Convertitori DC-DC: esercizi con soluzioni passo passo

Esercizi gratuiti su Convertitori DC-DC con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: rapporti di conversione ideali, ondulazione e correnti dell’induttore, ondulazione in uscita e limite CCM.

Esercizio gratuitoFacile
+−24 VD = 0,6LCR−+Vo​ = ?

Un convertitore buck-boost invertente ideale funziona a 24 V con un rapporto di lavoro D = 0,6 in conduzione continua. Trova il modulo della tensione di uscita |Vo|.

Vin​ = 24 VD = 0,6
V
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Su cosa ti eserciti

  1. Facilerapporti di conversione ideali
  2. Mediaondulazione e correnti dell’induttore
  3. Difficileondulazione in uscita e limite CCM

Come risolvere gli esercizi di Convertitori DC-DC

  1. Individua il convertitore (buck, boost o buck-boost) e il rapporto di lavoro D dal rapporto delle tensioni.
  2. Usa il bilancio volt-secondo sull’induttore: la tensione media sull’induttore in un periodo è zero.
  3. Trova la tensione sull’induttore mentre l’interruttore è chiuso, poi ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Per l’ondulazione in uscita, trova la carica che entra ed esce dal condensatore; per il limite CCM, poni la corrente media nell’induttore uguale a ΔIL/2.

Errori comuni

  • Usare la relazione del buck per un convertitore boost, oppure D al posto di 1 − D.
  • Usare Vin invece di Vin − Vo come tensione sull’induttore in un convertitore buck.
  • Dimenticare che l’induttore del boost porta la corrente d’ingresso Io/(1 − D), non la corrente di carico.
  • Mescolare kHz, µH e µF senza convertirli in unità SI.

Formule chiave

Buck
Vo = D·Vin
Boost
Vo = Vin/(1 − D)
Buck-boost invertente
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Bilancio di potenza ideale
VinIin = VoIo
Ondulazione nell’induttore
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Corrente media nell’induttore
buck Io; boost e buck-boost Io/(1 − D)
Ondulazione in uscita
buck ΔIL/(8fC); boost e buck-boost Io·D/(fC)
Limite CCM
buck (1 − D)R/(2f); boost D(1 − D)²R/(2f); buck-boost (1 − D)²R/(2f)

Impara Convertitori DC-DC da zero

Prima di questo: Transitori RC e RL

1Che cosa fa un convertitore a commutazione

Un convertitore DC-DC trasforma una tensione continua in un’altra, per esempio 12 V di una batteria in 5 V per un processore. Invece di dissipare la differenza in un resistore, commuta l’alimentazione molto velocemente e livella il risultato.

L’interruttore S è chiuso per una frazione D di ogni periodo T = 1/f. D è il rapporto di lavoro (duty cycle). Un induttore L e un condensatore C filtrano gli impulsi in un’uscita stabile.

+−Vin​SLCR+−Vo​
  • Il convertitore buck abbassa la tensione.
  • Il convertitore boost la alza.
  • Il convertitore buck-boost invertente può fare entrambe le cose, con un’uscita negativa.

Con componenti ideali non si perde energia, quindi Vin·Iin = Vo·Io.

Autoverifica Un convertitore buck ideale funziona a 24 V con D = 0,25. Qual è la sua tensione di uscita?
  1. 18 V
  2. 32 V
  3. 6 V
  4. 96 V

Risposta: 6 V. Vo = D·Vin = 0,25·24 = 6 V. Usare 1 − D dà 18 V, la formula del boost dà 32 V, e dividere per D dà 96 V.

2Bilancio volt-secondo e rapporti di conversione

A regime la corrente nell’induttore torna allo stesso valore dopo ogni periodo. Quindi la tensione media sull’induttore in un periodo deve essere zero: i volt-secondi mentre l’interruttore è chiuso compensano quelli mentre è aperto.

Per il convertitore buck l’induttore vede Vin − Vo per il tempo DT e −Vo per (1 − D)T:

(Vin − Vo)·D = Vo·(1 − D) → Vo = D·Vin

Lo stesso bilancio dà gli altri due convertitori:

boost: Vo = Vin/(1 − D) buck-boost: |Vo| = Vin·D/(1 − D)

Valgono in conduzione continua (CCM), quando la corrente nell’induttore non scende mai a zero.

Autoverifica Un convertitore boost ideale deve trasformare 12 V in 48 V. Quale rapporto di lavoro serve?
  1. 0,25
  2. 0,75
  3. 0,8
  4. 4

Risposta: 0,75. 48 = 12/(1 − D), quindi 1 − D = 0,25 e D = 0,75. Il valore 0,25 è la frazione del tempo di apertura, e 4 è il rapporto di tensione stesso.

3Il metodo passo dopo passo

  1. Individua il convertitore e ricava D dal rapporto delle tensioni.
  2. Trova la tensione sull’induttore mentre l’interruttore è chiuso: Vin − Vo per il buck, Vin per il boost e il buck-boost.
  3. La corrente di ondulazione è ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. La corrente media nell’induttore è Io per il buck e Io/(1 − D) per il boost e il buck-boost. Il picco è la media più ΔIL/2.
  5. Per l’ondulazione in uscita, usa ΔIL/(8fC) per il buck e Io·D/(fC) per il boost e il buck-boost.

Converti prima le unità: µH in H, µF in F e kHz in Hz.

4Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Un convertitore buck trasforma 24 V in 12 V su un carico da 6 Ω. Commuta a 100 kHz con L = 47 µH e C = 22 µF. Trova la corrente di ondulazione nell’induttore, la corrente di picco nell’induttore e l’ondulazione in uscita.

1

Osserva il circuito

+−24 VS47 µH22 µF6 Ω+−12 V

Questo è un convertitore buck, quindi D = 12/24 = 0,5.

2

Corrente di ondulazione nell’induttore

Mentre S è chiuso, l’induttore vede 24 − 12 = 12 V.

ΔIL = 12·0,5/(47·10⁻⁶·100·10³) = 1,28 A
3

Corrente di picco nell’induttore

La corrente media nell’induttore è la corrente di carico, 12/6 = 2 A.

Imax = 2 + 1,28/2 = 2,64 A
4

Ondulazione in uscita

ΔVo = ΔIL/(8fC) = 1,28/(8·100·10³·22·10⁻⁶) = 0,073 V
5

Controlla il risultato

La corrente minima nell’induttore è 2 − 0,64 = 1,36 A, ancora sopra zero, quindi il convertitore è in conduzione continua e le formule valgono.

Risposta

ΔIL = 1,28 A, Imax = 2,64 A e ΔVo = 73 mV.

5Ondulazione e limite di conduzione

La corrente nell’induttore sale mentre l’interruttore è chiuso e scende mentre è aperto. In un convertitore buck la sua media è uguale alla corrente di carico.

iL​tImax​Imin​Io​ΔIDTT2T

Se la corrente di carico scende a ΔIL/2, il triangolo tocca appena lo zero: il convertitore è al limite CCM. Sotto questo valore entra in conduzione discontinua e i semplici rapporti non valgono più.

Ponendo la corrente media uguale a ΔIL/2 si ottiene la minima induttanza per la conduzione continua:

buck: (1 − D)R/(2f) boost: D(1 − D)²R/(2f) buck-boost: (1 − D)²R/(2f)
Autoverifica Un convertitore buck funziona con D = 0,4 su un carico da 10 Ω a 50 kHz. Qual è la minima induttanza per la conduzione continua?
  1. 120 µH
  2. 30 µH
  3. 40 µH
  4. 60 µH

Risposta: 60 µH. L = (1 − D)R/(2f) = 0,6·10/(2·50 000) = 60 µH. Usare D al posto di 1 − D dà 40 µH, e omettere il 2 dà 120 µH.

6Errori comuni

  • Usare la relazione del buck per un convertitore boost, oppure D dove va 1 − D.
  • Usare Vin invece di Vin − Vo come tensione sull’induttore di un convertitore buck.
  • Prendere la corrente di carico come corrente nell’induttore del boost: l’induttore porta la corrente d’ingresso, Io/(1 − D).
  • Mescolare kHz, µH e µF senza convertirli.
Autoverifica La tensione sull’induttore è 10 V durante il tempo di chiusura, D = 0,5, L = 100 µH e f = 50 kHz. Quanto vale ΔIL?
  1. 0,001 A
  2. 1 A
  3. 1000 A
  4. 2 A

Risposta: 1 A. ΔIL = 10·0,5/(100·10⁻⁶·50·10³) = 5/5 = 1 A. Lasciare L in µH o f in kHz dà risposte sbagliate di un fattore 1000.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: rapporti di conversione ideali. Trovi la tensione di uscita o il rapporto di lavoro di un convertitore buck, boost o buck-boost, oppure la corrente d’ingresso dal bilancio di potenza.
  • Medio: ondulazione e correnti dell’induttore. Trovi la corrente di ondulazione, l’induttanza per una data ondulazione, la corrente di picco nell’induttore di un buck, o la corrente media nell’induttore di un boost.
  • Difficile: ondulazione in uscita e limite CCM. Trovi l’ondulazione in uscita o la capacità necessaria, l’induttanza critica di ciascun convertitore, o la minima corrente di carico per la conduzione continua.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
+−12 VD = ?LCR−+48 V

Un convertitore buck-boost invertente ideale deve produrre −48 V da 12 V in conduzione continua. Trova il rapporto di lavoro D.

Vin​ = 12 VVo​ = −48 V

Calcola D

Mostra i suggerimenti
  1. Parti dal rapporto di conversione ideale: |Vo| = Vin·D/(1 − D).
  2. Ricavane D.
  3. D = |Vo|/(Vin + |Vo|).
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Convertitori DC-DC: un interruttore S si chiude per la frazione D di ogni periodo T = 1/f. A regime la tensione media sull’induttore è zero (bilancio volt-secondo), il che dà i rapporti di conversione ideali in conduzione continua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost invertente |Vo| = Vin·D/(1 − D). Un convertitore ideale conserva la potenza: Vin·Iin = Vo·Io. Mentre S è chiuso la corrente nell’induttore sale di ΔIL = VL·D·T/L, con VL = Vin − Vo per il buck e Vin per il boost e il buck-boost. L’ondulazione in uscita è ΔVo = ΔIL/(8fC) per il buck e Io·D/(fC) per il boost e il buck-boost. La corrente nell’induttore tocca appena lo zero (il confine della conduzione continua, CCM) quando la corrente media nell’induttore è uguale a ΔIL/2.

Rapporto di conversione

|Vo| = Vin·D/(1 − D)

Ricava D

D = |Vo|/(Vin + |Vo|) = 0,8

Risposta

D = 0,8
Esempio 2Media
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

Un convertitore boost ideale trasforma 15 V in 60 V a 25 kHz con L = 330 µH. Trova la corrente di ondulazione picco-picco nell’induttore ΔIL.

Vin​ = 15 VVo​ = 60 Vf = 25 kHzL = 330 µH

Calcola ΔIL (A)

Mostra i suggerimenti
  1. Mentre S è chiuso, l’induttore si trova direttamente ai capi di Vin.
  2. ΔIL = VL·D·T/L, T = 1/f.
  3. VL = 15 V.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Convertitori DC-DC: un interruttore S si chiude per la frazione D di ogni periodo T = 1/f. A regime la tensione media sull’induttore è zero (bilancio volt-secondo), il che dà i rapporti di conversione ideali in conduzione continua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost invertente |Vo| = Vin·D/(1 − D). Un convertitore ideale conserva la potenza: Vin·Iin = Vo·Io. Mentre S è chiuso la corrente nell’induttore sale di ΔIL = VL·D·T/L, con VL = Vin − Vo per il buck e Vin per il boost e il buck-boost. L’ondulazione in uscita è ΔVo = ΔIL/(8fC) per il buck e Io·D/(fC) per il boost e il buck-boost. La corrente nell’induttore tocca appena lo zero (il confine della conduzione continua, CCM) quando la corrente media nell’induttore è uguale a ΔIL/2.

Rapporto di lavoro

D = 1 − 15/60 = 0,75

Tensione sull’induttore durante il tempo di chiusura

Mentre S è chiuso, l’induttore si trova direttamente ai capi di Vin.

VL = 15 V

Corrente di ondulazione

ΔIL = VL·D/(L·f) = 15·0,75/(330·10⁻⁶·25·10³) = 1,364 A

Risposta

ΔIL = 1,364 A
Esempio 3Difficile
+−12 VSLC = 22 µFR = 10 Ω−+−36 V

Un convertitore buck-boost ideale trasforma 12 V in −36 V su un carico da 10 Ω a 100 kHz. Il condensatore di uscita è 22 µF. Trova l’ondulazione picco-picco della tensione di uscita ΔVo in mV.

Vin​ = 12 VVo​ = −36 Vf = 100 kHzC = 22 µFR = 10 Ω

Calcola ΔVo (mV)

Mostra i suggerimenti
  1. Mentre l’interruttore è chiuso, il diodo è interdetto e il condensatore alimenta da solo il carico.
  2. ΔVo = Io·D·T/C.
  3. Io = 36/10 = 3,6 A.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Convertitori DC-DC: un interruttore S si chiude per la frazione D di ogni periodo T = 1/f. A regime la tensione media sull’induttore è zero (bilancio volt-secondo), il che dà i rapporti di conversione ideali in conduzione continua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost invertente |Vo| = Vin·D/(1 − D). Un convertitore ideale conserva la potenza: Vin·Iin = Vo·Io. Mentre S è chiuso la corrente nell’induttore sale di ΔIL = VL·D·T/L, con VL = Vin − Vo per il buck e Vin per il boost e il buck-boost. L’ondulazione in uscita è ΔVo = ΔIL/(8fC) per il buck e Io·D/(fC) per il boost e il buck-boost. La corrente nell’induttore tocca appena lo zero (il confine della conduzione continua, CCM) quando la corrente media nell’induttore è uguale a ΔIL/2.

Rapporto di lavoro

D = 36/(12 + 36) = 0,75

Corrente nel carico

Io = 36/10 = 3,6 A

Ondulazione in uscita

ΔVo = 3,6·0,75/(100·10³·22·10⁻⁶) = 1227 mV

Risposta

ΔVo = 1227 mV

Domande e risposte

Convertitori DC-DC: di cosa si tratta?

Un convertitore DC-DC trasforma una tensione continua in un’altra, per esempio 12 V di una batteria in 5 V per un processore. Invece di dissipare la differenza in un resistore, commuta l’alimentazione molto velocemente e livella il risultato.

L’interruttore S è chiuso per una frazione D di ogni periodo T = 1/f. D è il rapporto di lavoro (duty cycle). Un induttore L e un condensatore C filtrano gli impulsi in un’uscita stabile.

Convertitori DC-DC: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
  1. Individua il convertitore (buck, boost o buck-boost) e il rapporto di lavoro D dal rapporto delle tensioni.
  2. Usa il bilancio volt-secondo sull’induttore: la tensione media sull’induttore in un periodo è zero.
  3. Trova la tensione sull’induttore mentre l’interruttore è chiuso, poi ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Per l’ondulazione in uscita, trova la carica che entra ed esce dal condensatore; per il limite CCM, poni la corrente media nell’induttore uguale a ΔIL/2.
Convertitori DC-DC: quali sono gli errori più comuni?
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  • Usare Vin invece di Vin − Vo come tensione sull’induttore in un convertitore buck.
  • Dimenticare che l’induttore del boost porta la corrente d’ingresso Io/(1 − D), non la corrente di carico.
  • Mescolare kHz, µH e µF senza convertirli in unità SI.
Convertitori DC-DC: che cosa si esercita?
  • Facile: rapporti di conversione ideali
  • Media: ondulazione e correnti dell’induttore
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