Motori in corrente continua: esercizi con soluzioni passo passo

Esercizi gratuiti su Motori in corrente continua con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: f.c.e.m., corrente e coppia, velocità–coppia e rendimento, avviamento e controllo della velocità.

Esercizio gratuitoFacile
+−240 VRa​M+−E = 216 Vn = 1800 rpmT

Un motore in corrente continua gira a 1800 rpm, e la sua f.c.e.m. a quella velocità è 216 V. Trova la costante del motore k in V·s/rad.

E = 216 Vn = 1800 rpm
V·s/rad
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Su cosa ti eserciti

  1. Facilef.c.e.m., corrente e coppia
  2. Mediavelocità–coppia e rendimento
  3. Difficileavviamento e controllo della velocità

Come risolvere gli esercizi di Motori in corrente continua

  1. Disegna il circuito d’indotto: alimentazione V, resistenza Ra e f.c.e.m. E in serie.
  2. Usa V = E + Ia·Ra per collegare tensione, corrente e f.c.e.m.
  3. Usa E = k·ω per la velocità e T = k·Ia per la coppia, con ω = 2π·n/60.
  4. Per potenza e rendimento, parti da V·Ia, sottrai la perdita nel rame Ia²·Ra e poi le perdite rotazionali.

Errori comuni

  • Lasciare la velocità in rpm in E = k·ω o P = T·ω.
  • Dimenticare che la f.c.e.m. è zero a motore fermo, il che rende la corrente di spunto molto grande.
  • Sommare la caduta d’indotto all’alimentazione invece di sottrarla.
  • Mantenere costante la corrente dopo aver indebolito il campo: la stessa coppia richiede più corrente.

Formule chiave

Circuito d’indotto
V = E + IaRa
F.c.e.m. e coppia
E = k·ω, T = k·Ia
Velocità
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocità a vuoto e coppia di spunto
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potenze
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Avviamento
Istart = V/(Ra + Rst)
Regolazione di velocità
SR = (n0 − nFL)/nFL
Massima potenza sviluppata
Pmax = V²/(4Ra)
Azionamento con chopper
Va = D·Vdc

Impara Motori in corrente continua da zero

Prima di questo: Resistori in serie e parallelo

1Che cos’è un motore in corrente continua

Un motore in corrente continua trasforma la potenza elettrica in rotazione. La corrente nell’avvolgimento rotante, l’indotto, si trova in un campo magnetico e subisce una forza, che dà una coppia sull’albero.

Mentre l’indotto ruota, funziona anche da generatore. Produce una tensione che si oppone all’alimentazione: la forza controelettromotrice (f.c.e.m.) E. Più veloce gira, maggiore è E.

+−VRa​M+−EωT

Elettricamente l’indotto è una resistenza Ra in serie con la f.c.e.m. Questo semplice modello spiega come velocità, coppia e corrente dipendono l’una dall’altra.

Autoverifica Qual è la f.c.e.m. di un motore in corrente continua nel momento in cui viene acceso, prima che giri?
  1. La stessa che a piena velocità
  2. Metà della tensione di alimentazione
  3. Uguale alla tensione di alimentazione
  4. Zero

Risposta: Zero. La f.c.e.m. è proporzionale alla velocità, E = k·ω. A motore fermo ω = 0, quindi E = 0 e solo Ra limita la corrente.

2Le quattro equazioni del motore

Percorri il circuito d’indotto:

V = E + Ia·Ra

La f.c.e.m. cresce con la velocità e la coppia con la corrente, con la stessa costante del motore k nel SI (V·s/rad = N·m/A):

E = k·ω T = k·Ia

Le velocità sono spesso date in giri al minuto. Converti prima di usare le equazioni:

ω = 2π·n/60

La potenza convertita in forma meccanica è la potenza sviluppata E·Ia = T·ω. La potenza assorbita è V·Ia, e la differenza Ia²Ra si perde in calore nell’indotto.

Autoverifica Un motore ha k = 0,5 N·m/A e assorbe una corrente d’indotto di 8 A. Quale coppia sviluppa?
  1. 0,0625 N·m
  2. 16 N·m
  3. 4 N·m
  4. 8 N·m

Risposta: 4 N·m. T = k·Ia = 0,5·8 = 4 N·m. Dividere la corrente per k dà 16, e dividere k per la corrente dà 0,0625.

3Il metodo passo dopo passo

  1. Disegna il circuito d’indotto ed elenca i dati: V, Ra, k e una coppia resistente, una corrente o una velocità.
  2. Se è data una coppia, ricava la corrente da Ia = T/k.
  3. Ricava la f.c.e.m. da V = E + IaRa.
  4. Ricava la velocità da ω = E/k e converti in rpm se richiesto: n = 60·ω/(2π).
  5. Per potenza e rendimento, parti da V·Ia e sottrai la perdita nel rame e poi le perdite rotazionali.

4Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Un motore in corrente continua con Ra = 0,5 Ω e k = 0,8 V·s/rad è alimentato a 120 V e aziona una coppia resistente di 8 N·m. Trova la sua corrente d’indotto, la sua velocità in rpm e la sua potenza sviluppata.

1

Osserva il circuito

+−120 VRa​ = 0,5 ΩIa​ ?M+−En ?T = 8 N·m

La coppia resistente fissa la corrente; la corrente fissa la caduta di tensione; la f.c.e.m. fissa poi la velocità.

2

Corrente d’indotto

Ia = T/k = 8/0,8 = 10 A
3

F.c.e.m.

E = V − IaRa = 120 − 10·0,5 = 115 V
4

Velocità

ω = E/k = 115/0,8 = 143,75 rad/s
n = 60·143,75/(2π) = 1373 rpm
5

Potenza sviluppata e verifica

Pdev = E·Ia = 115·10 = 1150 W

Verifica dal lato dell’albero: T·ω = 8·143,75 = 1150 W. La potenza assorbita è 120·10 = 1200 W, quindi 50 W si perdono in Ra.

Risposta

Ia = 10 A, n = 1373 rpm e Pdev = 1150 W.

5Retta velocità–coppia, avviamento e controllo della velocità

Combinando le equazioni si ottiene una retta: la velocità cala un poco al crescere della coppia resistente.

ω = V/k − Ra·T/k²
Tn14321928 N·m, 1373
  • Velocità a vuoto (T = 0): ω0 = V/k. Nell’esempio 150 rad/s, ovvero 1432 rpm.
  • Coppia di spunto (ω = 0): T = k·V/Ra = 0,8·120/0,5 = 192 N·m.
  • Corrente di spunto: V/Ra = 240 A, ben oltre la corrente di regime. Un reostato di avviamento in serie la mantiene bassa.
  • Controllo della velocità: abbassa la tensione d’indotto (per esempio con un chopper, Va = D·Vdc), aggiungi resistenza in serie, oppure indebolisci il campo per funzionare sopra la velocità base.
Autoverifica Il motore da 120 V con Ra = 0,5 Ω deve avviarsi con al massimo 30 A. Quale resistenza di avviamento serve?
  1. 0,5 Ω
  2. 3,5 Ω
  3. 4 Ω
  4. 4,5 Ω

Risposta: 3,5 Ω. La resistenza totale deve essere 120/30 = 4 Ω. L’indotto ne fornisce già 0,5 Ω, quindi il resistore è 4 − 0,5 = 3,5 Ω. Sommare Ra invece di sottrarla dà 4,5 Ω.

6Errori comuni

  • Lasciare la velocità in rpm in E = k·ω o P = T·ω.
  • Sommare la caduta d’indotto all’alimentazione invece di sottrarla: in un motore E è minore di V.
  • Dimenticare che la f.c.e.m. è zero a motore fermo.
  • Mantenere invariata la corrente dopo aver indebolito il campo: con una k minore, la stessa coppia richiede più corrente.
Autoverifica Un motore ha una f.c.e.m. di 100 V a 1000 rpm. Quanto vale la sua costante k?
  1. 0,0159 V·s/rad
  2. 0,1 V·s/rad
  3. 0,955 V·s/rad
  4. 6 V·s/rad

Risposta: 0,955 V·s/rad. ω = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s, quindi k = 100/104,7 = 0,955. Dividere direttamente per gli rpm dà 0,1, e dimenticare il 60 dà 0,0159.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: f.c.e.m., corrente e coppia. Trovi E, Ia, la coppia da k, la costante del motore da una velocità, la velocità, la corrente di spunto o la potenza sviluppata.
  • Medio: velocità–coppia e rendimento. Trovi la velocità a vuoto, la velocità sotto carico, la coppia di spunto, il rendimento con le perdite rotazionali, la regolazione di velocità o la coppia all’albero da una potenza.
  • Difficile: avviamento e controllo della velocità. Dimensioni un reostato di avviamento, trovi la tensione d’indotto o la resistenza in serie per una velocità, la velocità dopo l’indebolimento di campo, il rapporto di lavoro di un azionamento con chopper, la potenza massima, o la velocità dopo una variazione di carico.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
+−120 VRa​Ia​ = 8 AM+−EωT = ?

Un motore in corrente continua a magneti permanenti ha la costante di coppia k = 0,6 N·m/A. Trova la coppia T che sviluppa con una corrente d’indotto di 8 A.

k = 0,6 N·m/AIa = 8 A

Calcola T (N·m)

Mostra i suggerimenti
  1. La costante di coppia lega la coppia alla corrente d’indotto.
  2. T = k·Ia.
  3. T = 0,6·8.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Motore in corrente continua: l’indotto è una resistenza Ra in serie con la forza controelettromotrice E, quindi V = E + Ia·Ra. La f.c.e.m. cresce con la velocità, E = k·ω, e la coppia con la corrente, T = k·Ia, con la stessa costante del motore k (V·s/rad = N·m/A) nel SI. Converti le velocità con ω = 2π·n/60. La potenza sviluppata è E·Ia = T·ω; la potenza assorbita è V·Ia, e la differenza è data dalle perdite nel rame Ia²Ra e dalle perdite meccaniche rotazionali. La velocità diminuisce linearmente con la coppia, ω = V/k − Ra·T/k², dalla velocità a vuoto V/k fino a zero alla coppia di spunto k·V/Ra. A motore fermo E = 0, quindi la corrente di spunto V/Ra è elevata se una resistenza non la limita.

Momento torcente

T = k·Ia = 0,6·8 = 4,8 N·m

Risposta

T = 4,8 N·m

Nel SI la stessa k è la costante della f.c.e.m. in V·s/rad.

Esempio 2Media
T (N·m)n (rpm)20 N·mn0​n = ?

Un motore in corrente continua (k = 0,8 N·m/A, Ra = 0,4 Ω) funziona a 110 V e aziona una coppia resistente di 20 N·m. Trova la sua velocità n in rpm.

V = 110 Vk = 0,8 N·m/ARa = 0,4 ΩT = 20 N·m

Calcola n (rpm)

Mostra i suggerimenti
  1. La coppia fissa la corrente: Ia = T/k.
  2. Ia = 20/0,8 = 25 A.
  3. ω = (V − IaRa)/k.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Motore in corrente continua: l’indotto è una resistenza Ra in serie con la forza controelettromotrice E, quindi V = E + Ia·Ra. La f.c.e.m. cresce con la velocità, E = k·ω, e la coppia con la corrente, T = k·Ia, con la stessa costante del motore k (V·s/rad = N·m/A) nel SI. Converti le velocità con ω = 2π·n/60. La potenza sviluppata è E·Ia = T·ω; la potenza assorbita è V·Ia, e la differenza è data dalle perdite nel rame Ia²Ra e dalle perdite meccaniche rotazionali. La velocità diminuisce linearmente con la coppia, ω = V/k − Ra·T/k², dalla velocità a vuoto V/k fino a zero alla coppia di spunto k·V/Ra. A motore fermo E = 0, quindi la corrente di spunto V/Ra è elevata se una resistenza non la limita.

Corrente d’indotto

Ia = T/k = 20/0,8 = 25 A

F.c.e.m. e velocità

E = 110 − 25·0,4 = 100 V
ω = E/k = 125 rad/s → n = 1194 rpm

Risposta

n = 1194 rpm
Esempio 3Difficile
+−120 VRa​ = 1 ΩM+−En = ?T = 6 N·m

Un motore in corrente continua a eccitazione indipendente (k = 1,5 V·s/rad a campo pieno, Ra = 1 Ω, V = 120 V) aziona una coppia resistente costante di 6 N·m. Il flusso di campo è ridotto al 75 % del valore pieno. Trova la nuova velocità n.

V = 120 Vk = 1,5 V·s/radRa = 1 ΩT = 6 N·mΦ = 75 %

Calcola n (rpm)

Mostra i suggerimenti
  1. Entrambe le costanti sono proporzionali al flusso: k₂ = 0,75·k = 1,125.
  2. Ia = T/k₂ = 5,333 A.
  3. ω = (V − IaRa)/k₂.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Motore in corrente continua: l’indotto è una resistenza Ra in serie con la forza controelettromotrice E, quindi V = E + Ia·Ra. La f.c.e.m. cresce con la velocità, E = k·ω, e la coppia con la corrente, T = k·Ia, con la stessa costante del motore k (V·s/rad = N·m/A) nel SI. Converti le velocità con ω = 2π·n/60. La potenza sviluppata è E·Ia = T·ω; la potenza assorbita è V·Ia, e la differenza è data dalle perdite nel rame Ia²Ra e dalle perdite meccaniche rotazionali. La velocità diminuisce linearmente con la coppia, ω = V/k − Ra·T/k², dalla velocità a vuoto V/k fino a zero alla coppia di spunto k·V/Ra. A motore fermo E = 0, quindi la corrente di spunto V/Ra è elevata se una resistenza non la limita.

Costante del motore indebolita

k₂ = 0,75·1,5 = 1,125 V·s/rad

Nuova corrente d’indotto

Ia = 6/1,125 = 5,333 A

Nuova velocità

ω = (120 − 5,333·1)/1,125 = 101,9 rad/s → n = 973,3 rpm

Risposta

n = 973,3 rpm

L’indebolimento di campo è il modo in cui un azionamento in corrente continua funziona oltre la velocità base.

Domande e risposte

Motori in corrente continua: di cosa si tratta?

Un motore in corrente continua trasforma la potenza elettrica in rotazione. La corrente nell’avvolgimento rotante, l’indotto, si trova in un campo magnetico e subisce una forza, che dà una coppia sull’albero.

Mentre l’indotto ruota, funziona anche da generatore. Produce una tensione che si oppone all’alimentazione: la forza controelettromotrice (f.c.e.m.) E. Più veloce gira, maggiore è E.

Motori in corrente continua: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
  1. Disegna il circuito d’indotto: alimentazione V, resistenza Ra e f.c.e.m. E in serie.
  2. Usa V = E + Ia·Ra per collegare tensione, corrente e f.c.e.m.
  3. Usa E = k·ω per la velocità e T = k·Ia per la coppia, con ω = 2π·n/60.
  4. Per potenza e rendimento, parti da V·Ia, sottrai la perdita nel rame Ia²·Ra e poi le perdite rotazionali.
Motori in corrente continua: quali sono gli errori più comuni?
  • Lasciare la velocità in rpm in E = k·ω o P = T·ω.
  • Dimenticare che la f.c.e.m. è zero a motore fermo, il che rende la corrente di spunto molto grande.
  • Sommare la caduta d’indotto all’alimentazione invece di sottrarla.
  • Mantenere costante la corrente dopo aver indebolito il campo: la stessa coppia richiede più corrente.
Motori in corrente continua: che cosa si esercita?
  • Facile: f.c.e.m., corrente e coppia
  • Media: velocità–coppia e rendimento
  • Difficile: avviamento e controllo della velocità

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