Errore a regime e controllo PID: esercizi con soluzioni passo passo

Esercizi gratuiti su Errore a regime e controllo PID con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: tipo del sistema e costanti d’errore, errori a regime e guadagno, progetto P, PI e PD.

Esercizio gratuitoFacile
R(s)+10(s + 3)s(s + 1)(s + 4)C(s)−

Un anello a retroazione unitaria ha la funzione di trasferimento ad anello aperto G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4)). Trova la costante d’errore di velocità Kv.

G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4))
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Su cosa ti eserciti

  1. Faciletipo del sistema e costanti d’errore
  2. Mediaerrori a regime e guadagno
  3. Difficileprogetto P, PI e PD

Come risolvere gli esercizi di Errore a regime e controllo PID

  1. Conta i poli dell’anello aperto C(s)·G(s) in s = 0: è il tipo del sistema.
  2. Calcola la costante d’errore corrispondente all’ingresso: Kp per un gradino, Kv per una rampa, Ka per una parabola.
  3. Applica ess = A/(1 + Kp), A/Kv o A/Ka, oppure risolvi per il guadagno che ti serve.
  4. Per una specifica di smorzamento o di velocità, scrivi il polinomio caratteristico ad anello chiuso e uguaglialo a s² + 2ζω_n·s + ω_n².

Errori comuni

  • Usare A/Kp invece di A/(1 + Kp) per un gradino.
  • Dimenticare il guadagno del sistema nell’uguagliare i coefficienti: il guadagno d’anello è K per il guadagno del sistema.
  • Ignorare l’integratore del controllore nel contare il tipo del sistema.
  • Aspettarsi che il solo guadagno proporzionale elimini l’errore al gradino in un anello di tipo 0.

Formule chiave

Tipo del sistema
numero di poli di G(s) in s = 0
Costanti d’errore
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
Gradino A
ess = A/(1 + Kp)
Rampa A·t
ess = A/Kv
Parabola A·t²/2
ess = A/Ka
Controllore PID
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
Obiettivo del secondo ordine
s² + 2ζωns + ωn²
Sovraelongazione e tempi
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)

Impara Errore a regime e controllo PID da zero

Prima di questo: Schemi a blocchi, Risposta al gradino

1Seguire un comando

Un anello di retroazione confronta il comando r con l’uscita y e agisce sull’errore e = r − y. Idealmente l’uscita arriva esattamente al comando.

Spesso non succede. Dopo che il transitorio si è esaurito, può restare uno scarto: l’errore a regime ess.

tyress​

Quanto sia grande ess dipende dal tipo di ingresso (un gradino, una rampa o una parabola) e da quanti integratori contiene l’anello.

Autoverifica Un anello a retroazione unitaria riceve r = 1 e la sua uscita si assesta a y = 0,95. Qual è l’errore a regime?
  1. 0,05
  2. 0,95
  3. 1,95
  4. −0,05

Risposta: 0,05. ess = r − y = 1 − 0,95 = 0,05. 0,95 è l’uscita stessa, e il segno è positivo perché l’uscita resta sotto il comando.

2Tipo del sistema e costanti d’errore

Il tipo del sistema è il numero di poli dell’anello aperto G(s) in s = 0, cioè il numero di integratori. G(s) = 10/(s(s + 5)) ne ha uno, quindi è di tipo 1.

Tre costanti d’errore riassumono G(s) a frequenza molto bassa (s → 0):

Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s)

Con il teorema del valore finale danno l’errore per ciascun ingresso:

gradino A: A/(1 + Kp) rampa A·t: A/Kv parabola A·t²/2: A/Ka
  • Tipo 0: errore al gradino finito, errore alla rampa infinito.
  • Tipo 1: errore al gradino nullo, errore alla rampa finito.
  • Tipo 2: errore al gradino e alla rampa nulli, errore alla parabola finito.
Autoverifica Quanto vale la costante d’errore di velocità Kv di G(s) = 10/(s(s + 5))?
  1. 0,5
  2. 10
  3. 2
  4. ∞

Risposta: 2. s·G(s) = 10/(s + 5), che in s = 0 vale 10/5 = 2. Il valore 0,5 è l’errore alla rampa 1/Kv, non la costante.

3Il metodo passo dopo passo

  1. Scrivi l’anello aperto: il controllore per il sistema, C(s)·G(s).
  2. Conta i suoi poli in s = 0 per ottenere il tipo del sistema.
  3. Scegli la costante d’errore corrispondente all’ingresso: Kp per un gradino, Kv per una rampa, Ka per una parabola.
  4. Calcola il limite: semplifica i fattori s, poi poni s = 0 in ciò che resta.
  5. Applica la formula dell’errore, oppure risolvila per il guadagno che dà un errore richiesto.

Per una specifica di smorzamento o di velocità, scrivi il polinomio caratteristico ad anello chiuso e uguaglialo a s² + 2ζωns + ωn².

4Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Un anello a retroazione unitaria ha G(s) = K/(s(s + 4)). Deve seguire la rampa r(t) = 2t con un errore a regime di 0,1. Trova K e il coefficiente di smorzamento che ne risulta.

1

Trova il tipo del sistema

r+eK1/(s(s + 4))y−

G(s) ha un polo in s = 0, quindi l’anello è di tipo 1: una rampa dà un errore finito.

2

Costante di velocità

Kv = lim s·G(s) = K/4
3

Kv richiesta

La pendenza della rampa è A = 2, quindi ess = 2/Kv = 0,1.

Kv = 2/0,1 = 20
4

Guadagno

K = 4·Kv = 80
5

Controlla lo smorzamento

Il polinomio caratteristico è s² + 4s + 80, quindi ωn = √80 = 8,94 rad/s e ζ = 4/(2·8,94) = 0,22.

L’errore è rispettato, ma la risposta al gradino ha una sovraelongazione di circa il 49 %. Questo compromesso è il motivo per cui i controllori sono più di un semplice guadagno.

Risposta

K = 80, che dà ζ = 0,22.

5Controllori P, PI e PID

Il controllore PID combina tre azioni sull’errore:

C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
  • Proporzionale (Kp): un anello più veloce e un errore minore per un sistema di tipo 0, ma l’errore al gradino non arriva mai a zero.
  • Integrale (Ki/s): aggiunge un polo in s = 0, quindi il tipo sale di uno e un gradino viene seguito senza errore.
  • Derivativa (Kd·s): aggiunge smorzamento e riduce la sovraelongazione.

Per scegliere i guadagni, uguaglia i coefficienti. Un controllore PI su G(s) = 2/(s + 3) dà il polinomio caratteristico s² + (3 + 2Kp)s + 2Ki. Per ωn = 5 rad/s e ζ = 0,8 l’obiettivo è s² + 8s + 25:

3 + 2Kp = 8 → Kp = 2,5, 2Ki = 25 → Ki = 12,5
Autoverifica A un controllore di un anello di tipo 0 viene aggiunto un integratore. Che cosa succede all’errore a regime per un gradino unitario?
  1. Diventa infinito
  2. Diventa maggiore
  3. Diventa minore ma non zero
  4. Diventa zero

Risposta: Diventa zero. L’integratore rende l’anello di tipo 1, quindi Kp è infinito e A/(1 + Kp) = 0. Un guadagno proporzionale maggiore da solo renderebbe solo l’errore più piccolo.

6Errori comuni

  • Usare A/Kp invece di A/(1 + Kp) per un gradino.
  • Dimenticare il guadagno del sistema nell’uguagliare i coefficienti: il guadagno d’anello è il guadagno del controllore per il guadagno del sistema.
  • Contare solo gli integratori del sistema e dimenticare quello di un controllore PI.
  • Omettere gli zeri nel calcolare Kv: un fattore (s + 3) vale 3 in s = 0.
Autoverifica Un gradino di ampiezza 5 è applicato a un anello di tipo 0 con Kp = 9. Qual è l’errore a regime?
  1. 0,1
  2. 0,556
  3. 0,5
  4. 4,5

Risposta: 0,5. ess = 5/(1 + 9) = 0,5. Dividere solo per Kp dà 0,556, omettere l’ampiezza del gradino dà 0,1, e 4,5 è l’uscita finale.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: tipo del sistema e costanti d’errore. Trovi il tipo, Kp, Kv o Ka di una funzione di trasferimento, un errore al gradino o l’uscita finale di un anello con controllo P.
  • Medio: errori a regime e guadagno. Trovi l’errore per una rampa, una parabola o un gradino più una rampa, oppure il guadagno che dà un errore richiesto.
  • Difficile: progetto P, PI e PD. Scegli K per un coefficiente di smorzamento, trovi la sovraelongazione, il tempo di picco o il tempo di assestamento per un dato K, scegli i guadagni PI o PD uguagliando i coefficienti, o trovi l’errore alla rampa con un controllore PI.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
R(s)+2(s + 2)s²(s + 2)C(s)−

Un anello a retroazione unitaria ha la funzione di trasferimento ad anello aperto G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2)). Trova la costante d’errore di accelerazione Ka.

G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2))

Calcola Ka

Mostra i suggerimenti
  1. K_a = lim s²·G(s) per s → 0.
  2. La s² elimina il polo doppio nell’origine.
  3. Ka = 2·2/2.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Errore a regime: in un anello a retroazione unitaria con funzione di trasferimento ad anello aperto G(s) l’errore è E(s) = R(s)/(1 + G(s)), e per il teorema del valore finale ess = lims→0 s·E(s). Il tipo del sistema è il numero di poli di G(s) in s = 0. Le costanti d’errore sono Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) e Ka = lim s²·G(s), tutte per s → 0. Un gradino di ampiezza A dà ess = A/(1 + Kp), una rampa A·t dà A/Kv e una parabola A·t²/2 dà A/Ka. Un anello di tipo 0 segue un gradino con un errore finito, un anello di tipo 1 lo segue esattamente e segue una rampa con un errore finito.

Costante di accelerazione

s²·G(s) = 2(s + 2)/(s + 2)
Ka = 2·2/2 = 2

Risposta

Ka = 2
Esempio 2Media
R(s)+K(s + 2)(s + 5)C(s)−

Un anello a retroazione unitaria ha G(s) = K/((s + 2)(s + 5)). Trova il guadagno K che dà un errore a regime del 2 % per un ingresso a gradino.

G(s) = K/((s + 2)(s + 5))ess = 2 %

Calcola K

Mostra i suggerimenti
  1. Per un gradino unitario e_ss = 1/(1 + K_p).
  2. Kp = G(0) = K/10.
  3. 1/(1 + K/10) = 0,02.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Errore a regime: in un anello a retroazione unitaria con funzione di trasferimento ad anello aperto G(s) l’errore è E(s) = R(s)/(1 + G(s)), e per il teorema del valore finale ess = lims→0 s·E(s). Il tipo del sistema è il numero di poli di G(s) in s = 0. Le costanti d’errore sono Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) e Ka = lim s²·G(s), tutte per s → 0. Un gradino di ampiezza A dà ess = A/(1 + Kp), una rampa A·t dà A/Kv e una parabola A·t²/2 dà A/Ka. Un anello di tipo 0 segue un gradino con un errore finito, un anello di tipo 1 lo segue esattamente e segue una rampa con un errore finito.

Costante d’errore richiesta

1/(1 + Kp) = 0,02 → Kp = 49

Guadagno

K/10 = 49 → K = 490

Risposta

K = 490

Controlla anche la stabilità ad anello chiuso: per questo anello del secondo ordine ogni K > 0 è stabile.

Esempio 3Difficile
R(s)+K = 85s(s + 2)C(s)−

Un controllore proporzionale K = 8 comanda il sistema G(s) = 5/(s(s + 2)) in un anello a retroazione unitaria. Trova il tempo di assestamento al 2 % ts della risposta al gradino, usando ts ≈ 4/(ζωₙ).

G(s) = 5/(s(s + 2))K = 8

Calcola ts (s)

Mostra i suggerimenti
  1. Il polinomio caratteristico è s² + 2s + 40.
  2. ζωₙ è la metà del coefficiente di s: 2/2 = 1.
  3. ts ≈ 4/(ζωₙ).
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Controllo P, PI e PID: il controllore C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s agisce sull’errore. Un guadagno proporzionale rende l’anello più veloce e riduce l’errore di un sistema di tipo 0, ma non lo elimina mai. Il termine integrale aggiunge un polo in s = 0: il tipo del sistema sale di uno e un gradino viene seguito senza errore. Il termine derivativo aggiunge smorzamento. Per scegliere i guadagni, scrivi il polinomio caratteristico ad anello chiuso e confrontalo con s² + 2ζωns + ωn². Poi %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd con ωd = ωn√(1 − ζ²), e ts ≈ 4/(ζωn).

Polinomio caratteristico

s(s + 2) + 8·5 = s² + 2s + 40

ωₙ e ζ

ωₙ = √40 = 6,325 rad/s
ζ = 2/(2·6,325) = 0,1581

Tempo di assestamento

ζωₙ = 2/2 = 1
ts ≈ 4/1 = 4 s

Risposta

ts = 4 s

Qui il tempo di assestamento non dipende da K: aumentare K fa solo oscillare più velocemente la risposta.

Domande e risposte

Errore a regime e controllo PID: di cosa si tratta?

Un anello di retroazione confronta il comando r con l’uscita y e agisce sull’errore e = r − y. Idealmente l’uscita arriva esattamente al comando.

Spesso non succede. Dopo che il transitorio si è esaurito, può restare uno scarto: l’errore a regime ess.

Errore a regime e controllo PID: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
  1. Conta i poli dell’anello aperto C(s)·G(s) in s = 0: è il tipo del sistema.
  2. Calcola la costante d’errore corrispondente all’ingresso: Kp per un gradino, Kv per una rampa, Ka per una parabola.
  3. Applica ess = A/(1 + Kp), A/Kv o A/Ka, oppure risolvi per il guadagno che ti serve.
  4. Per una specifica di smorzamento o di velocità, scrivi il polinomio caratteristico ad anello chiuso e uguaglialo a s² + 2ζω_n·s + ω_n².
Errore a regime e controllo PID: quali sono gli errori più comuni?
  • Usare A/Kp invece di A/(1 + Kp) per un gradino.
  • Dimenticare il guadagno del sistema nell’uguagliare i coefficienti: il guadagno d’anello è K per il guadagno del sistema.
  • Ignorare l’integratore del controllore nel contare il tipo del sistema.
  • Aspettarsi che il solo guadagno proporzionale elimini l’errore al gradino in un anello di tipo 0.
Errore a regime e controllo PID: che cosa si esercita?
  • Facile: tipo del sistema e costanti d’errore
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Argomenti prima e dopo questo

Da studiare prima

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