
Confronta con la forma standard
Il denominatore deve coincidere con s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ² = 71 → ωₙ = 8,426 rad/s
2ζωₙ = 8 → ζ = 8/(2·8,426) = 0,4747
Risultato
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−1,694 = 18,37 %
Risposta
%OS = 18,37 %
Esempio 3Difficile
Una massa m = 2,5 kg è appesa a una molla k = 800 N/m con uno smorzatore viscoso c = 9 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F). In equilibrio a riposo, viene applicata improvvisamente una forza costante F = 10 N. Trova il tempo tp in cui lo spostamento è massimo.
m = 2,5 kgk = 800 N/mc = 9 N·s/mF = 10 N
Calcola tp(s)
Mostra i suggerimenti
Dividi per m: x″ + (c/m)·x′ + (k/m)·x = F/m, quindi ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)).
ωₙ = 17,89 rad/s, ζ = 0,1006.
Lo spostamento finale è F/k = 12,5 mm.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Risposta al gradino: un sistema del primo ordine G(s) = K/(τs + 1) risponde a un gradino di ampiezza U con y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): raggiunge il 63,2 % del valore finale K·U dopo una costante di tempo τ e il 98 % dopo 4τ. Un sistema del secondo ordine G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) ha i poli s = −ζωₙ ± jωd con ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Per 0 < ζ < 1 la risposta al gradino ha sovraelongazione: sovraelongazione percentuale %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tempo di picco tp = π/ωd, e tempo di assestamento al 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Confronta il denominatore con s² + 2ζωₙs + ωₙ² per ricavare ωₙ e ζ. Per un sistema massa-molla-smorzatore ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)); per un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) e ζ = (R/2)·√(C/L).
Pulsazione naturale e rapporto di smorzamento
ωₙ = √(k/m) = √(800/2,5) = 17,89 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 9/(2·√(800·2,5)) = 0,1006
Risultato
ωd = 17,8 rad/s
tp = π/ωd = 0,1765 s
Risposta
tp = 0,1765 s
Domande e risposte
Risposta al gradino: di cosa si tratta?
Un gradino è un ingresso che salta da 0 a un valore costante a t = 0 e poi vi rimane. Pensa ad accendere un riscaldatore, o a premere l’acceleratore e tenerlo premuto.
La risposta al gradino è il modo in cui l’uscita segue. Non può saltare subito: si muove verso un nuovo valore finale y(∞) e vi si assesta.
Risposta al gradino: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
Risposta al gradino: un sistema del primo ordine G(s) = K/(τs + 1) risponde a un gradino di ampiezza U con y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): raggiunge il 63,2 % del valore finale K·U dopo una costante di tempo τ e il 98 % dopo 4τ. Un sistema del secondo ordine G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) ha i poli s = −ζωₙ ± jωd con ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Per 0 < ζ < 1 la risposta al gradino ha sovraelongazione: sovraelongazione percentuale %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tempo di picco tp = π/ωd, e tempo di assestamento al 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Confronta il denominatore con s² + 2ζωₙs + ωₙ² per ricavare ωₙ e ζ. Per un sistema massa-molla-smorzatore ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)); per un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) e ζ = (R/2)·√(C/L).
Risposta al gradino: quali sono gli errori più comuni?
L’uscita si assesta a K·U, non a U: il guadagno in continua è G(0) = 2.
Esprimi la sovraelongazione in percentuale: moltiplica per 100.
L’esponente è −ζπ/√(1 − ζ²).
Risposta al gradino: che cosa si esercita?
Facile: sistemi del primo ordine
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Difficile: sistemi fisici e progetto
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta. Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
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