Analisi alle maglie: esercizi con soluzioni passo passo
Detto anche: metodo delle maglie · correnti di maglia · legge di Kirchhoff delle tensioni
Esercizi gratuiti su Analisi alle maglie con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: 2 maglie, 1 generatore, 2 maglie, 2 generatori, 3 maglie.
Esercizio gratuitoFacile
Usa l’analisi alle maglie per trovare la corrente IR1 in R1 nel verso della freccia.
L’analisi delle maglie è un metodo standard per trovare le correnti in un circuito. È la compagna dell’analisi nodale: l’analisi nodale usa le tensioni come incognite, l’analisi delle maglie usa le correnti.
Osserva il disegno di un circuito piano. Le “finestre” vuote racchiuse da fili e componenti si chiamano maglie.
Immagina una corrente che gira attorno a ogni finestra. Queste sono le correnti di maglia. Ogni corrente reale di ramo è costruita a partire da esse.
Pensa a una fila di ruote dentate affiancate. Ogni ruota gira per conto suo, e dove due ruote si toccano quello che vedi è la differenza tra i loro moti.
Autoverifica Il disegno di un circuito piano ha tre finestre. Di quante correnti di maglia hai bisogno?
1
2
3
6
Risposta: 3. Una corrente di maglia per finestra, quindi tre. Poi scrivi un’equazione per maglia, tre equazioni in tutto.
2Legge di Kirchhoff delle tensioni
Percorri una volta qualsiasi anello chiuso e torna al punto di partenza. Finisci alla stessa tensione da cui sei partito.
Quindi la tensione che guadagni nei generatori è uguale alla tensione che perdi nei resistori. Questa è la legge di Kirchhoff delle tensioni (KVL).
Σ aumenti di tensione = Σ cadute di tensione
Un generatore è un aumento quando lo attraversi da − a +. Un resistore è una caduta di I·R quando lo attraversi nel verso della sua corrente.
In questo anello il generatore fornisce 12 V. Un resistore ne assorbe 8 V, quindi l’altro deve assorbire i restanti 4 V.
Autoverifica Un generatore da 10 V alimenta un anello con due resistori. Ai capi del primo ci sono 7 V. Qual è la tensione ai capi del secondo?
10 V
17 V
3 V
7 V
Risposta: 3 V. Le cadute devono sommarsi all’aumento di 10 V: 10 − 7 = 3 V. Sommare le tensioni (17 V) viola la KVL.
3Correnti di maglia in un resistore condiviso
Disegna ogni corrente di maglia in senso orario, con lo stesso schema di nomi: I1, I2, …
Un resistore sul lato esterno del circuito appartiene a una sola maglia. Porta quella corrente di maglia.
Un resistore tra due finestre è condiviso. Entrambe le correnti di maglia lo attraversano, in versi opposti. La sua corrente reale è la differenza.
IR3 (verso il basso) = I1 − I2
Nella maglia 1, I1 scorre verso il basso attraverso R3, quindi scrivi I1 − I2. Nella maglia 2, I2 scorre verso l’alto attraverso R3, quindi scrivi I2 − I1.
Autoverifica Nel circuito qui sopra, I1 = 3 A e I2 = 1 A. Quale corrente scorre verso il basso attraverso R3?
1 A
2 A
3 A
4 A
Risposta: 2 A. Il resistore condiviso porta la differenza: 3 − 1 = 2 A verso il basso. Sommare le correnti di maglia (4 A) è la distrazione più comune.
4Il metodo passo dopo passo
Conta le finestre. Disegna in ciascuna una corrente di maglia in senso orario: I1, I2, …
Percorri la maglia 1 in senso orario. Somma le cadute: per ogni resistore, R per la corrente che lo attraversa (la sua corrente di maglia, o la differenza in un resistore condiviso).
Poni le cadute uguali agli aumenti dei generatori in quella maglia. Un generatore conta come + quando lo attraversi da − a +, e come − nel verso opposto.
Ripeti per ogni maglia. Ottieni un’equazione per maglia.
Risolvi le equazioni per le correnti di maglia.
Trova la corrente o la tensione di ramo che ti serve. Una corrente di maglia negativa scorre in senso antiorario.
Percorri sempre nello stesso verso della corrente di maglia. Così ogni termine dei resistori comincia con il segno più.
5Un esempio svolto
Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.
Esempio svolto
Trova le correnti di maglia e la corrente IR3 in R3, nel verso della freccia.
1
Assegna le correnti di maglia
Ci sono due finestre, quindi ci sono due correnti di maglia in senso orario, I1 e I2. R3 è condiviso tra di esse.
2
KVL lungo la maglia 1
In senso orario, attraversi V1 da − a +: un aumento di 10 V. R1 porta I1, e R3 porta I1 − I2.
2·I1 + 6·(I1 − I2) = 10
8·I1 − 6·I2 = 10
3
KVL lungo la maglia 2
La maglia 2 non ha generatori, quindi le sue cadute si sommano a 0. R2 e R4 portano I2, e R3 porta I2 − I1.
4·I2 + 2·I2 + 6·(I2 − I1) = 0
−6·I1 + 12·I2 = 0 ⇒ I1 = 2·I2
4
Risolvi le equazioni
Inserisci I1 = 2·I2 nella prima equazione.
8·2·I2 − 6·I2 = 10 ⇒ 10·I2 = 10
I2 = 1 A, I1 = 2 A
5
Corrente in R₃
La freccia punta verso il basso, nello stesso verso di I1 in R3.
IR3 = I1 − I2 = 2 − 1 = 1 A
6
Controlla il risultato
Maglia 1: R1 assorbe 2·2 = 4 V e R3 assorbe 6·1 = 6 V. Insieme 10 V, uguali a V1.
Maglia 2: R2 e R4 portano 1 A e assorbono 4 + 2 = 6 V. Questo è uguale ai 6 V ai capi di R3, come deve essere, perché si trovano tra gli stessi due nodi.
Risposta
I1 = 2 A, I2 = 1 A e IR3 = 1 A verso il basso.
6Errori comuni
Usare l’intera corrente di maglia in un resistore condiviso. Un resistore condiviso porta la differenza di due correnti di maglia.
Sbagliare il segno di un generatore. Attraversare un generatore da + a − nel verso di percorrenza conta come un aumento negativo.
Percorrere alcune maglie in senso antiorario. Mantieni ogni corrente di maglia e ogni percorso in senso orario.
Dimenticare che un risultato negativo è ammesso. Significa solo che la corrente scorre in senso antiorario.
Autoverifica Percorrendo la maglia 2 in senso orario, attraversi un generatore da 6 V dal lato + al lato −. La maglia 2 contiene R2 = 2 Ω e il resistore condiviso R3 = 4 Ω. Quale equazione è giusta?
2·I2 + 4·(I1 − I2) = −6
2·I2 + 4·(I2 − I1) = 6
2·I2 + 4·(I2 − I1) = −6
2·I2 + 4·I2 = −6
Risposta: 2·I2 + 4·(I2 − I1) = −6. Attraversare un generatore da + a − è una caduta, quindi conta come −6 V dal lato degli aumenti. Nella maglia 2 il resistore condiviso porta I2 − I1, non I2 da sola e non I1 − I2.
7Come sono fatte le domande d’esame
Facile: due maglie e un generatore di tensione, come nell’esempio svolto. La maglia 2 non ha generatori, quindi la sua equazione è uguale a 0.
Medio: due maglie e due generatori di tensione, uno per lato. Fai attenzione al segno del generatore di destra nella maglia 2.
Difficile: tre maglie, con due resistori condivisi. La maglia centrale condivide un resistore con ciascuna delle vicine.
La domanda chiede una corrente di maglia, la corrente in un resistore nel verso della freccia, oppure la tensione ai capi di un resistore con la polarità indicata.
Per una tensione, trova prima la corrente nel resistore e poi usa V = I·R.
Usa l’analisi alle maglie per trovare la corrente IR2 in R2 nel verso della freccia.
V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 ΩR4 = 8 Ω
Calcola IR2(A)
Mostra i suggerimenti
Ci sono 2 finestre, quindi definisci 2 correnti di maglia in senso orario (I1, I2) e scrivi un’equazione LKT per ogni maglia.
Nella maglia 1 ogni resistore porta I1, tranne un resistore condiviso, che porta I1 − I2.
Risolvendo si ottiene I1 = 0,95 A.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Analisi alle maglie: assegna a ogni finestra di un circuito planare la propria corrente d’anello, scrivi la legge di Kirchhoff delle tensioni lungo ogni anello (somma delle cadute = somma degli aumenti) e risolvi. Le correnti di ramo sono la corrente di maglia, o la differenza di due correnti di maglia su un ramo condiviso.
Assegna le correnti di maglia
Disegna una corrente in senso orario in ogni finestra: I1, I2. Un resistore condiviso da due maglie porta la differenza delle loro correnti.
LKT lungo la maglia 1
Procedendo in senso orario, le cadute di tensione sui resistori sono uguali agli aumenti di tensione dei generatori (da − a + nel verso di percorrenza).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
8·I1 + 3(I1 − I2) = 10
11·I1 − 3·I2 = 10
LKT lungo la maglia 2
Procedendo in senso orario, le cadute di tensione sui resistori sono uguali agli aumenti di tensione dei generatori (da − a + nel verso di percorrenza).
R2·I2 + R3(I2 − I1) + R4·I2 = 0
8·I2 + 3(I2 − I1) + 8·I2 = 0
−3·I1 + 19·I2 = 0
Risolvi
Δ = (11)(19) − (−3)(−3) = 200
I1 = Δ1/Δ = 190/200 = 0,95 A
I2 = Δ2/Δ = 30/200 = 0,15 A
Risposta
IR2 = I2 = 0,15 A
Una corrente di maglia negativa scorre in senso antiorario.
Esempio 2Media
Usa l’analisi alle maglie per trovare la corrente di maglia I1 (in senso orario).
V1 = 15 VV2 = 24 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 Ω
Calcola I1(A)
Mostra i suggerimenti
Ci sono 2 finestre, quindi definisci 2 correnti di maglia in senso orario (I1, I2) e scrivi un’equazione LKT per ogni maglia.
Nella maglia 1 ogni resistore porta I1, tranne un resistore condiviso, che porta I1 − I2.
Risolvendo si ottiene I1 = −0,3387 A.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Analisi alle maglie: assegna a ogni finestra di un circuito planare la propria corrente d’anello, scrivi la legge di Kirchhoff delle tensioni lungo ogni anello (somma delle cadute = somma degli aumenti) e risolvi. Le correnti di ramo sono la corrente di maglia, o la differenza di due correnti di maglia su un ramo condiviso.
Assegna le correnti di maglia
Disegna una corrente in senso orario in ogni finestra: I1, I2. Un resistore condiviso da due maglie porta la differenza delle loro correnti.
LKT lungo la maglia 1
Procedendo in senso orario, le cadute di tensione sui resistori sono uguali agli aumenti di tensione dei generatori (da − a + nel verso di percorrenza).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
10·I1 + 12(I1 − I2) = 15
22·I1 − 12·I2 = 15
LKT lungo la maglia 2
Procedendo in senso orario, le cadute di tensione sui resistori sono uguali agli aumenti di tensione dei generatori (da − a + nel verso di percorrenza).
R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
3·I2 + 12(I2 − I1) = (−24)
−12·I1 + 15·I2 = −24
Risolvi
Δ = (22)(15) − (−12)(−12) = 186
I1 = Δ1/Δ = −63/186 = −0,3387 A
I2 = Δ2/Δ = −348/186 = −1,871 A
Risposta
I1 = −0,3387 A
Una corrente di maglia negativa scorre in senso antiorario.
Esempio 3Difficile
Usa l’analisi alle maglie per trovare la corrente IR4 in R4 nel verso della freccia.
Ci sono 3 finestre, quindi definisci 3 correnti di maglia in senso orario (I1, I2, I3) e scrivi un’equazione LKT per ogni maglia.
Nella maglia 1 ogni resistore porta I1, tranne un resistore condiviso, che porta I1 − I2.
Risolvendo si ottiene I1 = 1,135 A.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Analisi alle maglie: assegna a ogni finestra di un circuito planare la propria corrente d’anello, scrivi la legge di Kirchhoff delle tensioni lungo ogni anello (somma delle cadute = somma degli aumenti) e risolvi. Le correnti di ramo sono la corrente di maglia, o la differenza di due correnti di maglia su un ramo condiviso.
Assegna le correnti di maglia
Disegna una corrente in senso orario in ogni finestra: I1, I2, I3. Un resistore condiviso da due maglie porta la differenza delle loro correnti.
LKT lungo la maglia 1
Procedendo in senso orario, le cadute di tensione sui resistori sono uguali agli aumenti di tensione dei generatori (da − a + nel verso di percorrenza).
R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
15·I1 + 30(I1 − I2) = 36
45·I1 − 30·I2 = 36
LKT lungo la maglia 2
Procedendo in senso orario, le cadute di tensione sui resistori sono uguali agli aumenti di tensione dei generatori (da − a + nel verso di percorrenza).
R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
20·I2 + 30(I2 − I1) + 8(I2 − I3) = 0
−30·I1 + 58·I2 − 8·I3 = 0
LKT lungo la maglia 3
Procedendo in senso orario, le cadute di tensione sui resistori sono uguali agli aumenti di tensione dei generatori (da − a + nel verso di percorrenza).
R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
10·I3 + 8(I3 − I2) = (−15)
−8·I2 + 18·I3 = −15
Risolvi
Δ = determinante della matrice dei coefficienti = 27900
I1 = Δ1/Δ = 31680/27900 = 1,135 A
I2 = Δ2/Δ = 14040/27900 = 0,5032 A
I3 = Δ3/Δ = −17010/27900 = −0,6097 A
Risposta
IR4 = I1 − I2 = 0,6323 A
Una corrente di maglia negativa scorre in senso antiorario.
Domande e risposte
Analisi alle maglie: di cosa si tratta?
L’analisi delle maglie è un metodo standard per trovare le correnti in un circuito. È la compagna dell’analisi nodale: l’analisi nodale usa le tensioni come incognite, l’analisi delle maglie usa le correnti.
Osserva il disegno di un circuito piano. Le “finestre” vuote racchiuse da fili e componenti si chiamano maglie.
Analisi alle maglie: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
Disegna una corrente in senso orario in ogni maglia (finestra) del circuito.
Applica la legge di Kirchhoff delle tensioni lungo ogni maglia: la somma delle cadute di tensione è zero.
In un resistore comune a due maglie la corrente è la differenza delle due correnti di maglia.
Risolvi le equazioni; un risultato negativo significa che la corrente scorre nel verso opposto.
Analisi alle maglie: quali sono gli errori più comuni?
Usare l’intera corrente di maglia in un resistore comune.
Sbagliare il segno di un generatore percorrendo la maglia.
Dimenticare che un generatore di corrente in un ramo esterno fissa quella corrente di maglia.
Analisi alle maglie: che cosa si esercita?
Facile: 2 maglie, 1 generatore
Media: 2 maglie, 2 generatori
Difficile: 3 maglie
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta. Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
Come funziona l’esercitazione
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta.
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I tuoi progressi, i tuoi errori e gli esercizi salvati restano memorizzati, così puoi ripassare prima dell’esame.