Stabilità: Routh–Hurwitz e luogo delle radici: esercizi con soluzioni passo passo

Esercizi gratuiti su Stabilità: Routh–Hurwitz e luogo delle radici con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: Tabella di Routh e conteggio dei poli, intervallo di K per la stabilità, luogo delle radici.

Esercizio gratuitoFacile
s⁴16−2s³416s²??s¹?s⁰?

Il polinomio caratteristico di un sistema retroazionato è Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2. Costruisci la tabella di Routh e trova quante radici N di Q(s) stanno nel semipiano destro.

Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2

Risposta esatta: un numero intero, senza arrotondamenti.

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Su cosa ti eserciti

  1. FacileTabella di Routh e conteggio dei poli
  2. Mediaintervallo di K per la stabilità
  3. Difficileluogo delle radici

Come risolvere gli esercizi di Stabilità: Routh–Hurwitz e luogo delle radici

  1. Scrivi il polinomio caratteristico ad anello chiuso: il denominatore di 1 + K·G(s) = 0, sviluppato.
  2. Inserisci i coefficienti alternati nelle prime due righe della tabella di Routh e costruisci le righe rimanenti.
  3. Conta i cambi di segno nella prima colonna: ciascuno è un polo nel semipiano destro. Con K nella tabella, richiedi che ogni elemento della prima colonna resti positivo.
  4. Per un luogo delle radici, segna poli e zeri, i tratti dell’asse reale, gli asintoti dal centro e i punti di diramazione dove dK/ds = 0. Usa K = 1/|G(s)| per il guadagno in un punto.

Errori comuni

  • Concludere che un sistema è stabile perché tutti i coefficienti sono positivi; per un polinomio cubico o di ordine superiore non basta.
  • Dimenticare il termine noto del sistema quando si aggiunge K: con tre poli fuori dall’origine l’elemento s⁰ è abc + K.
  • Prendere il punto medio di due poli come punto di diramazione quando c’è vicino un terzo polo o uno zero.
  • Usare le posizioni dei poli senza i loro segni nella formula del centro degli asintoti.

Formule chiave

Stabilità
tutte le radici del polinomio caratteristico nel semipiano sinistro
tabella di Routh, elemento s¹ di un cubico
b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
Radici nel semipiano destro
numero di cambi di segno nella prima colonna
Cubico s³ + a₂s² + a₁s + a₀
stabile quando tutti gli a > 0 e a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b))
Kmax = ab(a + b), ω = √(ab)
Equazione caratteristica
1 + K·G(s) = 0
Asintoti
σa = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
Punti di diramazione e di confluenza
dK/ds = 0
Condizione sul modulo
K = 1/|G(s)|
Angolo di partenza
θd = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

Impara Stabilità: Routh–Hurwitz e luogo delle radici da zero

Prima di questo: Trasformate di Laplace, Schemi a blocchi

1Che cosa significa stabilità

Un sistema è stabile quando a ogni ingresso limitato corrisponde un’uscita limitata. Dopo un disturbo un sistema stabile si assesta; uno instabile diverge o oscilla con ampiezza crescente.

Il comportamento è determinato dai poli dell’anello chiuso: le radici del suo polinomio caratteristico. Un polo in s = p aggiunge alla risposta un termine ept.

ReIm−2−1 + j2−1 − j2+1Re < 0Re > 0
  • Un polo con parte reale negativa (semipiano sinistro) dà un termine che si estingue.
  • Un polo con parte reale positiva (semipiano destro) dà un termine che cresce senza limite.
  • Quindi il sistema è stabile solo quando tutti i poli stanno nel semipiano sinistro.
Autoverifica Un anello chiuso ha poli in −3, −1 + j2, −1 − j2 e +0,5. È stabile?
  1. No, il polo in +0,5 lo rende instabile
  2. No, perché i poli complessi rendono sempre instabile un sistema
  3. Sì, perché i poli complessi hanno parte reale negativa
  4. Sì, perché tre dei quattro poli stanno nel semipiano sinistro

Risposta: No, il polo in +0,5 lo rende instabile. Basta un polo nel semipiano destro: il suo termine e0,5t cresce. I poli complessi nel semipiano sinistro vanno bene; danno un’oscillazione smorzata.

2La tabella di Routh

Per un polinomio cubico o di ordine superiore è difficile trovare le radici a mano. Il criterio di Routh–Hurwitz dice quante radici stanno nel semipiano destro senza calcolarle.

Scrivi i coefficienti alternati nelle prime due righe. Per s³ + a₂s² + a₁s + a₀:

s³: 1, a1 s²: a2, a0

Ogni nuova riga si costruisce dalle due righe sopra. Per il cubico, l’elemento s¹ è:

b1 = (a2·a1 − 1·a0)/a2, s⁰: a0

Il numero di cambi di segno nella prima colonna è uguale al numero di radici nel semipiano destro.

Esempio: s³ + 2s² + 3s + 10. La prima colonna è 1, 2, (2·3 − 10)/2 = −2, 10. I segni sono +, +, −, +: due cambi, quindi due poli stanno nel semipiano destro.

Autoverifica Per s³ + 4s² + 5s + 2, qual è il primo elemento della riga s¹?
  1. 18
  2. 4,5
  3. 5
  4. −4,5

Risposta: 4,5. b₁ = (4·5 − 1·2)/4 = 18/4 = 4,5. Dimenticare di dividere per 4 dà 18; scambiare i prodotti dà −4,5.

3Il metodo passo dopo passo

  1. Scrivi l’equazione caratteristica ad anello chiuso 1 + K·G(s) = 0 e sviluppala fino a un polinomio.
  2. Compila le prime due righe della tabella di Routh con i coefficienti.
  3. Costruisci le righe rimanenti; lascia K come simbolo se compare.
  4. Conta i cambi di segno nella prima colonna, oppure richiedi che ogni elemento della prima colonna sia positivo per trovare l’intervallo ammesso di K.
  5. Al guadagno limite la riga s¹ è nulla. La riga s² dà allora l’equazione ausiliaria a·s² + b = 0, le cui radici ±jω indicano la frequenza di oscillazione.

Test rapido per un cubico s³ + a₂s² + a₁s + a₀: è stabile esattamente quando tutti i coefficienti sono positivi e a₂·a₁ > a₀.

4Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

L’anello qui sotto ha L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)). Per quali guadagni K l’anello chiuso è stabile, e a quale frequenza oscilla al limite?

1

Osserva l’anello

R+K1/(s(s + 2)(s + 4))C−

L’equazione caratteristica è 1 + L(s) = 0, quindi s(s + 2)(s + 4) + K = 0.

2

Sviluppa

s³ + 6s² + 8s + K = 0
3

Costruisci la tabella di Routh

s³: 1, 8 s²: 6, K s¹: (48 − K)/6 s⁰: K

L’elemento s¹ è (6·8 − 1·K)/6.

4

Mantieni positiva la prima colonna

Dalla riga s⁰: K > 0. Dalla riga s¹: 48 − K > 0, quindi K < 48.

5

Frequenza al limite

In K = 48 la riga s¹ è nulla. La riga s² dà 6s² + 48 = 0, quindi s² = −8.

ω = √8 = 2,83 rad/s
6

Controlla il risultato

In K = 48 il polinomio è s³ + 6s² + 8s + 48 = (s + 6)(s² + 8). Le sue radici sono −6 e ±j2,83, come previsto.

Risposta

L’anello è stabile per 0 < K < 48; in K = 48 oscilla a ω = 2,83 rad/s.

5Il luogo delle radici

Il luogo delle radici mostra come si muovono i poli ad anello chiuso quando K va da 0 a ∞. Parte dai poli ad anello aperto (×) e termina negli zeri ad anello aperto (○) o all’infinito.

  • Un punto dell’asse reale appartiene al luogo quando il numero di poli e zeri reali alla sua destra è dispari.
  • Gli n − m rami che vanno all’infinito seguono asintoti con angoli (2q + 1)·180°/(n − m).
  • Gli asintoti partono dal centro σa = (Σ poli − Σ zeri)/(n − m).
  • I rami lasciano o raggiungono l’asse reale dove dK/ds = 0, con K = −1/G(s) sull’asse.
  • Il guadagno in un punto s qualsiasi del luogo è K = 1/|G(s)|, il prodotto delle distanze dai poli diviso quello delle distanze dagli zeri.

Per L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)) il centro è (0 − 2 − 4)/3 = −2, e gli asintoti partono a 60°, 180° e 300°.

ReIm0−2−460°

Il punto di diramazione tra 0 e −2 segue da dK/ds = 0: 3s² + 12s + 8 = 0, quindi s = −0,845.

Autoverifica Per L(s) = K/((s + 1)(s + 5)), dove lasciano l’asse reale i due rami?
  1. s = −1
  2. s = −2,5
  3. s = −3
  4. s = −6

Risposta: s = −3. Con due poli reali e nessuno zero, K = −(s + 1)(s + 5) è massimo a metà strada tra i due: dK/ds = −(2s + 6) = 0 dà s = −3.

6Errori comuni

  • Dire che un sistema è stabile perché tutti i suoi coefficienti sono positivi. Per un polinomio cubico o di ordine superiore serve anche il test di Routh.
  • Dimenticare il termine noto del sistema: per K/((s + a)(s + b)(s + c)) il coefficiente s⁰ è abc + K, non K.
  • Prendere il punto medio di due poli come punto di diramazione quando un terzo polo o uno zero attira il luogo.
  • Trascurare i segni nel centro: un fattore (s + 4) è un polo in s = −4.
Autoverifica s³ + s² + 2s + 8 = 0 è un’equazione caratteristica stabile?
  1. No: a₂·a₁ = 2 è minore di a₀ = 8
  2. No: un cubico non è mai stabile
  3. Sì: i coefficienti non cambiano segno
  4. Sì: tutti i coefficienti sono positivi

Risposta: No: a₂·a₁ = 2 è minore di a₀ = 8. L’elemento s¹ è (1·2 − 8)/1 = −6, quindi la prima colonna 1, 1, −6, 8 cambia segno due volte: due poli stanno nel semipiano destro. I coefficienti positivi non bastano.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: la tabella di Routh e il conteggio dei poli. Conti i poli nel semipiano destro di un cubico o di un quartico, trovi un elemento della tabella, trovi un polo ad anello chiuso per un sistema del primo ordine, o il guadagno che lo pone in un dato punto.
  • Medio: l’intervallo di K. Trovi il guadagno stabile massimo, la frequenza di oscillazione a quel guadagno, il guadagno minimo che stabilizza un sistema instabile, o di quanto si può alzare il guadagno.
  • Difficile: il luogo delle radici. Trovi il centro degli asintoti, l’attraversamento dell’asse immaginario, i punti di diramazione e di confluenza, l’angolo di partenza da un polo complesso, o il guadagno in un dato punto o per un dato coefficiente di smorzamento.

Per un guadagno a un dato coefficiente di smorzamento, scrivi il polinomio caratteristico e confrontalo con s² + 2ζωns + ωn².

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
R(s)+K1s + 10C(s)−

Un guadagno proporzionale K controlla il sistema G(s) = 1/(s + 10) in un anello a retroazione unitaria. Trova il guadagno K che pone il polo ad anello chiuso in s = −10,5.

G(s) = 1/(s + 10)p = −10,5

Calcola K

Mostra i suggerimenti
  1. Il polo ad anello chiuso è la radice di s + 10 + 1K = 0.
  2. Sostituisci s = −10,5 in quell’equazione.
  3. 1K = 10,5 − 10.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Criterio di Routh–Hurwitz: un sistema lineare è stabile quando tutte le radici del suo polinomio caratteristico stanno nel semipiano sinistro del piano s. Scrivi i coefficienti alternati nelle prime due righe della tabella di Routh. Ogni elemento di una nuova riga si ricava dalle due righe sopra; per un polinomio cubico a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ l’elemento della riga s¹ è b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Il numero di cambi di segno nella prima colonna è uguale al numero di radici nel semipiano destro. Con un guadagno K nei coefficienti, ogni elemento della prima colonna deve restare positivo: il guadagno che annulla l’elemento della riga s¹ è il limite di stabilità, e la riga s² dà poi la frequenza dell’oscillazione sostenuta.

Equazione caratteristica

s + 10 + 1K = 0

Guadagno richiesto

−10,5 + 10 + 1K = 0 → K = (10,5 − 10)/1 = 0,5

Risposta

K = 0,5
Esempio 2Media
R(s)+Ks + 2(s − 4)(s + 1)C(s)−

Il sistema G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1)) ha un polo instabile in s = 4. Un guadagno proporzionale K chiude un anello a retroazione unitaria attorno a esso. Trova il guadagno minimo Kmin che rende stabile l’anello chiuso.

G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1))

Calcola Kmin

Mostra i suggerimenti
  1. Il polinomio caratteristico è (s − 4)(s + 1) + K(s + 2).
  2. s² + (-3 + K)s + (2K − 4).
  3. Un polinomio di secondo grado è stabile quando entrambi i coefficienti sono positivi.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Criterio di Routh–Hurwitz: un sistema lineare è stabile quando tutte le radici del suo polinomio caratteristico stanno nel semipiano sinistro del piano s. Scrivi i coefficienti alternati nelle prime due righe della tabella di Routh. Ogni elemento di una nuova riga si ricava dalle due righe sopra; per un polinomio cubico a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ l’elemento della riga s¹ è b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Il numero di cambi di segno nella prima colonna è uguale al numero di radici nel semipiano destro. Con un guadagno K nei coefficienti, ogni elemento della prima colonna deve restare positivo: il guadagno che annulla l’elemento della riga s¹ è il limite di stabilità, e la riga s² dà poi la frequenza dell’oscillazione sostenuta.

Polinomio caratteristico

(s − 4)(s + 1) + K(s + 2) = s² + (-3 + K)s + (2K − 4)

Condizioni

Per s² + c₁s + c₀ tutte le radici stanno nel semipiano sinistro esattamente quando c₁ > 0 e c₀ > 0.

-3 + K > 0 → K > 3
2K − 4 > 0 → K > 2
Kmin = 3

Risposta

Kmin = 3
Esempio 3Difficile
ReIm−2−4−6−8−10−12j2

Il luogo delle radici di L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10)) lascia l’asse reale tra s = 0 e s = −4. Trova il punto di diramazione sb.

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10))

Calcola sb

Mostra i suggerimenti
  1. Sull’asse reale K = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s).
  2. Poni dK/ds = 0: 3s² + 28s + 40 = 0.
  3. Prendi la radice che sta tra 0 e −4.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Luogo delle radici: al variare del guadagno K da 0 a ∞, i poli ad anello chiuso, cioè le radici di 1 + K·G(s) = 0, si spostano dai poli ad anello aperto agli zeri ad anello aperto o all’infinito. Un punto dell’asse reale appartiene al luogo quando il numero di poli e zeri reali alla sua destra è dispari. Gli n − m rami che vanno all’infinito seguono asintoti con angoli (2q + 1)·180°/(n − m), che partono dal centro σₐ = (Σ poli − Σ zeri)/(n − m). I rami lasciano o raggiungono l’asse reale dove dK/ds = 0. La condizione sull’angolo ∠G(s) = 180° fissa la forma, e la condizione sul modulo K = 1/|G(s)| dà il guadagno in ogni punto del luogo.

Guadagno lungo l’asse reale

K(s) = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s)

Punti stazionari

dK/ds = −(3s² + 28s + 40) = 0
s = (−28 ± √(784 − 480))/6 = −1,761, −7,573

Scegli il punto sul luogo

Il luogo sta sull’asse reale tra 0 e −4; l’altra radice non appartiene al luogo.

sb = −1,761

Risposta

sb = −1,761

Domande e risposte

Stabilità: Routh–Hurwitz e luogo delle radici: di cosa si tratta?

Un sistema è stabile quando a ogni ingresso limitato corrisponde un’uscita limitata. Dopo un disturbo un sistema stabile si assesta; uno instabile diverge o oscilla con ampiezza crescente.

Il comportamento è determinato dai poli dell’anello chiuso: le radici del suo polinomio caratteristico. Un polo in s = p aggiunge alla risposta un termine ept.

Stabilità: Routh–Hurwitz e luogo delle radici: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
  1. Scrivi il polinomio caratteristico ad anello chiuso: il denominatore di 1 + K·G(s) = 0, sviluppato.
  2. Inserisci i coefficienti alternati nelle prime due righe della tabella di Routh e costruisci le righe rimanenti.
  3. Conta i cambi di segno nella prima colonna: ciascuno è un polo nel semipiano destro. Con K nella tabella, richiedi che ogni elemento della prima colonna resti positivo.
  4. Per un luogo delle radici, segna poli e zeri, i tratti dell’asse reale, gli asintoti dal centro e i punti di diramazione dove dK/ds = 0. Usa K = 1/|G(s)| per il guadagno in un punto.
Stabilità: Routh–Hurwitz e luogo delle radici: quali sono gli errori più comuni?
  • Concludere che un sistema è stabile perché tutti i coefficienti sono positivi; per un polinomio cubico o di ordine superiore non basta.
  • Dimenticare il termine noto del sistema quando si aggiunge K: con tre poli fuori dall’origine l’elemento s⁰ è abc + K.
  • Prendere il punto medio di due poli come punto di diramazione quando c’è vicino un terzo polo o uno zero.
  • Usare le posizioni dei poli senza i loro segni nella formula del centro degli asintoti.
Stabilità: Routh–Hurwitz e luogo delle radici: che cosa si esercita?
  • Facile: Tabella di Routh e conteggio dei poli
  • Media: intervallo di K per la stabilità
  • Difficile: luogo delle radici

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