Logica digitale: porte, mappe K e flip-flop: esercizi con soluzioni passo passo

1Uni, zeri e porte logiche

I circuiti digitali lavorano con due valori: 0 (tensione bassa, falso) e 1 (tensione alta, vero). Una porta logica riceve uno o più ingressi e dà un’uscita.

• AND dà 1 solo quando tutti gli ingressi sono 1. Si scrive A·B oppure AB.
• OR dà 1 quando almeno un ingresso è 1. Si scrive A + B.
• NOT inverte: 0 diventa 1 e 1 diventa 0. Si scrive A′ (oppure con una barra sopra A).
• NAND e NOR sono AND e OR seguiti da NOT; il piccolo cerchio su un simbolo significa “invertito”.
• XOR (A ⊕ B) dà 1 quando gli ingressi sono diversi.

Una tabella di verità elenca l’uscita per ogni combinazione degli ingressi: 2ⁿ righe per n ingressi. La riga ABC = 101 è la riga numero 5, detta mintermine m₅.

2Algebra di Boole

Le espressioni logiche seguono regole simili a quelle dell’algebra ordinaria, più alcune proprie. Le più utili:

La regola di combinazione X·Y + X·Y′ = X è il cuore della semplificazione: due termini che differiscono per una sola variabile si fondono, e quella variabile scompare.

Una somma di prodotti (SOP) è un OR di termini AND, come F = AB′ + C. Un prodotto di somme (POS) è un AND di termini OR, come F = (A + B)(B′ + C). Ogni termine prodotto è formato da letterali: variabili, con o senza apice.

3Mappe di Karnaugh

Una mappa di Karnaugh è una tabella di verità disegnata come griglia in cui le celle vicine differiscono per esattamente una variabile. Per questo righe e colonne seguono l’ordine 00, 01, 11, 10 (codice Gray), non quello binario.

1. Scrivi un 1 nella cella di ogni mintermine; il numero piccolo in ogni cella è il suo numero di mintermine.
2. Disegna rettangoli di 1, 2, 4, 8 o 16 celle attorno agli 1. I gruppi possono richiudersi sui bordi: la colonna sinistra e quella destra sono adiacenti, e così la riga in alto e quella in basso.
3. Rendi ogni gruppo il più grande possibile e usa il minor numero di gruppi finché ogni 1 non è coperto.
4. Leggi ogni gruppo come un termine prodotto: tieni solo le variabili che non cambiano al suo interno. Un gruppo di 2ᵏ celle perde k variabili.

Nella mappa qui sopra i quattro 1 formano un unico gruppo. Al suo interno A cambia e C cambia, resta solo B = 1, quindi F = B.

Le celle contrassegnate con X sono condizioni di indifferenza (don’t care): combinazioni degli ingressi che non si presentano mai. Usa una X come 1 quando ingrandisce un gruppo, altrimenti ignorala. Raggruppando invece gli 0 si ottiene la forma POS minima.

4Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

5Flip-flop e contatori

Le porte reagiscono subito ai loro ingressi. Un flip-flop memorizza un bit e cambia solo sul fronte attivo del clock (di solito il fronte di salita).

• Flip-flop D: Q diventa D a ogni fronte del clock (Q⁺ = D).
• Flip-flop T: commuta quando T = 1, mantiene quando T = 0.
• Flip-flop JK: JK = 00 mantiene, 01 azzera (reset a 0), 10 imposta a 1 (set), 11 commuta.

Un flip-flop che commuta cambia a ogni fronte di salita, quindi la sua uscita ha metà della frequenza del clock. Collegandone n in cascata si ottiene un contatore binario a n bit con 2ⁿ stati. Un contatore modulo N conta 0, 1, …, N − 1 e torna a 0; richiede il minimo n con 2ⁿ ≥ N, e la sua ultima uscita ha frequenza f_clk/N.

In un contatore asincrono (ripple) ogni stadio è pilotato da quello precedente, quindi i ritardi si sommano: il periodo del clock deve essere almeno n·t_pd. I contatori a registro a scorrimento usano meno stati: un contatore ad anello di n flip-flop ha n stati, un contatore Johnson 2n.

6Errori comuni

• Scrivere le colonne della mappa di Karnaugh come 00, 01, 10, 11. L’ordine è il codice Gray: 00, 01, 11, 10.
• Dimenticare che i gruppi si richiudono sui bordi della mappa.
• Fare gruppi di 3 o 6 celle. I gruppi hanno 1, 2, 4, 8 o 16 celle.
• Coprire una condizione di indifferenza che non serve: una X non deve mai essere coperta.
• Leggere un gruppo tenendo le variabili che cambiano. Tieni solo quelle che restano costanti.
• Dimenticare che un contatore ricomincia da capo: un contatore a n bit conta modulo 2ⁿ.

7Come sono fatte le domande d’esame

• Facile: valutare un circuito di porte per ingressi dati, contare gli 1 di una tabella di verità, collocare un mintermine in una mappa di Karnaugh, il numero di porte NAND per una funzione, o il ritardo di propagazione nel caso peggiore.
• Medio: semplificare un’espressione, trovare la forma SOP o POS minima con una mappa di Karnaugh, una funzione realizzata con un multiplexer, o l’1 isolato di una mappa.
• Difficile: mappe con condizioni di indifferenza, implicanti primi essenziali, diagrammi temporali dei flip-flop, contatori dopo molti impulsi, il numero di flip-flop o la frequenza di uscita, e registri a scorrimento.

Verifica un’espressione semplificata provando una o due righe della tabella di verità: la forma originale e quella semplificata devono dare la stessa uscita.