Trasformatori: esercizi con soluzioni passo passo

Esercizi gratuiti su Trasformatori con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: rapporto spire, correnti e potenza, rendimento e perdite.

Esercizio gratuitoFacile
N1​ = 5000N2​ = ?11500 V230 V

Un trasformatore ideale deve abbassare 11500 V a 230 V. Il suo avvolgimento primario ha 5000 spire. Quante spire N2 servono sull’avvolgimento secondario?

V1 = 11500 VV2 = 230 VN1 = 5000
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Su cosa ti eserciti

  1. Facilerapporto spire
  2. Mediacorrenti e potenza
  3. Difficilerendimento e perdite

Formule chiave

Rapporto spire
a = N1/N2 = V1/V2
Rapporto delle correnti
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Corrente nominale
I = S/V
Impedenza riportata
Z1′ = a²·ZL
Perdite nel rame a carico parziale
Pcu = x²·Pcu,fl
Rendimento
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Rendimento massimo
x = √(Pcore/Pcu,fl)

Impara Trasformatori da zero

Prima di questo: Impedenza AC e fasori

1Che cos’è un trasformatore

Un trasformatore cambia una tensione alternata in una tensione alternata più alta o più bassa. Le centrali elettriche elevano la tensione per trasportare l’energia lontano; i trasformatori locali la abbassano a 230 V per le case.

Ha due bobine di filo avvolte su un unico nucleo di ferro. La bobina collegata all’alimentazione è il primario (1). La bobina collegata al carico è il secondario (2).

RL​N1​N2​V1​V2​

La corrente alternata nel primario crea un campo magnetico variabile nel nucleo. Quel campo variabile induce una tensione in ogni spira del secondario.

Una corrente continua costante crea un campo costante, e un campo costante non induce nulla. Quindi un trasformatore funziona solo in corrente alternata.

Autoverifica Che cosa dà un trasformatore ideale al secondario quando il primario è collegato a una batteria da 12 V (c.c.)?
  1. 0 V, perché un campo costante non induce tensione
  2. 12 V, come il primario
  3. Una tensione alternata di 12 V
  4. Una tensione fissata dal rapporto spire

Risposta: 0 V, perché un campo costante non induce tensione. Solo un campo magnetico variabile induce una tensione. Una corrente continua crea un campo costante, quindi il secondario non dà nulla una volta che la corrente si è stabilizzata.

2Il rapporto spire

Ogni spira di filo sul nucleo riceve la stessa tensione. Quindi la tensione di ciascuna bobina è proporzionale al suo numero di spire N.

a = N1 / N2 = V1 / V2

Un trasformatore ideale non perde potenza, quindi potenza in ingresso = potenza in uscita: V1·I1 = V2·I2. Le correnti vanno quindi nel verso opposto:

I1 / I2 = N2 / N1 = 1/a
  • Abbassatore (a > 1): tensione più bassa, corrente più alta al secondario.
  • Elevatore (a < 1): tensione più alta, corrente più bassa al secondario.
Autoverifica Un trasformatore ideale ha 400 spire al primario e 200 al secondario. Il primario è a 240 V. Qual è la tensione al secondario?
  1. 120 V
  2. 240 V
  3. 480 V
  4. 60 V

Risposta: 120 V. V2 = V1·N2/N1 = 240·200/400 = 120 V. Capovolgendo il rapporto si ottengono 480 V.

3Il metodo passo dopo passo

  1. Trova il rapporto spire a = N1/N2, oppure a = V1/V2 dalle tensioni nominali.
  2. Trova la tensione sull’altro lato: V2 = V1/a.
  3. Se è collegato un carico, trova la sua corrente con la legge di Ohm: I2 = V2/RL.
  4. Trova la corrente sull’altro lato: I1 = I2/a. Il lato ad alta tensione porta la corrente piccola.
  5. Controlla con la potenza: V1·I1 deve essere uguale a V2·I2.

Un controllo rapido di buon senso: il lato con più spire ha la tensione più alta e la corrente più bassa.

4Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Un trasformatore ideale con rapporto spire N1:N2 = 10:1 ha 2300 V al primario. Una resistenza da 23 Ω è collegata al secondario. Trova V2, I2 e la corrente primaria I1.

1

Osserva il circuito

23 ΩN1​ = 10N2​ = 12300 VV2​ ?I1​I2​

Il rapporto spire è a = 10, quindi questo è un trasformatore abbassatore.

2

Tensione secondaria

V2 = V1 / a = 2300 / 10 = 230 V
3

Corrente secondaria

I2 = V2 / RL = 230 / 23 = 10 A
4

Corrente primaria

Il rapporto tra le correnti è l’inverso del rapporto tra le tensioni.

I1 = I2 / a = 10 / 10 = 1 A
5

Controlla il risultato

Potenza in ingresso: 2300·1 = 2300 W. Potenza in uscita: 230·10 = 2300 W. Sono uguali, come deve essere per un trasformatore ideale.

Risposta

V2 = 230 V, I2 = 10 A e I1 = 1 A.

5Dati di targa, carichi riportati e perdite

Un trasformatore ha una potenza nominale in kVA, per esempio “10 kVA, 7200/240 V”. La corrente nominale di ciascun avvolgimento è la potenza nominale divisa per la tensione di quell’avvolgimento:

I = S / V

Visto dal primario, un carico RL sul secondario appare più grande di a²:

RL′ = a²·RL

Nell’esempio, 23 Ω appaiono come 10²·23 = 2300 Ω dal primario. Allora I1 = 2300/2300 = 1 A, la stessa risposta.

Un trasformatore reale ha due tipi di perdite:

  • Perdite nel nucleo Pcore: nel ferro. Sono uguali a qualsiasi carico.
  • Perdite nel rame Pcu: negli avvolgimenti. Crescono con il quadrato della frazione di carico x (x = 0,5 a metà carico): Pcu = x²·Pcu,fl.
η = x·S·pf / (x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)

Il rendimento è massimo al carico in cui le perdite nel rame uguagliano le perdite nel nucleo:

x = √(Pcore / Pcu,fl)
Autoverifica Un trasformatore da 25 kVA ha una perdita nel nucleo di 75 W e una perdita nel rame a pieno carico di 300 W. A quale carico il suo rendimento è massimo?
  1. 12,5 kVA
  2. 25 kVA
  3. 50 kVA
  4. 6,25 kVA

Risposta: 12,5 kVA. x = √(75/300) = √0,25 = 0,5, quindi 0,5·25 = 12,5 kVA. Dimenticare la radice quadrata dà x = 0,25 e 6,25 kVA.

6Errori comuni

  • Capovolgere il rapporto. Il lato con più spire ha la tensione più alta.
  • Usare il rapporto delle tensioni per le correnti. Le correnti vanno nel verso opposto: il lato ad alta tensione ha la corrente piccola.
  • Usare la tensione dell’avvolgimento sbagliato per la corrente nominale. Ogni avvolgimento usa la propria tensione in I = S/V.
  • Far scalare le perdite nel rame con x invece che con x². A metà carico sono un quarto del valore a pieno carico.
Autoverifica Un trasformatore da 10 kVA, 7200/240 V lavora al carico nominale. Quale corrente scorre nell’avvolgimento a bassa tensione?
  1. 0,0417 A
  2. 1,39 A
  3. 30 A
  4. 41,7 A

Risposta: 41,7 A. I = S/V = 10000/240 = 41,7 A. Usando 7200 V si ottiene la corrente ad alta tensione, 1,39 A. Lasciando S in kVA si ottengono 0,0417 A, e 30 è solo il rapporto spire.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: il rapporto spire. Trovi la tensione al secondario, oppure il numero di spire del secondario per un dato abbassamento.
  • Medio: correnti e potenza. Trovi la corrente nominale di un avvolgimento, la corrente primaria con una resistenza sul secondario, la resistenza vista dal primario, oppure il rapporto spire che adatta un altoparlante a un amplificatore.
  • Difficile: rendimento e perdite. Trovi le perdite totali a carico parziale, il carico per il massimo rendimento, oppure la perdita nel rame a pieno carico da un dato rendimento.

Per l’adattamento, il carico deve apparire uguale alla resistenza della sorgente: a²·RL = Rsource, quindi a = √(Rsource/RL).

Per le perdite a carico parziale, somma la perdita fissa nel nucleo e x²·Pcu,fl. Il fattore di potenza conta per la potenza in uscita, non per le perdite.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
N1​ = 60N2​ = 3000240 VV2​ = ?

Un trasformatore ideale ha 60 spire sull’avvolgimento primario e 3000 spire sull’avvolgimento secondario. Il primario è collegato a una rete in corrente alternata a 240 V. Trova la tensione secondaria V2.

N1 = 60N2 = 3000V1 = 240 V

Calcola V2 (V)

Mostra i suggerimenti
  1. La tensione per spira è la stessa in entrambi gli avvolgimenti.
  2. V₂/V₁ = N₂/N₁.
  3. N₂/N₁ = 50.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Trasformatore ideale: le tensioni stanno nel rapporto delle spire e le correnti nel rapporto inverso: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a e I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, quindi la potenza in ingresso è uguale a quella in uscita, V₁·I₁ = V₂·I₂. Un’impedenza di carico Z sul secondario appare come a²·Z vista dal primario.

Rapporto delle tensioni uguale al rapporto spire

V2 = V1·N2/N1 = 240·3000/60 = 12000 V

Risposta

V2 = 12000 V
Esempio 2Media
4 ΩN1​N2​256 Ω

Un amplificatore con resistenza di uscita di 256 Ω alimenta un altoparlante da 4 Ω tramite un trasformatore ideale. Per il massimo trasferimento di potenza l’altoparlante deve apparire come 256 Ω visto dall’amplificatore. Trova il rapporto spire a = N₁/N₂.

Rs = 256 ΩRL = 4 Ω

Calcola a

Mostra i suggerimenti
  1. Visto dal primario, il carico appare come a²·RL.
  2. Poni a²·RL uguale alla resistenza di uscita dell’amplificatore.
  3. a² = 256/4.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Trasformatore ideale: le tensioni stanno nel rapporto delle spire e le correnti nel rapporto inverso: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a e I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, quindi la potenza in ingresso è uguale a quella in uscita, V₁·I₁ = V₂·I₂. Un’impedenza di carico Z sul secondario appare come a²·Z vista dal primario.

Adatta il carico riportato

a²·4 = 256
a = √(256/4) = √64 = 8

Risposta

a = 8
Esempio 3Difficile
pf 0,9525 kVA, 25% carico

Un trasformatore monofase da 25 kVA ha perdite nel ferro di 75 W e perdite nel rame di 300 W al carico nominale. Fornisce il 25% dei suoi kVA nominali con un fattore di potenza di 0,95 in ritardo. Trova le perdite totali Ploss in watt a questo carico.

S = 25 kVAPcore = 75 WPcu,fl = 300 Wx = 0,25pf = 0,95

Calcola Ploss (W)

Mostra i suggerimenti
  1. Quali perdite cambiano con il carico e quali no?
  2. Perdite nel rame ∝ I², e la corrente è proporzionale al carico.
  3. x² = 0,0625.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Perdite del trasformatore: le perdite nel ferro (isteresi e correnti parassite) dipendono dalla tensione e sono le stesse a qualsiasi carico. Le perdite nel rame degli avvolgimenti variano con il quadrato della corrente, quindi a una frazione x del carico nominale valgono x²·Pcu,fl. Rendimento η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), con Pout = x·S·pf. Il rendimento è massimo al carico per cui le perdite nel rame sono uguali alle perdite nel ferro.

Perdite nel rame a questo carico

Pcu = x²·Pcu,fl = 0,0625·300 = 18,75 W

Perdite totali

Le perdite nel ferro sono le stesse a qualsiasi carico.

Ploss = 75 + 18,75 = 93,75 W

Risposta

Ploss = 93,75 W

Il rendimento a questo carico è η = 98,45%.

Domande e risposte

Trasformatori: di cosa si tratta?

Un trasformatore cambia una tensione alternata in una tensione alternata più alta o più bassa. Le centrali elettriche elevano la tensione per trasportare l’energia lontano; i trasformatori locali la abbassano a 230 V per le case.

Ha due bobine di filo avvolte su un unico nucleo di ferro. La bobina collegata all’alimentazione è il primario (1). La bobina collegata al carico è il secondario (2).

Trasformatori: come si risolvono gli esercizi passo per passo?

Trasformatore ideale: le tensioni stanno nel rapporto delle spire e le correnti nel rapporto inverso: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a e I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, quindi la potenza in ingresso è uguale a quella in uscita, V₁·I₁ = V₂·I₂. Un’impedenza di carico Z sul secondario appare come a²·Z vista dal primario.

Trasformatori: quali sono gli errori più comuni?
  • Il rapporto spire è capovolto. Il secondario ha più spire, quindi questo trasformatore innalza la tensione: V2 = V1·N2/N1.
  • L’impedenza si trasforma con il quadrato del rapporto spire, quindi estrai la radice quadrata: a = √(Rs/RL).
  • Il rapporto è capovolto. Il primario è affacciato alla resistenza maggiore, quindi ha bisogno di più spire.
Trasformatori: che cosa si esercita?
  • Facile: rapporto spire
  • Media: correnti e potenza
  • Difficile: rendimento e perdite

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Argomenti prima e dopo questo

Da studiare prima

Impedenza AC e fasori

Calcolatrici

Calcolatrice del rapporto spire del trasformatore

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