Calcolatore del criterio di stabilità di Routh–Hurwitz
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Risultato
| colonna 1 | colonna 2 | colonna 3 | |
|---|---|---|---|
| s⁴ | 1 | 3 | 5 |
| s³ | 2 | 4 | 0 |
| s² | 1 | 5 | 0 |
| s¹ | −6 | 0 | 0 |
| s⁰ | 5 | 0 | 0 |
Verifica la stabilità di un sistema lineare dal suo polinomio caratteristico. Il calcolatore costruisce la tabella di Routh con frazioni esatte, gestisce uno zero nella prima colonna (metodo dell’ε) e una riga di zeri (polinomio ausiliario), conta i cambi di segno e fornisce il numero di radici nel semipiano destro, sull’asse immaginario e nel semipiano sinistro.
Soluzione passo passo
Polinomio caratteristico
Prime due righe
Righe successive
Conta i cambi di segno nella prima colonna
Formule chiave
- Stabilità
- tutte le radici del polinomio caratteristico nel semipiano sinistro
- tabella di Routh, elemento s¹ di un cubico
- b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
- Radici nel semipiano destro
- numero di cambi di segno nella prima colonna
- Cubico s³ + a₂s² + a₁s + a₀
- stabile quando tutti gli a > 0 e a₂·a₁ > a₀
- Equazione caratteristica
- 1 + K·G(s) = 0
Come usare il criterio di Routh–Hurwitz
- Scrivi il polinomio caratteristico con tutte le potenze di s dalla più alta in giù. Se manca un coefficiente o i segni sono discordi, il sistema non può essere stabile.
- Riempi la prima riga con i coefficienti 1º, 3º, 5º, … e la seconda riga con il 2º, 4º, 6º, ….
- Ogni elemento successivo è (b₁·a_(j+1) − a₁·b_(j+1))/b₁, usando le due righe sopra di esso.
- Se un primo elemento è zero ma la riga non lo è, sostituiscilo con un piccolo ε > 0. Se un’intera riga è nulla, sostituiscila con la derivata del polinomio ausiliario formato dalla riga sopra.
- Il numero di cambi di segno nella prima colonna è uguale al numero di radici nel semipiano destro.
Domande e risposte
Cosa significa una riga di zeri?
Il polinomio ha radici simmetriche rispetto all’origine: coppie ±a, ±jω, oppure quaterne. Il polinomio ausiliario della riga sopra contiene esattamente quelle radici, e le sue radici sull’asse immaginario rendono il sistema al massimo marginalmente stabile.
Il metodo dell’ε è sempre affidabile?
Non quando ci sono radici sull’asse immaginario. Il calcolatore perciò separa anche il fattore comune di P(s) e P(−s), che contiene tutte le radici simmetriche, e conta esattamente le sue radici sull’asse immaginario. Se questo cambia il conteggio, i passaggi lo segnalano.
Come trovo l’intervallo di K per la stabilità?
Inserisci il guadagno K nei coefficienti, costruisci la tabella in forma simbolica e richiedi che ogni elemento della prima colonna sia positivo. Questo calcolatore lavora con i numeri, quindi puoi usarlo per verificare un valore di K da una parte e dall’altra del limite che hai trovato.
Una tabella di Routh stabile significa un buon progetto?
Dice solo che tutti i poli sono nel semipiano sinistro. Quanto sia veloce e ben smorzata la risposta dipende da dove si trovano i poli; per questo usa il luogo delle radici o un diagramma di Bode.
Esercitati da solo
Esercitati su Stabilità: Routh–Hurwitz e luogo delle radici
Una calcolatrice ti dà la risposta. All’esame ti serve il metodo: esercitati con nuovi esercizi, suggerimenti e soluzioni svolte.