Diagrammi di Bode e margini: esercizi con soluzioni passo passo

Detto anche: diagramma di Bode · margine di fase · margine di guadagno

Esercizi gratuiti su Diagrammi di Bode e margini con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: filtri e asintoti, modulo e fase, margini di stabilità.

Esercizio gratuitoFacile
vin​C = 4,7 nFR = 10 kΩvout​

Trova la frequenza di taglio (−3 dB) fc del filtro passa-alto RC mostrato, con R = 10 kΩ, C = 4,7 nF. Dalla in Hz.

R = 10 kΩC = 4,7 nF
Hz
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Su cosa ti eserciti

  1. Facilefiltri e asintoti
  2. Mediamodulo e fase
  3. Difficilemargini di stabilità

Impara Diagrammi di Bode e margini da zero

Prima di questo: Impedenza AC e fasori, Trasformate di Laplace

1Che cosa mostra un diagramma di Bode

Se invii un’onda sinusoidale in un filtro o in un amplificatore, ne esce una sinusoide con la stessa frequenza. Cambiano solo due cose: l’ampiezza e la temporizzazione.

tvvin​vout​

Il guadagno |H| è il rapporto tra l’ampiezza di uscita e quella di ingresso. La fase φ indica di quanto è sfasata l’uscita, in gradi. Una fase negativa significa che l’uscita è in ritardo.

Entrambi dipendono dalla frequenza. Un diagramma di Bode li disegna in funzione della frequenza: il guadagno in decibel in alto, la fase sotto. L’asse delle frequenze è logaritmico, quindi ogni decade (×10) ha la stessa larghezza.

I decibel trasformano un rapporto in un numero che puoi sommare:

|H|dB = 20·log₁₀|H|
  • Un guadagno di 1 è 0 dB, 10 è 20 dB, 100 è 40 dB e 0,1 è −20 dB.
  • Un guadagno di 1/√2 ≈ 0,707 è −3 dB. È il limite della banda passante di un filtro.
Autoverifica Un amplificatore ha un guadagno di 100. Quanto vale in decibel?
  1. 100 dB
  2. 2 dB
  3. 20 dB
  4. 40 dB

Risposta: 40 dB. 20·log₁₀(100) = 20·2 = 40 dB. 20 dB usa 10·log₁₀, che serve per i rapporti di potenza, non per le tensioni. 2 è solo log₁₀(100).

2Filtri del primo ordine

Una resistenza con un condensatore o un induttore forma il filtro più semplice. Un filtro passa-basso lascia passare le basse frequenze e attenua le alte. Un filtro passa-alto fa il contrario.

vin​RCvout​vin​CRvout​

Nel filtro RC passa-basso (a sinistra) l’uscita è ai capi del condensatore. Nel filtro RC passa-alto (a destra) è ai capi della resistenza. Con un induttore, l’uscita di un filtro passa-basso è ai capi di R, e quella di un passa-alto ai capi di L.

Il cambiamento avviene attorno alla frequenza di taglio, dove il guadagno è −3 dB. È la stessa per la versione passa-basso e passa-alto:

ωc = 1/(R·C) ωc = R/L fc = ωc/(2π)

ωc è in rad/s e fc in Hz. Metti prima R, C e L in unità di base: Ω, F e H.

0−20−40dB−20 dB/dec−3 dB0°−45°−90°−45°0,010,1110100ω/ωc​

Il diagramma mostra un filtro passa-basso. Sotto ωc il guadagno è circa 0 dB. Sopra, il guadagno cala di 20 dB per decade. La fase va da 0° a −90° ed è −45° alla frequenza di taglio.

A qualsiasi frequenza, con il rapporto x = f/fc = ω/ωc:

  • Passa-basso: |H| = 1/√(1 + x²) e φ = −atan x.
  • Passa-alto: |H| = x/√(1 + x²) e φ = 90° − atan x.
Esempio svolto

Trova la frequenza di taglio fc di un filtro RL passa-alto con R = 470 Ω e L = 47 mH.

1

Unità di base

L = 47 mH = 0,047 H
2

Frequenza di taglio in rad/s

ωc = R/L = 470/0,047 = 10 000 rad/s
3

Frequenza di taglio in Hz

fc = 10 000/(2π) = 1592 Hz
Risposta

fc ≈ 1592 Hz (ωc = 10 000 rad/s).

Autoverifica Un filtro RC passa-basso ha R = 1 kΩ e C = 1 µF. Qual è la sua frequenza di taglio fc?
  1. 1000 Hz
  2. 159 Hz
  3. 159 kHz
  4. 6283 Hz

Risposta: 159 Hz. ωc = 1/(1000·0,000001) = 1000 rad/s, quindi fc = 1000/(2π) = 159 Hz. 1000 è ωc in rad/s, non in Hz. 6283 moltiplica per 2π, e 159 kHz dimentica il k di kΩ.

3Diagrammi di Bode asintotici

Per una funzione di trasferimento G(s) puoi tracciare il modulo con segmenti di retta. Ogni fattore cambia la pendenza alla propria frequenza di taglio.

  • Un fattore polo (s + p) al denominatore piega la retta verso il basso di 20 dB/decade a partire da ω = p.
  • Un fattore zero (s + z) al numeratore la piega verso l’alto di 20 dB/decade a partire da ω = z.
  • Un fattore s al denominatore (un integratore) dà −20 dB/decade a ogni frequenza, e −90° di fase.
  • Senza integratore il diagramma parte piatto al guadagno in continua G(0), convertito in dB.
200−20−40−60dB0−20−401101001000ω

La figura mostra G(s) = 10 000/((s + 10)(s + 100)). G(0) = 10 000/1000 = 10, quindi il diagramma parte da 20 dB. Si piega a −20 dB/decade a 10 rad/s e a −40 dB/decade a 100 rad/s.

Per trovare la pendenza in una banda: parti da −20 dB/decade per ogni integratore, poi aggiungi −20 per ogni frequenza di taglio di un polo e +20 per ogni frequenza di taglio di uno zero sotto quella banda.

Autoverifica G(s) = 20(s + 50)/(s(s + 5)). Qual è la pendenza del diagramma asintotico tra 5 e 50 rad/s?
  1. 0 dB/decade
  2. −20 dB/decade
  3. −40 dB/decade
  4. −60 dB/decade

Risposta: −40 dB/decade. L’integratore dà −20 fin dall’inizio. Il polo a 5 aggiunge −20, quindi la pendenza è −40 tra 5 e 50. Lo zero a 50 la riporta a −20 sopra 50. −60 tratta lo zero come un polo.

4Valori esatti a una frequenza

Le rette sono uno schizzo. Per un valore esatto, sostituisci s = jω. Ogni fattore (jω + a) è un numero complesso con:

|jω + a| = √(ω² + a²) ∠(jω + a) = atan(ω/a)

Il modulo di G è il prodotto dei moduli del numeratore diviso per il prodotto dei moduli del denominatore. La fase è la somma degli angoli del numeratore meno la somma degli angoli del denominatore.

Esempio: G(s) = 150/((s + 3)(s + 4)) a ω = 4 rad/s. |j4 + 3| = 5 e |j4 + 4| = 5,657, quindi |G| = 150/28,28 = 5,30, cioè 14,5 dB.

La fase è −atan(4/3) − atan(4/4) = −53,1° − 45° = −98,1°.

Un circuito RLC serie con l’uscita ai capi di R è un filtro passa-banda. Lascia passare le frequenze vicine alla frequenza di risonanza ω₀ = 1/√(LC). La larghezza di banda è BW = R/L in rad/s, e il fattore di qualità Q = ω₀/BW.

  1. Scrivi G(s) o H(jω). Per un filtro RC o RL, trova prima ωc e il rapporto x = ω/ωc.
  2. Per ogni fattore, trova il suo modulo √(ω² + a²) e il suo angolo atan(ω/a).
  3. Moltiplica e dividi i moduli. Somma gli angoli degli zeri e sottrai gli angoli dei poli; un integratore aggiunge −90°.
  4. Converti il modulo in dB con 20·log₁₀.
  5. Controlla con lo schizzo asintotico: il valore esatto deve stare vicino ad esso, e 3 dB sotto in corrispondenza di una singola frequenza di taglio.

5Un esempio svolto

Questa è una tipica domanda di livello medio. Prova ogni passo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Un filtro RC passa-basso ha R = 10 kΩ e C = 100 nF. Viene applicata una sinusoide di 480 Hz. Trova il guadagno |H| in dB e lo sfasamento φ.

1

Frequenza di taglio

Usa le unità di base: R = 10 000 Ω e C = 0,0000001 F.

ωc = 1/(10 000·0,0000001) = 1000 rad/s
fc = 1000/(2π) = 159,2 Hz
2

Rapporto di frequenza

x = f/fc = 480/159,2 = 3,016

L’ingresso è sopra la frequenza di taglio, quindi aspettati una chiara perdita di guadagno.

3

Guadagno

|H| = 1/√(1 + 3,016²) = 1/3,177 = 0,315
20·log₁₀(0,315) = −10,0 dB
4

Fase

Un filtro passa-basso fa ritardare l’uscita, quindi la fase è negativa.

φ = −atan(3,016) = −71,7°
5

Controlla il risultato

0−20−40dB−20 dB/dec−10,0 dB0,010,1110100ω/ωc​

La retta asintotica dà −20·log₁₀(3,016) = −9,6 dB, vicino al valore esatto −10,0 dB.

Risposta

|H| ≈ −10,0 dB e φ ≈ −71,7°.

6Errori comuni

  • Usare 10·log₁₀ per un guadagno di tensione. I guadagni dei segnali usano 20·log₁₀.
  • Confondere ω e f. ωc = 1/(RC) è in rad/s; dividi per 2π per gli Hz.
  • Usare L/R per la frequenza di taglio di un RL. L/R è la costante di tempo; la frequenza di taglio è ωc = R/L.
  • Sommare i moduli come ω + a. Il modulo di jω + a è √(ω² + a²).
  • Dimenticare l’integratore: 1/s dà −20 dB/decade e −90° a ogni frequenza.
  • Dare il valore asintotico quando la domanda chiede il modulo esatto.
Autoverifica Qual è il guadagno in continua di G(s) = 400/((s + 2)(s + 5)) in dB?
  1. 16,0 dB
  2. 32,0 dB
  3. 40 dB
  4. 52,0 dB

Risposta: 32,0 dB. G(0) = 400/(2·5) = 40, e 20·log₁₀(40) = 32,0 dB. 16,0 dB usa 10·log₁₀. 40 è il rapporto, non i dB. 52,0 dB dimentica di porre s = 0 nel denominatore.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: filtri e asintoti. La frequenza di taglio di un filtro RC o RL in Hz o rad/s, la pendenza di un diagramma asintotico in una banda, o il guadagno in continua in dB.
  • Medio: modulo e fase. Il guadagno in dB o la fase di un filtro a una data frequenza, il |G(jω)| o ∠G(jω) esatto di una funzione di trasferimento, oppure f₀, BW o Q di un filtro RLC passa-banda.
  • Difficile: margini di stabilità di un anello L(s), come 85/(s(s + 5)) o K/(s(s + a)(s + b)).

Per il livello difficile servono due frequenze. All’attraversamento del guadagno ωc, |L(jω)| = 1 (0 dB). All’attraversamento della fase ω180, ∠L(jω) = −180°.

PM = 180° + ∠L(jωc) GM = −20·log₁₀|L(jω180)|

Per L(s) = K/(s(s + a)(s + b)) l’attraversamento della fase è a ω180 = √(a·b). Un anello è stabile quando entrambi i margini sono positivi.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
|H| (dB)0,11101001000−100−80−60−40−200ω (rad/s)

Trova il guadagno a bassa frequenza (in continua) di G(s) = 12/((s + 1)(s + 40)) in decibel, |G(0)| in dB.

G(s) = 12/((s + 1)(s + 40))

Calcola |G(0)| (dB)

Mostra i suggerimenti
  1. A frequenza molto bassa s → 0.
  2. G(0) = 0,3.
  3. 20·log₁₀(0,3).
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Risposta in frequenza: sostituisci s = jω nella funzione di trasferimento. Il modulo in decibel è 20·log₁₀|H(jω)| e la fase è la somma degli angoli dei fattori al numeratore meno quelli dei fattori al denominatore. Un filtro RC o RL del primo ordine ha la frequenza di taglio (−3 dB) a ωc = 1/(RC) oppure R/L, e fc = ωc/(2π); un filtro passa-basso dà |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) e φ = −atan(ω/ωc). Nel diagramma di Bode asintotico (a segmenti) ogni polo piega il modulo verso il basso di 20 dB/decade alla sua frequenza di taglio, ogni zero lo piega verso l’alto di 20 dB/decade, e un integratore 1/s dà −20 dB/decade a tutte le frequenze. Pulsazione di attraversamento del guadagno ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margine di fase PM = 180° + ∠L(jωc). Pulsazione di attraversamento della fase ω180: ∠L(jω) = −180°; margine di guadagno GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. L’anello chiuso è stabile quando entrambi i margini sono positivi.

Guadagno in continua

G(0) = 0,3

In decibel

20·log₁₀(0,3) = −10,46 dB

Risposta

|G(0)| = −10,46 dB
Esempio 2Media
vin​R = 1 kΩC = 1 nFvout​

Il filtro passa-basso RC mostrato ha R = 1 kΩ, C = 1 nF. Viene applicato un ingresso sinusoidale di 1600 kHz. Trova lo sfasamento φ di vout rispetto a vin, in gradi.

R = 1 kΩC = 1 nFf = 1600 kHz

Calcola φ (°)

Mostra i suggerimenti
  1. Trova prima la frequenza di taglio: fc = 159155 Hz.
  2. H(jω) = 1/(1 + jω/ωc)
  3. f/fc = 10,05.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Risposta in frequenza: sostituisci s = jω nella funzione di trasferimento. Il modulo in decibel è 20·log₁₀|H(jω)| e la fase è la somma degli angoli dei fattori al numeratore meno quelli dei fattori al denominatore. Un filtro RC o RL del primo ordine ha la frequenza di taglio (−3 dB) a ωc = 1/(RC) oppure R/L, e fc = ωc/(2π); un filtro passa-basso dà |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) e φ = −atan(ω/ωc). Nel diagramma di Bode asintotico (a segmenti) ogni polo piega il modulo verso il basso di 20 dB/decade alla sua frequenza di taglio, ogni zero lo piega verso l’alto di 20 dB/decade, e un integratore 1/s dà −20 dB/decade a tutte le frequenze. Pulsazione di attraversamento del guadagno ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margine di fase PM = 180° + ∠L(jωc). Pulsazione di attraversamento della fase ω180: ∠L(jω) = −180°; margine di guadagno GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. L’anello chiuso è stabile quando entrambi i margini sono positivi.

Frequenza di taglio

ωc = 1/(RC) = 1/(1000·1 × 10⁻⁹) = 1000000 rad/s
fc = 159155 Hz → f/fc = 1,6 × 10⁶/159155 = 10,05

Fase

φ = − atan(10,05) = −84,32°

Risposta

φ = −84,32°
Esempio 3Difficile
|H| (dB)0,10,111101010010010001000−60−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

Un anello a retroazione unitaria ha la funzione di trasferimento ad anello aperto L(s) = 185/(s(s + 5)). Trova il margine di fase PM in gradi.

L(s) = 185/(s(s + 5))

Calcola PM (°)

Mostra i suggerimenti
  1. |L(jω)| = 185/(ω·√(ω² + 25)) = 1 dà ω⁴ + 25ω² − 34225 = 0.
  2. Risolvi l’equazione di secondo grado in x = ω²: x = (−a² + √(a⁴ + 4K²))/2.
  3. ωc = 13,15 rad/s; ∠L = −90° − atan(ωc/5).
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Risposta in frequenza: sostituisci s = jω nella funzione di trasferimento. Il modulo in decibel è 20·log₁₀|H(jω)| e la fase è la somma degli angoli dei fattori al numeratore meno quelli dei fattori al denominatore. Un filtro RC o RL del primo ordine ha la frequenza di taglio (−3 dB) a ωc = 1/(RC) oppure R/L, e fc = ωc/(2π); un filtro passa-basso dà |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) e φ = −atan(ω/ωc). Nel diagramma di Bode asintotico (a segmenti) ogni polo piega il modulo verso il basso di 20 dB/decade alla sua frequenza di taglio, ogni zero lo piega verso l’alto di 20 dB/decade, e un integratore 1/s dà −20 dB/decade a tutte le frequenze. Pulsazione di attraversamento del guadagno ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margine di fase PM = 180° + ∠L(jωc). Pulsazione di attraversamento della fase ω180: ∠L(jω) = −180°; margine di guadagno GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. L’anello chiuso è stabile quando entrambi i margini sono positivi.

Attraversamento del guadagno

ω⁴ + 25ω² − 34225 = 0
ω² = (−25 + √(625 + 4·34225))/2 = 172,9
ωc = 13,15 rad/s

Margine di fase

∠L(jωc) = −90° − atan(13,15/5) = −159,2°
PM = 180° + ∠L = 20,82°

Risposta

PM = 20,82°

Domande e risposte

Diagrammi di Bode e margini: di cosa si tratta?

Se invii un’onda sinusoidale in un filtro o in un amplificatore, ne esce una sinusoide con la stessa frequenza. Cambiano solo due cose: l’ampiezza e la temporizzazione.

Il guadagno |H| è il rapporto tra l’ampiezza di uscita e quella di ingresso. La fase φ indica di quanto è sfasata l’uscita, in gradi. Una fase negativa significa che l’uscita è in ritardo.

Diagrammi di Bode e margini: come si risolvono gli esercizi passo per passo?

Risposta in frequenza: sostituisci s = jω nella funzione di trasferimento. Il modulo in decibel è 20·log₁₀|H(jω)| e la fase è la somma degli angoli dei fattori al numeratore meno quelli dei fattori al denominatore. Un filtro RC o RL del primo ordine ha la frequenza di taglio (−3 dB) a ωc = 1/(RC) oppure R/L, e fc = ωc/(2π); un filtro passa-basso dà |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) e φ = −atan(ω/ωc). Nel diagramma di Bode asintotico (a segmenti) ogni polo piega il modulo verso il basso di 20 dB/decade alla sua frequenza di taglio, ogni zero lo piega verso l’alto di 20 dB/decade, e un integratore 1/s dà −20 dB/decade a tutte le frequenze. Pulsazione di attraversamento del guadagno ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margine di fase PM = 180° + ∠L(jωc). Pulsazione di attraversamento della fase ω180: ∠L(jω) = −180°; margine di guadagno GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. L’anello chiuso è stabile quando entrambi i margini sono positivi.

Diagrammi di Bode e margini: quali sono gli errori più comuni?
  • Questo è il guadagno come rapporto. Converti: 20·log₁₀(0,3).
  • Per un rapporto di tensioni o di segnali usa 20·log₁₀, non 10·log₁₀ (che vale per le potenze).
  • Poni s = 0 in ogni fattore: G(0) = 0,3, non 12.
Diagrammi di Bode e margini: che cosa si esercita?
  • Facile: filtri e asintoti
  • Media: modulo e fase
  • Difficile: margini di stabilità

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Argomenti prima e dopo questo

Da studiare prima

Impedenza AC e fasoriTrasformate di Laplace

Calcolatrici

Calcolatore dei decibel (dB, dBm e livelli sonori)Calcolatore del diagramma di Bode (margine di guadagno e di fase)

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