Transitori RC e RL: esercizi con soluzioni passo passo

Detto anche: circuito RC · carica e scarica del condensatore · transitorio

Esercizi gratuiti su Transitori RC e RL con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: carica RC, circuito RL, condensatore con carica iniziale.

Esercizio gratuitoFacile
+−Vs​5 Vt = 0R = 1 kΩC33 µF+−vC​

Il condensatore è scarico quando l’interruttore si chiude in t = 0. Trova la tensione del condensatore vC in t = 10 ms.

Vs = 5 VR = 1 kΩC = 33 µFt = 10 ms
V
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Su cosa ti eserciti

  1. Facilecarica RC
  2. Mediacircuito RL
  3. Difficilecondensatore con carica iniziale

Come risolvere gli esercizi di Transitori RC e RL

  1. Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
  2. Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
  3. Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Errori comuni

  • Usare la formula di carica per un circuito in scarica.
  • Mescolare le unità: kΩ per µF dà ms, non s.
  • Usare la resistenza sbagliata nella costante di tempo.

Formule chiave

Costante di tempo
τ = RC | τ = L/R
Risposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensatore in continua
circuito aperto; vC non può variare a salto
Induttore in continua
cortocircuito; iL non può variare a salto
A regime
t ≈ 5τ

Impara Transitori RC e RL da zero

Prima di questo: Resistori in serie e parallelo

1Che cos’è un transitorio

Quando chiudi un interruttore in un circuito con soli resistori, ogni corrente salta subito al suo nuovo valore.

Un condensatore o un induttore cambia questo comportamento. Immagazzinano energia, e l’energia immagazzinata non può cambiare in un tempo nullo. Quindi il circuito passa gradualmente dal vecchio stato al nuovo.

Questa variazione graduale si chiama transitorio. Dopo un po’ il circuito si stabilizza e nulla cambia più.

Pensa a riempire un secchio con un tubo stretto. Il secchio è il condensatore, il tubo stretto è il resistore. Il livello sale in fretta all’inizio, poi sempre più lentamente man mano che il secchio si riempie.

+−Vs​10 Vt = 0R = 10 kΩC10 µF+−vC​
Autoverifica Un condensatore scarico viene collegato a un generatore da 12 V attraverso un resistore. Qual è la tensione del condensatore subito dopo la chiusura dell’interruttore?
  1. 0 V
  2. 12 V
  3. 4,4 V
  4. 6 V

Risposta: 0 V. La tensione di un condensatore non può saltare. Era 0 V subito prima della chiusura dell’interruttore, quindi è ancora 0 V subito dopo. Raggiunge 12 V solo dopo molto tempo.

2Condensatori e induttori all’inizio e alla fine

Per ciascun componente ti bastano due regole: che cosa non può saltare e come si comporta quando tutto si è stabilizzato.

  • Condensatore: la sua tensione vC non può saltare. A lungo dopo la commutazione, in esso non scorre corrente, quindi si comporta come un circuito aperto (un’interruzione).
  • Induttore: la sua corrente iL non può saltare. A lungo dopo la commutazione, ai suoi capi non c’è tensione, quindi si comporta come un cortocircuito (un filo).

Il valore subito dopo la commutazione è il valore iniziale, x(0). Il valore dopo la stabilizzazione è il valore finale, x(∞).

Per un condensatore che si carica da un generatore Vs: vC(0) = 0 e vC(∞) = Vs. Per un induttore: i(0) = 0 e i(∞) = Vs/R.

Autoverifica Un generatore da 12 V alimenta un resistore da 20 Ω in serie con un induttore. Quale corrente scorre molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore?
  1. 0 A
  2. 0,6 A
  3. 1,67 A
  4. 240 A

Risposta: 0,6 A. A regime, l’induttore è un semplice filo, quindi solo il resistore limita la corrente: 12/20 = 0,6 A. Lo 0 A è il valore subito dopo la commutazione, non quello finale.

3La costante di tempo

La rapidità della variazione è determinata da un solo numero, la costante di tempo τ (tau).

τ = R·C τ = L/R

Unità: kΩ per µF dà millisecondi. mH diviso Ω dà anch’esso millisecondi.

Ogni tensione e corrente segue la stessa curva esponenziale tra il suo valore iniziale e quello finale:

x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
tvC​Vs​0,63·Vs​τ2τ3τ4τ5τ
  • Dopo 1τ la variazione è completata al 63%. Dopo 2τ all’86%, dopo 3τ al 95%.
  • Dopo circa 5τ il circuito si è stabilizzato a tutti gli effetti pratici.

Per un condensatore che si carica partendo da 0 V, la formula diventa:

vC(t) = Vs·(1 − e−t/τ)
Autoverifica Qual è la costante di tempo di un resistore da 4,7 kΩ con un condensatore da 10 µF?
  1. 0,47 ms
  2. 2,13 ms
  3. 47 ms
  4. 47 s

Risposta: 47 ms. τ = R·C = 4,7 kΩ · 10 µF = 47 ms, perché kΩ per µF dà millisecondi. Dividere invece di moltiplicare dà 2,13 ms.

4Il metodo passo dopo passo

  1. Trova il valore iniziale x(0) subito dopo la commutazione. Usa la regola: vC e iL non possono saltare.
  2. Trova il valore finale x(∞). Sostituisci un condensatore con un’interruzione e un induttore con un filo, poi risolvi il circuito in continua.
  3. Trova la costante di tempo: τ = R·C oppure τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Inserisci i tre valori in x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
  5. Inserisci il tempo t, nella stessa unità di τ, e calcola.

Se la domanda chiede invece un tempo, risolvi la stessa formula per t. Ti servirà il logaritmo naturale, ln.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Il condensatore è scarico quando l’interruttore si chiude a t = 0. Trova la costante di tempo e la tensione del condensatore vC a t = 100 ms.

1

Osserva il circuito

+−Vs​10 Vt = 0R = 10 kΩC10 µF+−vC​i

L’interruttore collega Vs = 10 V al condensatore attraverso R = 10 kΩ. C = 10 µF.

2

Valore iniziale e finale

Il condensatore è scarico e la sua tensione non può saltare, quindi vC(0) = 0 V.

A lungo dopo, non scorre corrente, quindi non c’è tensione ai capi di R. Tutti i 10 V si trovano ai capi di C.

vC(0) = 0 V, vC(∞) = 10 V
3

Costante di tempo

τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms
4

Tensione a t = 100 ms

Qui t è esattamente una costante di tempo, quindi t/τ = 1.

vC = 10·(1 − e−1) = 10·(1 − 0,368) = 6,32 V
5

Controlla il risultato

Dopo una costante di tempo il condensatore dovrebbe essere carico al 63%. Il 63% di 10 V è 6,3 V, quindi la risposta è coerente.

È anche inferiore ai 10 V del generatore, come deve essere per un condensatore che si carica.

Risposta

τ = 100 ms e vC = 6,32 V a t = 100 ms.

6Errori comuni

  • Usare la formula di carica Vs·(1 − e−t/τ) quando il condensatore ha già una tensione. Usa la formula generale con x(0).
  • Mescolare le unità: kΩ per µF dà millisecondi, non secondi. Mantieni t e τ nella stessa unità.
  • Rispondere con Vs·e−t/τ. Questa è la parte che ancora manca (o la tensione del resistore), non la tensione del condensatore.
  • Usare la resistenza sbagliata in τ. Usa la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Autoverifica Un condensatore ha 4 V quando viene collegato a un generatore da 10 V. Quanto vale vC dopo una costante di tempo? (e−1 ≈ 0,368)
  1. 10,32 V
  2. 2,21 V
  3. 6,32 V
  4. 7,79 V

Risposta: 7,79 V. vC = 10 + (4 − 10)·0,368 = 7,79 V. La sola formula di carica dà 6,32 V, che ignora i 4 V iniziali. 2,21 V è la parte che ancora manca.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: carica RC da 0 V, come nell’esempio. Trovi τ o la tensione del condensatore a un dato istante.
  • Medio: un circuito RL con la corrente dell’induttore che parte da 0. Trovi i(t) = (Vs/R)·(1 − e−t/τ), la tensione dell’induttore vL = Vs·e−t/τ, oppure il tempo per raggiungere una percentuale della corrente finale.
  • Difficile: un condensatore che ha già una tensione. Trovi vC a un dato istante, oppure il tempo per raggiungere una data tensione.

Per trovare un tempo, riarrangia la formula generale:

t = τ·ln[(x(0) − x(∞)) / (x(t) − x(∞))]

Con τ = L/R, mH diviso Ω dà ms. Quindi un induttore da 50 mH con 10 Ω ha τ = 5 ms.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
R = 1 kΩt = 0C68 µF+−vC​vC​(0) = 5 V

Il condensatore è stato caricato a 5 V. A t = 0 l’interruttore si chiude e il condensatore si scarica attraverso R. Trova la tensione del condensatore vC in t = 50 ms.

vC(0) = 5 VR = 1 kΩC = 68 µFt = 50 ms

Calcola vC (V)

Mostra i suggerimenti
  1. Un circuito RC del primo ordine ha costante di tempo τ = RC. Con R in kΩ e C in µF, τ risulta in ms.
  2. Senza generatore la tensione del condensatore decresce verso zero: vC(t) = vC(0)·e−t/τ.
  3. τ = 68 ms.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo

kΩ per µF dà millisecondi.

τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms

Curva di scarica

Il condensatore parte dalla tensione accumulata e decresce verso 0 V.

vC(t) = 5·e−50/68 = 2,397 V

Risposta

vC = 2,397 V
Esempio 2Media
+−Vs​6 Vt = 0R = 50 ΩL150 mHi(t)

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Quanto tempo dopo la chiusura dell’interruttore la corrente raggiunge il 75% del suo valore finale? Trova t.

Vs = 6 VR = 50 ΩL = 150 mH

Calcola t (ms)

Mostra i suggerimenti
  1. Per un circuito RL τ = L/R. Con L in mH e R in Ω, τ risulta in ms.
  2. Subito dopo la chiusura dell’interruttore la corrente nell’induttore è ancora zero; molto dopo, l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi i(∞) = Vs/R.
  3. τ = 3 ms, i(∞) = 0,12 A.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms
i(∞) = Vs/R = 6/50 = 0,12 A

Risolvi per il tempo

0,75 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)
t = −3·ln(0,25) = 4,159 ms

Risposta

t = 4,159 ms
Esempio 3Difficile
+−Vs​6 Vt = 0R = 1 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 18 V con la polarità indicata. Quanto tempo serve perché vC raggiunga 8,4 V? Trova t.

Vs = 6 VR = 1 kΩC = 100 µFvC(0) = 18 V

Calcola t (ms)

Mostra i suggerimenti
  1. Usa la soluzione generale del primo ordine x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
  2. Qui x(0) è la tensione immagazzinata nel condensatore e x(∞) è la tensione del generatore, perché nel condensatore non scorre corrente una volta assestato.
  3. τ = 100 ms.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms
vC(t) = 6 + (18 − 6)·e−t/τ

Risolvi per il tempo

8,4 = 6 + (12)·e−t/τ → e−t/τ = (8,4 − 6)/(18 − 6) = 0,2
t = τ·ln((18 − 6)/(8,4 − 6)) = 100·ln(5) = 160,9 ms

Risposta

t = 160,9 ms

Domande e risposte

Transitori RC e RL: di cosa si tratta?

Quando chiudi un interruttore in un circuito con soli resistori, ogni corrente salta subito al suo nuovo valore.

Un condensatore o un induttore cambia questo comportamento. Immagazzinano energia, e l’energia immagazzinata non può cambiare in un tempo nullo. Quindi il circuito passa gradualmente dal vecchio stato al nuovo.

Transitori RC e RL: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
  1. Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
  2. Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
  3. Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Transitori RC e RL: quali sono gli errori più comuni?
  • Usare la formula di carica per un circuito in scarica.
  • Mescolare le unità: kΩ per µF dà ms, non s.
  • Usare la resistenza sbagliata nella costante di tempo.
Transitori RC e RL: che cosa si esercita?
  • Facile: carica RC
  • Media: circuito RL
  • Difficile: condensatore con carica iniziale

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