Ponte di Wheatstone ed estensimetri: esercizi con soluzioni passo passo

1Che cos’è un ponte di Wheatstone

Un ponte di Wheatstone è formato da due partitori di tensione collegati alla stessa alimentazione V_s. L’uscita è la tensione tra i loro punti centrali a e b.

Quando i due partitori hanno lo stesso rapporto, a e b sono alla stessa tensione e l’uscita è zero: il ponte è in equilibrio. Una minima variazione in un ramo dà allora una piccola uscita facile da misurare, senza la grande tensione di modo comune sopra.

Per questo i ponti si usano per misurare resistenze incognite e le piccole variazioni di resistenza di sensori come estensimetri e termistori.

2Tensioni dei nodi e condizione di equilibrio

Ogni punto centrale è un partitore di tensione. Con R₁ sopra R₂ e R₃ sopra R₄:

L’uscita è zero quando i rapporti coincidono:

La tensione di alimentazione non compare nella condizione di equilibrio. Quindi si può trovare una resistenza incognita regolandone una nota finché un galvanometro indica zero.

3Il metodo passo dopo passo

1. Etichetta i rami: R₁ e R₂ nel partitore sinistro, R₃ e R₄ in quello destro, con il nodo a tra R₁ e R₂ e il nodo b tra R₃ e R₄.
2. Per un ponte in equilibrio, risolvi R₁·R₄ = R₂·R₃ per l’incognita.
3. Per un ponte non equilibrato, ricava V_a e V_b dai partitori e sottrai.
4. Se uno strumento con resistenza R_g carica l’uscita, sostituisci il ponte con il suo equivalente di Thévenin: V_th = V_ab e R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄. Allora I_g = V_th/(R_th + R_g).

4Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

5Estensimetri

Un estensimetro è una sottile lamina metallica incollata a un pezzo. Quando il pezzo si allunga, la lamina diventa più lunga e più sottile e la sua resistenza aumenta:

ε è la deformazione (spesso in microdeformazioni, µε = 10⁻⁶) e GF il fattore di taratura, circa 2 per una lamina metallica. La variazione è minuscola: 500 µε su un estensimetro da 350 Ω con GF = 2 dà ΔR = 0,35 Ω.

In un ponte con tutti i rami uguali a R, l’uscita è circa:

• Quarto di ponte (un estensimetro attivo): V_o ≈ V_s·GF·ε/4.
• Mezzo ponte (due estensimetri con deformazione opposta in un partitore): V_o = V_s·GF·ε/2.
• Ponte intero (quattro estensimetri attivi): V_o = V_s·GF·ε.

Con V_s = 5 V, GF = 2 e 500 µε, un quarto di ponte dà 5·2·0,0005/4 = 1,25 mV. La tensione meccanica segue dalla legge di Hooke, σ = E·ε.

6Errori comuni

• Abbinare i rami sbagliati nella condizione di equilibrio. Confronta i due rami superiori con i due rami inferiori.
• Usare il fattore 4 del quarto di ponte per un mezzo ponte o un ponte intero.
• Dimenticare che µε significa 10⁻⁶.
• Usare la stima per piccole variazioni V_s·ΔR/(4R) per una grande variazione di resistenza; calcola invece entrambi i partitori in modo esatto.

7Come sono fatte le domande d’esame

• Facile: equilibrio e tensioni dei nodi. Trovi il ramo incognito o regolabile di un ponte in equilibrio, la tensione di un nodo, l’uscita a vuoto, la corrente di alimentazione o la resistenza incognita di un ponte a filo.
• Medio: ponti non equilibrati. Trovi l’uscita esatta o linearizzata per una variazione di resistenza, la resistenza di Thévenin, la corrente nel galvanometro, la variazione di resistenza da un’uscita misurata o la potenza in un estensimetro.
• Difficile: estensimetri e celle di carico. Trovi la deformazione da ΔR, l’uscita di un quarto, mezzo o ponte intero, la deformazione o la tensione meccanica da una lettura, il guadagno dell’amplificatore per l’ingresso di un convertitore, o l’uscita di una cella di carico con valore nominale in mV/V.

In un ponte a filo i due tratti di filo fanno da rami di rapporto: R/R_x = l/(100 − l).