Thévenin e Norton: esercizi con soluzioni passo passo

Detto anche: teorema di Thévenin · teorema di Norton · circuito equivalente

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Esercizio gratuitoFacile
R1​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAab

Trova la corrente di Norton IN: la corrente che scorre da a a b se i morsetti sono cortocircuitati.

V1 = 18 VR1 = 6 ΩR2 = 12 Ω
A
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Su cosa ti eserciti

  1. Facilerete a partitore
  2. Mediacon resistore in serie e carico
  3. Difficilecon generatore di corrente e carico

Come risolvere gli esercizi di Thévenin e Norton

  1. Togli il carico e indica i due morsetti a e b.
  2. Trova la tensione a vuoto tra a e b: questa è Vth.
  3. Spegni tutti i generatori indipendenti e trova la resistenza vista da a–b: questa è Rth.
  4. Ricollega il carico al circuito equivalente: Vth in serie con Rth.
  5. Per l’equivalente di Norton, converti: IN = Vth/Rth, con RN = Rth in parallelo.

Errori comuni

  • Lasciare collegato il carico mentre si trova Rth.
  • Sommare in serie resistori che, visti dai morsetti, sono in realtà in parallelo.
  • Dimenticare che la potenza massima viene trasferita quando Rload = Rth.

Formule chiave

Tensione di Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistenza di Thévenin
Rth: tutti i generatori spenti, vista da a–b
Corrente di Norton
IN = Vth/Rth
Corrente nel carico
IL = Vth/(Rth + RL)
Massimo trasferimento di potenza
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Impara Thévenin e Norton da zero

Prima di questo: Resistori in serie e parallelo

1Che cos’è un equivalente di Thévenin

Spesso ti interessa solo ciò che accade a due morsetti di un circuito, per esempio dove è collegato un carico.

Il teorema di Thévenin dice: visto da due morsetti a e b, qualsiasi circuito di generatori e resistori si comporta esattamente come un generatore di tensione in serie con un resistore.

+−Vth​Rth​ab

Una batteria è un buon esempio: al suo interno c’è una cella chimica (il generatore) con una certa resistenza interna. Dall’esterno, queste due cose sono tutto ciò che noti.

Questo fa risparmiare molto lavoro. Una volta ottenuti Vth e Rth, puoi provare molti carichi diversi con una sola riga di calcolo ciascuno.

Autoverifica Con che cosa sostituisce un circuito l’equivalente di Thévenin?
  1. Due generatori di tensione in parallelo
  2. Un generatore di corrente in serie con un resistore
  3. Un generatore di tensione in serie con un resistore
  4. Un solo resistore

Risposta: Un generatore di tensione in serie con un resistore. Vth in serie con Rth. La forma di Norton usa un generatore di corrente, ma in parallelo a Rth, non in serie.

2Trovare Vth e Rth

Trovi i due numeri con due piccoli calcoli separati.

  • Vth è la tensione a circuito aperto: la tensione tra a e b con nulla collegato ai morsetti.
  • Rth è la resistenza che vedi guardando verso a e b con ogni generatore indipendente spento.

Lo spegnimento funziona come nella sovrapposizione degli effetti: un generatore di tensione diventa un filo, un generatore di corrente diventa un’interruzione.

L’equivalente di Norton è lo stesso circuito in un’altra forma: un generatore di corrente in parallelo con lo stesso Rth.

IN​Rth​ab
IN = Vth / Rth
Autoverifica Un circuito ha Vth = 12 V e Rth = 4 Ω. Qual è la sua corrente di Norton?
  1. 0,33 A
  2. 16 A
  3. 3 A
  4. 48 A

Risposta: 3 A. IN = Vth/Rth = 12/4 = 3 A. È anche la corrente che scorrerebbe se cortocircuitassi a e b.

3Il metodo passo dopo passo

  1. Rimuovi il carico (se c’è) e segna i morsetti a e b.
  2. Trova la tensione a circuito aperto tra a e b. Questa è Vth.
  3. Spegni tutti i generatori indipendenti. Trova la resistenza tra a e b con le regole di serie e parallelo. Questa è Rth.
  4. Disegna l’equivalente: Vth in serie con Rth, poi ricollega il carico.
  5. La corrente nel carico è IL = Vth / (Rth + RL).

Fatto utile per il passo 2: con a e b aperti, nessuna corrente scorre in un resistore che porta solo ad a. Quindi non ha alcuna tensione ai suoi capi.

4Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Un carico RL = 4 Ω è collegato ad a–b. Trova l’equivalente di Thévenin e la corrente nel carico IL.

1

Osserva il circuito

R1​ = 6 ΩR2​3 ΩR3​ = 2 Ω+−Vs​24 VabRL​4 Ω

Sostituiamo tutto ciò che sta a sinistra di a–b con Vth e Rth.

2

Rimuovi il carico e trova Vth

R1​ = 6 ΩR2​3 ΩR3​ = 2 Ω+−Vs​24 VabVth​ ?+−

Con a–b aperti, nessuna corrente scorre in R3, quindi a si trova alla stessa tensione del nodo tra R1 e R2.

Quel nodo è un partitore di tensione:

Vth = 24 · 3 / (6 + 3) = 8 V
3

Spegni il generatore e trova Rth

R1​ = 6 ΩR2​3 ΩR3​ = 2 Ω0 VabRth​ ?

Il generatore diventa un filo. Guardando da a: R3 in serie con (R1 ∥ R2).

R1 ∥ R2 = 6·3 / (6 + 3) = 2 Ω
Rth = 2 + 2 = 4 Ω
4

Ricollega il carico

+−8 V4 Ωab
IL = Vth / (Rth + RL) = 8 / (4 + 4) = 1 A
5

La forma di Norton

IN = 8 / 4 = 2 A

Stesso circuito, altra forma: un generatore da 2 A in parallelo con 4 Ω dà la stessa corrente di 1 A nel carico.

Risposta

Vth = 8 V, Rth = 4 Ω e IL = 1 A.

5Massima potenza al carico

Una classica domanda successiva: quale carico riceve la massima potenza?

La risposta è il carico uguale alla resistenza di Thévenin:

RL = Rth ⇒ Pmax = Vth² / (4·Rth)

Nell’esempio, un carico da 4 Ω riceve 8² / (4·4) = 4 W. È l’1 A che abbiamo trovato: P = 1² · 4 = 4 W.

Autoverifica Un circuito ha Vth = 10 V e Rth = 5 Ω. Quale resistenza di carico riceve la massima potenza?
  1. 0 Ω
  2. 10 Ω
  3. 2,5 Ω
  4. 5 Ω

Risposta: 5 Ω. Il massimo trasferimento di potenza avviene quando RL = Rth = 5 Ω. In quel caso riceve 10²/(4·5) = 5 W.

6Errori comuni

  • Lasciare il carico collegato mentre si cerca Vth o Rth. Rimuovilo prima.
  • Dimenticare di spegnere i generatori per Rth, oppure spegnere un generatore di tensione come un’interruzione invece che come un filo.
  • Sommare in serie resistori che in realtà sono in parallelo visti da a e b. Ridisegna il circuito dal punto di vista dei morsetti.
  • Contare una caduta di tensione su un resistore che nel circuito aperto non è percorso da corrente.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: un generatore con un partitore di tensione. Trovi Vth o Rth.
  • Medio: lo stesso, con un resistore in serie in più verso il morsetto, come nell’esempio.
  • Difficile: anche un generatore di corrente, e un carico di cui devi trovare la corrente. Il generatore di corrente spento diventa un’interruzione.

Scrivi chiaramente Vth e Rth prima di usarli. Molte domande chiedono uno dei due lungo il percorso.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
R1​ = 10 Ω+−V1​20 VR2​8 ΩAab

Trova la tensione di Thévenin Vth vista dai morsetti a–b.

V1 = 20 VR1 = 10 ΩR2 = 8 Ω

Calcola Vth (V)

Mostra i suggerimenti
  1. Ti servono due numeri: Rth (spegni tutti i generatori e guarda il circuito da a–b) e Vth (la tensione tra a–b senza nulla collegato). La corrente di Norton e i valori del carico seguono da questi due.
  2. Con V₁ cortocircuitato, R₁ e R₂ sono in parallelo viste da a–b.
  3. Vth = V1·R2/(R1+R2) = 20·8/(10+8).
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Teorema di Thévenin: ogni rete lineare a due morsetti si comporta come un unico generatore di tensione Vth in serie con una resistenza Rth. Il teorema di Norton dà la stessa rete come generatore di corrente IN = Vth/Rth in parallelo con Rth.

R1​ = 10 ΩCORTOR2​8 ΩAabRth​

Trova Rth con tutti i generatori spenti

Sostituisci i generatori di tensione con cortocircuiti e quelli di corrente con circuiti aperti, poi guarda il circuito da a–b.

Rth = R1 ∥ R2 = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω
R1​ = 10 Ω+−V1​20 VR2​8 ΩAab+−Vth​

Trova Vth, la tensione a vuoto

Con a–b aperti, nessuna corrente esce dai morsetti, quindi R₁ e R₂ formano un semplice partitore di tensione.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 20·8/(10+8) = 8,889 V
Esempio 2Media
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAab

Trova la resistenza di Thévenin Rth vista dai morsetti a–b.

V1 = 9 VR1 = 2 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 Ω

Calcola Rth (Ω)

Mostra i suggerimenti
  1. Ti servono due numeri: Rth (spegni tutti i generatori e guarda il circuito da a–b) e Vth (la tensione tra a–b senza nulla collegato). La corrente di Norton e i valori del carico seguono da questi due.
  2. Con V₁ cortocircuitato, R₁ ∥ R₂ è in serie con R₃ vista da a–b. Con a–b aperti, in R₃ non scorre corrente.
  3. R1 ∥ R2 = 1,714 Ω.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Teorema di Thévenin: ogni rete lineare a due morsetti si comporta come un unico generatore di tensione Vth in serie con una resistenza Rth. Il teorema di Norton dà la stessa rete come generatore di corrente IN = Vth/Rth in parallelo con Rth.

R1​ = 2 ΩR3​ = 3 ΩCORTOR2​12 ΩAabRth​

Trova Rth con tutti i generatori spenti

Sostituisci i generatori di tensione con cortocircuiti e quelli di corrente con circuiti aperti, poi guarda il circuito da a–b.

R1 ∥ R2 = 2·12/(2+12) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 3 = 4,714 Ω
Esempio 3Difficile
R1​ = 20 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAIs​0,5 ABRL​2 ΩIL​

Un carico RL = 2 Ω è collegato tra a–b. Usa un equivalente di Thévenin per trovare la potenza PL fornita al carico.

V1 = 9 VIs = 0,5 AR1 = 20 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩRL = 2 Ω

Calcola PL (W)

Mostra i suggerimenti
  1. Ti servono due numeri: Rth (spegni tutti i generatori e guarda il circuito da a–b) e Vth (la tensione tra a–b senza nulla collegato). La corrente di Norton e i valori del carico seguono da questi due.
  2. Con V₁ cortocircuitato e Iₛ aperto, Rth = (R₁ ∥ R₂) + R₃. Per Vth, tutta Iₛ deve passare per R₃ verso A.
  3. Rth = 11,33 Ω, Vth = 7,167 V.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Teorema di Thévenin: ogni rete lineare a due morsetti si comporta come un unico generatore di tensione Vth in serie con una resistenza Rth. Il teorema di Norton dà la stessa rete come generatore di corrente IN = Vth/Rth in parallelo con Rth.

R1​ = 20 ΩR3​ = 8 ΩCORTOR2​4 ΩAAPERTOBabRth​

Trova Rth con tutti i generatori spenti

Sostituisci i generatori di tensione con cortocircuiti e quelli di corrente con circuiti aperti, poi guarda il circuito da a–b.

R1 ∥ R2 = 20·4/(20+4) = 3,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,333 + 8 = 11,33 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAIs​0,5 ABab+−Vth​

Trova Vth, la tensione a vuoto

Con a–b aperti, l’unico percorso per Iₛ è attraverso R₃ nel nodo A. Trova V_A per sovrapposizione di V₁ e Iₛ, poi aggiungi la caduta su R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1,5 + 0,5·3,333 = 3,167 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 3,167 + 0,5·8 = 7,167 V
Rth​ = 11,33 Ω+−Vth​7,167 VRL​2 ΩIL​

Collega il carico all’equivalente di Thévenin

Il generatore di Thévenin e R_th in serie si comportano esattamente come il circuito originale ai morsetti a–b, quindi il carico vede un semplice anello in serie.

IL = Vth/(Rth + RL) = 7,167/(11,33 + 2) = 0,5375 A
PL = IL²·RL = 0,5375²·2 = 0,5778 W

Domande e risposte

Thévenin e Norton: di cosa si tratta?

Spesso ti interessa solo ciò che accade a due morsetti di un circuito, per esempio dove è collegato un carico.

Il teorema di Thévenin dice: visto da due morsetti a e b, qualsiasi circuito di generatori e resistori si comporta esattamente come un generatore di tensione in serie con un resistore.

Thévenin e Norton: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
  1. Togli il carico e indica i due morsetti a e b.
  2. Trova la tensione a vuoto tra a e b: questa è Vth.
  3. Spegni tutti i generatori indipendenti e trova la resistenza vista da a–b: questa è Rth.
  4. Ricollega il carico al circuito equivalente: Vth in serie con Rth.
  5. Per l’equivalente di Norton, converti: IN = Vth/Rth, con RN = Rth in parallelo.
Thévenin e Norton: quali sono gli errori più comuni?
  • Lasciare collegato il carico mentre si trova Rth.
  • Sommare in serie resistori che, visti dai morsetti, sono in realtà in parallelo.
  • Dimenticare che la potenza massima viene trasferita quando Rload = Rth.
Thévenin e Norton: che cosa si esercita?
  • Facile: rete a partitore
  • Media: con resistore in serie e carico
  • Difficile: con generatore di corrente e carico

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Argomenti prima e dopo questo

Da studiare prima

Resistori in serie e parallelo

Poi continua con

Ponte di Wheatstone ed estensimetri

Calcolatrici

Calcolatore degli equivalenti di Thévenin e Norton

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