Controlli automatici 2: progetto del controllo in retroazione: esercizi e domande d’esame

Risposta al gradino: un sistema del primo ordine G(s) = K/(τs + 1) risponde a un gradino di ampiezza U con y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): raggiunge il 63,2 % del valore finale K·U dopo una costante di tempo τ e il 98 % dopo 4τ. Un sistema del secondo ordine G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) ha i poli s = −ζωₙ ± jω_d con ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Per 0 < ζ < 1 la risposta al gradino ha sovraelongazione: sovraelongazione percentuale %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, tempo di picco t_p = π/ω_d, e tempo di assestamento al 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). Confronta il denominatore con s² + 2ζωₙs + ωₙ² per ricavare ωₙ e ζ. Per un sistema massa-molla-smorzatore ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)); per un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) e ζ = (R/2)·√(C/L).

Risposta in frequenza: sostituisci s = jω nella funzione di trasferimento. Il modulo in decibel è 20·log₁₀|H(jω)| e la fase è la somma degli angoli dei fattori al numeratore meno quelli dei fattori al denominatore. Un filtro RC o RL del primo ordine ha la frequenza di taglio (−3 dB) a ω_c = 1/(RC) oppure R/L, e f_c = ω_c/(2π); un filtro passa-basso dà |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) e φ = −atan(ω/ω_c). Nel diagramma di Bode asintotico (a segmenti) ogni polo piega il modulo verso il basso di 20 dB/decade alla sua frequenza di taglio, ogni zero lo piega verso l’alto di 20 dB/decade, e un integratore 1/s dà −20 dB/decade a tutte le frequenze. Pulsazione di attraversamento del guadagno ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); margine di fase PM = 180° + ∠L(jω_c). Pulsazione di attraversamento della fase ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; margine di guadagno GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. L’anello chiuso è stabile quando entrambi i margini sono positivi.