Schemi a blocchi: esercizi con soluzioni passo passo
Esercizi gratuiti su Schemi a blocchi con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: serie, parallelo e retroazione, funzioni di trasferimento ad anello chiuso ed errori, disturbi, stabilità e poli.
Esercizio gratuitoFacile
Il segnale R si divide in due blocchi in parallelo G₂ = 11 e G₃ = 8. Le loro uscite si incontrano in un nodo sommatore con i segni indicati (+ and +), e la somma passa attraverso G₁ = 9. Trova il guadagno complessivo T = C/R.
Un sistema di controllo è una catena di parti: un regolatore, un motore, un sensore. Uno schema a blocchi disegna ogni parte come un riquadro e ogni segnale come una freccia.
Un blocco moltiplica il suo segnale di ingresso per il suo guadagno o la sua funzione di trasferimento G. Se in un blocco G = 5 entra 3, esce 15.
Un nodo sommatore (un cerchio) somma o sottrae segnali. Il segno accanto a ogni freccia in ingresso ti dice quale. Un punto è un punto di diramazione: il segnale viene copiato, non diviso.
Questa è l’immagine più importante del controllo. L’uscita C è misurata attraverso H e sottratta dal riferimento R. La differenza E = R − H·C è l’errore che pilota G.
Questa è la retroazione negativa: quando l’uscita è troppo alta, l’errore si riduce e la riporta verso il basso.
Autoverifica In un nodo sommatore R entra con + e il segnale di retroazione B entra con −. R = 10 e B = 4. Che cosa esce dal nodo?
14
40
6
−6
Risposta: 6. I segni al nodo dicono E = R − B = 10 − 4 = 6. 14 ignora il segno meno, e −6 sottrae al contrario.
2Tre regole per semplificare qualsiasi schema
Riduci uno schema passo dopo passo finché resta un solo blocco. Il suo guadagno T = C/R è la funzione di trasferimento ad anello chiuso.
Serie: i blocchi uno dopo l’altro si moltiplicano, G₁·G₂.
Parallelo: i blocchi che alimentano lo stesso nodo sommatore si sommano, con i segni del nodo: G₁ + G₂ oppure G₁ − G₂.
Anello di retroazione: un blocco diretto G con retroazione negativa H diventa G/(1 + G·H).
La regola della retroazione segue da due equazioni. Al nodo E = R − H·C, e il blocco dà C = G·E. Quindi C = G·R − G·H·C, e perciò:
T = C/R = G/(1 + G·H)
Con la retroazione positiva il segnale viene sommato al nodo, e il segno nel denominatore si inverte: T = G/(1 − G·H).
Il prodotto G·H è il guadagno d’anello. Quando è grande, T si avvicina a 1/H: è il sensore, non l’impianto, a fissare il guadagno.
Autoverifica G₁ = 2 e G₂ = 5 sono in serie, con retroazione negativa H = 0,3. Quanto vale T = C/R?
0,75
10
2,5
−5
Risposta: 2,5. G = 2·5 = 10 e G·H = 3, quindi T = 10/(1 + 3) = 2,5. Il valore 10 ignora l’anello, −5 usa 1 − G·H, e 0,75 mette H al numeratore.
3Anelli con funzioni di trasferimento
I blocchi reali dipendono da s, per esempio un motore G(s) = b/(s + a). Valgono le stesse regole. Poi si eliminano le frazioni dentro le frazioni.
Con retroazione unitaria (H = 1), moltiplica numeratore e denominatore di G/(1 + G) per (s + a):
T(s) = b/(s + a + b)
Il polo ad anello chiuso è la radice del denominatore: p = −(a + b). Sta più a sinistra del polo ad anello aperto −a, quindi l’anello è più veloce.
La costante di tempo è τ = 1/(a + b).
Il guadagno in continua è T(0) = b/(a + b). Un gradino di ampiezza A si assesta a css = A·T(0).
Con un guadagno del sensore H il denominatore diventa s + a + b·H.
L’errore a regime ess è ciò che resta di R − C dopo l’assestamento. Con retroazione unitaria, si usano le costanti di errore:
Per un gradino di ampiezza A: ess = A/(1 + Kp), con la costante di posizione Kp = G(0).
Per una rampa r(t) = A·t: ess = A/Kv, con la costante di velocità Kv = lims→0 s·G(s).
Per G(s) = 8/(s(s + 4)) il fattore s si semplifica: Kv = 8/4 = 2. Una rampa r(t) = 1·t lascia allora ess = 1/2 = 0,5.
Per un anello del secondo ordine come G(s) = K/(s(s + 6)), l’anello chiuso ha s² + 6s + K = 0. Due poli reali uguali (smorzamento critico) richiedono 6² = 4K, quindi K = 9.
Esempio svolto
G(s) = 6/(s + 2) è inserita in un anello a retroazione negativa unitaria. Trova il polo ad anello chiuso, la costante di tempo e l’uscita a regime per un gradino di ampiezza 4.
1
Chiudi l’anello
T(s) = G/(1 + G) = 6/(s + 2 + 6) = 6/(s + 8)
2
Polo e costante di tempo
Il polo è la radice di s + 8 = 0.
p = −8, τ = 1/8 = 0,125 s
3
Uscita a regime
Poni s = 0 per il guadagno in continua, poi moltiplica per l’ampiezza del gradino.
T(0) = 6/8 = 0,75, css = 4·0,75 = 3
L’errore è 4 − 3 = 1. La costante Kp = G(0) = 3 dà lo stesso: 4/(1 + 3) = 1.
Risposta
p = −8, τ = 0,125 s e css = 3.
Autoverifica G(s) = 6/(s + 2) è in un anello a retroazione negativa unitaria. Quale numero è il polo ad anello chiuso?
8
−0,125
−2
−8
Risposta: −8. T(s) = 6/(s + 8), quindi il polo è −8. −2 è il polo ad anello aperto prima della retroazione. Un polo è un valore di s, quindi qui è negativo, e −0,125 lo confonde con τ = 1/8.
4Il metodo passo dopo passo
Trova l’anello più interno. Riducilo per primo con G/(1 + G·H), oppure G/(1 − G·H) per la retroazione positiva.
Combina i blocchi in serie (moltiplica) e in parallelo (somma con i segni del nodo).
Ripeti finché resta un solo blocco. Quel blocco è T(s) = C/R.
Elimina le frazioni: moltiplica numeratore e denominatore per i denominatori di G(s).
Leggi che cosa è richiesto: i poli dal denominatore, T(0) per il regime, τ = 1/(modulo del polo) per un anello del primo ordine.
Controllo rapido: per s = 0 puoi ridurre lo schema con numeri semplici. Questo dà direttamente T(0) e individua la maggior parte degli errori algebrici.
5Un esempio svolto
Questa è una tipica domanda di livello medio con un anello interno. Prova ogni passo prima di aprirlo.
Esempio svolto
L’impianto G(s) = 3/(s + 1) ha un anello interno a retroazione negativa con H₁ = 1. Un regolatore K = 4 e un anello esterno a retroazione negativa unitaria chiudono il sistema. Trova il polo ad anello chiuso p e il guadagno in continua T(0).
1
Guarda lo schema
Ci sono due anelli. L’anello interno gira attorno al solo impianto. L’anello esterno gira attorno a tutto, da C di nuovo a R.
2
Riduci l’anello interno
Usa G/(1 + G·H₁) e moltiplica numeratore e denominatore per (s + 1):
Gᵢ = 3/(s + 1 + 3·1) = 3/(s + 4)
3
Serie con il regolatore
K e Gᵢ sono ora in serie, quindi moltiplica:
K·Gᵢ = 4·3/(s + 4) = 12/(s + 4)
4
Chiudi l’anello esterno
Retroazione unitaria attorno a 12/(s + 4):
T(s) = 12/(s + 4 + 12) = 12/(s + 16)
Il polo è p = −16, e T(0) = 12/16 = 0,75.
5
Controlla il risultato
Rifallo a s = 0 solo con i numeri. G(0) = 3, l’anello interno dà 3/(1 + 3) = 0,75, e K lo porta a 3.
Usare 1 − G·H per la retroazione negativa. La retroazione negativa dà 1 + G·H, la retroazione positiva dà 1 − G·H.
Mettere H al numeratore. T = G/(1 + G·H): H compare solo nel guadagno d’anello.
Chiudere l’anello esterno prima di quello interno. Lavora sempre dall’interno verso l’esterno.
Dimenticare il guadagno del sensore H nel polo: il denominatore è s + a + b·H, non s + a + b.
Dare il polo ad anello aperto −a o il guadagno ad anello aperto G(0). La retroazione cambia entrambi.
Usare A/Kp per l’errore a un gradino. La formula corretta è A/(1 + Kp).
Autoverifica Un amplificatore G = 10 ha retroazione positiva H = 0,05: il segnale di retroazione viene sommato al nodo. Quanto vale T = C/R?
0,5
10
20
6,67
Risposta: 20. La retroazione positiva dà T = G/(1 − G·H) = 10/(1 − 0,5) = 20. Il valore 6,67 usa la formula della retroazione negativa 10/1,5. 10 ignora l’anello, e 0,5 è solo il guadagno d’anello G·H.
7Come sono fatte le domande d’esame
Facile: serie, parallelo e retroazione. Riduci i guadagni in un anello, blocchi in parallelo con i segni, oppure la retroazione positiva. Oppure chiudi un anello unitario attorno a b/(s + a) e dai il polo, τ, T(0) o css.
Medio: funzioni di trasferimento ad anello chiuso ed errori. Un anello interno come nell’esempio, un guadagno del sensore H, il guadagno K per lo smorzamento critico, oppure l’errore a regime per un gradino o una rampa.
Difficile: disturbi, stabilità e poli. Un disturbo D aggiunto all’ingresso dell’impianto, oppure il massimo guadagno Kmax per la stabilità con il criterio di Routh–Hurwitz.
Per un disturbo, usa la sovrapposizione: trova C da R con D = 0, poi C da D con R = 0, e somma i due.
Il segnale R si divide in due blocchi in parallelo G₂ = 7 e G₃ = 12. Le loro uscite si incontrano in un nodo sommatore con i segni indicati (+ and −), e la somma passa attraverso G₁ = 10. Trova il guadagno complessivo T = C/R.
G₁ = 10G₂ = 7G₃ = 12segni: + G₂, − G₃
Calcola T
Mostra i suggerimenti
I blocchi in parallelo che entrano in un nodo sommatore si sommano con i segni del nodo.
La combinazione è in serie con G₁, quindi moltiplica.
G₂ − G₃ = -5.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Algebra degli schemi a blocchi: i blocchi in serie si moltiplicano (G₁·G₂), i blocchi in parallelo si sommano (G₁ + G₂), e un anello con cammino diretto G e cammino di retroazione H si riduce a T = G/(1 + G·H) per la retroazione negativa e a G/(1 − G·H) per la retroazione positiva. Riduci prima gli anelli interni, poi procedi verso l’esterno. I poli ad anello chiuso sono le radici dell’equazione caratteristica 1 + G(s)H(s) = 0. Per un anello stabile, un ingresso a gradino di ampiezza A dà l’uscita a regime A·T(0); con retroazione unitaria l’errore a regime a un gradino è A/(1 + Kp) con Kp = G(0).
Blocchi in parallelo
G₂ − G₃ = 7 − 12 = −5
In serie con G₁
T = G₁·(G₂ − G₃) = 10·(−5) = −50
Risposta
T = −50
Esempio 2Media
Un anello di retroazione negativa unitaria ha G(s) = 1(s + 3)/((s + 2)(s + 4)). Al riferimento viene applicato un gradino di ampiezza 2. Trova l’errore a regime ess.
G(s) = 1(s + 3)/((s + 2)(s + 4))R = 2
Calcola ess
Mostra i suggerimenti
Costante di errore di posizione Kₚ = G(0).
Errore a regime per un gradino di ampiezza A: A/(1 + Kₚ).
Kₚ = 1·3/(2·4) = 0,375.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Algebra degli schemi a blocchi: i blocchi in serie si moltiplicano (G₁·G₂), i blocchi in parallelo si sommano (G₁ + G₂), e un anello con cammino diretto G e cammino di retroazione H si riduce a T = G/(1 + G·H) per la retroazione negativa e a G/(1 − G·H) per la retroazione positiva. Riduci prima gli anelli interni, poi procedi verso l’esterno. I poli ad anello chiuso sono le radici dell’equazione caratteristica 1 + G(s)H(s) = 0. Per un anello stabile, un ingresso a gradino di ampiezza A dà l’uscita a regime A·T(0); con retroazione unitaria l’errore a regime a un gradino è A/(1 + Kp) con Kp = G(0).
Costante di errore di posizione
Kₚ = G(0) = 1·3/(2·4) = 0,375
Errore a regime
ess = A/(1 + Kₚ) = 2/(1 + 0,375) = 1,455
Risposta
ess = 1,455
Esempio 3Difficile
Riduci lo schema a blocchi con G₁ = 5/(s + 2), G₂ = 10/(s + 4), una retroazione negativa interna H₁ = 4 attorno a G₂ e una retroazione negativa esterna H₂ = 1. Trova il guadagno in continua T(0) di C(s)/R(s).
G₁ = 5/(s + 2)G₂ = 10/(s + 4)H₁ = 4H₂ = 1
Calcola T(0)
Mostra i suggerimenti
Anello interno: G₂/(1 + G₂·H₁). Poi T = G₁·Gᵢ/(1 + G₁·Gᵢ·H₂).
In totale T = G₁G₂/(1 + G₂H₁ + G₁G₂H₂). Per il guadagno in continua poni s = 0 in ogni blocco.
G₁(0) = 2,5, G₂(0) = 2,5.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Algebra degli schemi a blocchi: i blocchi in serie si moltiplicano (G₁·G₂), i blocchi in parallelo si sommano (G₁ + G₂), e un anello con cammino diretto G e cammino di retroazione H si riduce a T = G/(1 + G·H) per la retroazione negativa e a G/(1 − G·H) per la retroazione positiva. Riduci prima gli anelli interni, poi procedi verso l’esterno. I poli ad anello chiuso sono le radici dell’equazione caratteristica 1 + G(s)H(s) = 0. Per un anello stabile, un ingresso a gradino di ampiezza A dà l’uscita a regime A·T(0); con retroazione unitaria l’errore a regime a un gradino è A/(1 + Kp) con Kp = G(0).
Un sistema di controllo è una catena di parti: un regolatore, un motore, un sensore. Uno schema a blocchi disegna ogni parte come un riquadro e ogni segnale come una freccia.
Un blocco moltiplica il suo segnale di ingresso per il suo guadagno o la sua funzione di trasferimento G. Se in un blocco G = 5 entra 3, esce 15.
Schemi a blocchi: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
Algebra degli schemi a blocchi: i blocchi in serie si moltiplicano (G₁·G₂), i blocchi in parallelo si sommano (G₁ + G₂), e un anello con cammino diretto G e cammino di retroazione H si riduce a T = G/(1 + G·H) per la retroazione negativa e a G/(1 − G·H) per la retroazione positiva. Riduci prima gli anelli interni, poi procedi verso l’esterno. I poli ad anello chiuso sono le radici dell’equazione caratteristica 1 + G(s)H(s) = 0. Per un anello stabile, un ingresso a gradino di ampiezza A dà l’uscita a regime A·T(0); con retroazione unitaria l’errore a regime a un gradino è A/(1 + Kp) con Kp = G(0).
Schemi a blocchi: quali sono gli errori più comuni?
Controlla il segno nel nodo sommatore: il cammino di G₃ entra con −.
Si sommano solo i blocchi in parallelo; G₁ è in serie con essi e moltiplica.
I blocchi in parallelo si sommano (con i loro segni); non si moltiplicano.
Schemi a blocchi: che cosa si esercita?
Facile: serie, parallelo e retroazione
Media: funzioni di trasferimento ad anello chiuso ed errori
Difficile: disturbi, stabilità e poli
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta. Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
Come funziona l’esercitazione
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta.
Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
I tuoi progressi, i tuoi errori e gli esercizi salvati restano memorizzati, così puoi ripassare prima dell’esame.