Sovrapposizione degli effetti: esercizi con soluzioni passo passo

Detto anche: principio di sovrapposizione · teorema di sovrapposizione

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R1​ = 8 ΩIR1​R2​ = 2 Ω+−V1​15 VR3​12 ΩA+−V2​8 V

Usa la sovrapposizione degli effetti per trovare la corrente IR1 in R1 nel verso della freccia.

V1 = 15 VV2 = 8 VR1 = 8 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 Ω
A
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Su cosa ti eserciti

  1. Facile2 generatori di tensione
  2. Mediageneratore di tensione + di corrente
  3. Difficile3 generatori

Come risolvere gli esercizi di Sovrapposizione degli effetti

  1. Conta i generatori indipendenti. Risolverai un circuito più semplice per ogni generatore.
  2. Mantieni un generatore e spegni gli altri: un generatore di tensione diventa un cortocircuito (un filo), un generatore di corrente diventa un circuito aperto (un’interruzione).
  3. Risolvi il circuito più semplice per la tensione o la corrente che ti serve, tenendo conto del suo verso.
  4. Ripeti per ogni generatore, poi somma i contributi con i loro segni.

Errori comuni

  • Togliere un generatore di tensione invece di sostituirlo con un filo.
  • Sommare i contributi senza controllarne i versi.
  • Usare la sovrapposizione per la potenza: la potenza non è lineare, quindi trova prima la corrente totale e poi la potenza.

Formule chiave

Sovrapposizione degli effetti
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Generatore di tensione spento
cortocircuito (0 V)
Generatore di corrente spento
circuito aperto (0 A)
Partitore di tensione
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Partitore di corrente
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Impara Sovrapposizione degli effetti da zero

Prima di questo: Resistori in serie e parallelo

1Che cos’è la sovrapposizione degli effetti

Molti circuiti hanno più di un generatore: due batterie, oppure una batteria e un generatore di corrente.

Risolverli tutti insieme può essere difficile. La sovrapposizione degli effetti ti permette di dividere il problema in parti più semplici.

L’idea: ogni generatore spinge la propria corrente nel circuito. La corrente reale in un resistore è la somma di ciò che ogni generatore causa da solo.

Pensa a due rubinetti che riempiono la stessa vasca. Il livello dell’acqua sale di quanto aggiunge il primo rubinetto più quanto aggiunge il secondo.

Autoverifica Che cosa ti permette di fare la sovrapposizione degli effetti?
  1. Ignorare tutti i generatori tranne il più grande
  2. Moltiplicare gli effetti dei generatori
  3. Risolvere il circuito una volta per ogni generatore e sommare i risultati
  4. Sostituire tutti i resistori con un unico resistore

Risposta: Risolvere il circuito una volta per ogni generatore e sommare i risultati. Consideri un generatore alla volta, trovi ciò che causa e alla fine sommi tutti i contributi.

2Spegnere un generatore

Per esaminare un generatore da solo, spegni gli altri generatori. Spegnere significa porre il generatore a zero.

  • Un generatore di tensione posto a 0 V diventa un semplice filo (un cortocircuito).
  • Un generatore di corrente posto a 0 A diventa un’interruzione (un circuito aperto).
+−0 V0 A

Si spengono solo i generatori. Ogni resistore resta esattamente dov’è.

Questo vale per i circuiti fatti di resistori e generatori indipendenti. Tali circuiti si dicono lineari: raddoppiando un generatore si raddoppia tutto ciò che esso causa.

Autoverifica Come si spegne un generatore di corrente?
  1. Eliminando il resistore accanto a esso
  2. Sostituendolo con un circuito aperto (un’interruzione)
  3. Sostituendolo con un cortocircuito (un filo)
  4. Sostituendolo con un resistore da 1 Ω

Risposta: Sostituendolo con un circuito aperto (un’interruzione). Un generatore di corrente spento eroga 0 A. Un’interruzione è l’unica cosa che non lascia passare corrente, qualunque sia la tensione.

3Gli strumenti che ti servono

Ogni circuito più semplice ha un solo generatore, quindi puoi risolverlo con resistori in serie e in parallelo.

Rseries = R1 + R2
Rparallel = R1·R2 / (R1 + R2)

Il partitore di tensione è lo strumento che userai più spesso. Due resistori in serie si dividono la tensione del generatore in proporzione al loro valore:

V2 = V · R2 / (R1 + R2)

Poi la legge di Ohm, I = V/R, ti dà la corrente in qualsiasi resistore una volta nota la sua tensione.

Autoverifica Un generatore da 12 V alimenta 6 Ω e 2 Ω in serie. Qual è la tensione ai capi del resistore da 2 Ω?
  1. 3 V
  2. 4 V
  3. 6 V
  4. 9 V

Risposta: 3 V. V = 12 · 2/(6 + 2) = 3 V. Il resistore più piccolo riceve la parte più piccola della tensione.

4Il metodo passo dopo passo

  1. Conta i generatori indipendenti. Risolverai un circuito più semplice per ciascuno di essi.
  2. Tieni un generatore e spegni tutti gli altri: i generatori di tensione diventano fili, i generatori di corrente diventano interruzioni.
  3. Risolvi il circuito più semplice per la grandezza che ti serve. Mantieni lo stesso verso (o gli stessi + e −) della domanda.
  4. Ripeti per ogni generatore.
  5. Somma tutti i contributi con i loro segni. Un contributo in verso opposto conta come negativo.

Disegna ogni circuito più semplice prima di calcolare. La maggior parte degli errori nasce dal guardare il disegno originale mentre si risolve un circuito diverso.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Trova la corrente I3 in R3 (verso il basso) in questo circuito.

1

Osserva il circuito

R1​ = 6 ΩR2​ = 6 ΩR3​3 ΩI3​A+−V1​12 V+−V2​6 V

Ci sono due generatori, V1 = 12 V e V2 = 6 V. Quindi risolviamo due circuiti più semplici.

2

Solo V₁ attivo

R1​ = 6 ΩR2​ = 6 ΩR3​3 ΩI3​A+−V1​12 V0 V

Sostituisci V2 con un filo. Ora R2 va dal nodo A direttamente al filo inferiore, quindi R2 e R3 sono in parallelo.

R2 ∥ R3 = 6·3 / (6 + 3) = 2 Ω
3

Partitore di tensione per V₁

V1 vede R1 = 6 Ω in serie con la coppia in parallelo da 2 Ω. La tensione in A è la parte che cade sui 2 Ω:

VA′ = 12 · 2 / (6 + 2) = 3 V
I3′ = 3 V / 3 Ω = 1 A
4

Solo V₂ attivo

R1​ = 6 ΩR2​ = 6 ΩR3​3 ΩI3​A0 V+−V2​6 V

Ora sostituisci V1 con un filo. R1 e R3 sono in parallelo: 6·3/(6 + 3) = 2 Ω.

VA″ = 6 · 2 / (6 + 2) = 1,5 V
I3″ = 1,5 V / 3 Ω = 0,5 A
5

Somma i contributi

Entrambi i contributi scorrono verso il basso in R3, quindi sono entrambi positivi.

I3 = I3′ + I3″ = 1 + 0,5 = 1,5 A
6

Controlla il risultato

Con entrambi i generatori attivi, VA = 3 + 1,5 = 4,5 V. Le correnti che entrano in A dai due lati sono (12 − 4,5)/6 = 1,25 A e (6 − 4,5)/6 = 0,25 A.

Insieme fanno 1,5 A, esattamente la corrente che esce attraverso R3. Il risultato è corretto.

Risposta

I3 = 1,5 A, verso il basso.

6Errori comuni

  • Togliere un generatore di tensione e lasciare un’interruzione. Un generatore di tensione spento è un filo.
  • Sommare i contributi senza controllarne i versi. Disegna una freccia per ogni contributo.
  • Calcolare la potenza con la sovrapposizione. La potenza non è lineare: trova prima la corrente totale, poi P = I²·R.
  • Dimenticare un generatore. Con tre generatori servono tre circuiti più semplici.
Autoverifica Nell’esempio, I₃′ = 1 A e I₃″ = 0,5 A in un resistore da 3 Ω. Quale potenza assorbe R₃?
  1. 2,25 W
  2. 3,75 W
  3. 4,5 W
  4. 6,75 W

Risposta: 6,75 W. Prima somma le correnti: 1,5 A. Poi P = 1,5² · 3 = 6,75 W. Sommare le due potenze separate (3 + 0,75 = 3,75 W) è sbagliato perché la potenza non è lineare.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: due generatori di tensione e tre resistori. Ogni circuito più semplice è un partitore di tensione.
  • Medio: un generatore di tensione e un generatore di corrente. Ricorda che il generatore di corrente spento diventa un’interruzione.
  • Difficile: tre generatori, e l’incognita può essere una tensione di nodo o una corrente di ramo.

Alcune domande forniscono solo misure. Per esempio: con entrambi i generatori attivi la corrente è 6,5 mA, e con V2 spento è 4,5 mA. Allora V2 da solo causa 2 mA.

Poiché il circuito è lineare, raddoppiando V1 si raddoppia il suo contributo. Usalo per prevedere la corrente dopo la variazione di un generatore.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
R1​ = 10 ΩR2​ = 12 Ω+−V1​18 VR3​2 Ω+−VR3​A+−V2​18 V

Usa la sovrapposizione degli effetti per trovare la tensione VR3 ai capi di R3 con la polarità indicata.

V1 = 18 VV2 = 18 VR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 2 Ω

Calcola VR3 (V)

Mostra i suggerimenti
  1. Questo circuito ha 2 generatori indipendenti, quindi risolvi 2 circuiti più semplici, uno per generatore. Spegni gli altri: un generatore di tensione diventa un cortocircuito, un generatore di corrente diventa un circuito aperto.
  2. Con solo V₁ attivo, R₂ e R₃ risultano in parallelo. Usa un partitore di tensione per trovare la tensione al nodo A.
  3. Con solo V1 attivo, VR3′ = 2,634 V. Trova l’altro contributo allo stesso modo e sommali.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Sovrapposizione degli effetti: in un circuito lineare, ogni tensione o corrente è la somma delle risposte a ciascun generatore indipendente che agisce da solo. Per spegnere un generatore, sostituisci un generatore ideale di tensione con un cortocircuito e un generatore ideale di corrente con un circuito aperto. I resistori restano dove sono.

R1​ = 10 ΩR2​ = 12 Ω+−V1​18 VR3​2 ΩACORTO

Caso 1 · V1 da solo

V₂ diventa un cortocircuito, quindi R₂ va ora da A a massa, in parallelo con R₃.

R2 ∥ R3 = 12·2/(12+2) = 1,714 Ω
VA = V1·(R2∥R3)/(R1+R2∥R3) = 18·1,714/(10+1,714) = 2,634 V
VR3′ = VA − 0 = 2,634 − 0 = 2,634 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 12 ΩCORTOR3​2 ΩA+−V2​18 V

Caso 2 · V2 da solo

V₁ diventa un cortocircuito, quindi R₁ va ora da A a massa, in parallelo con R₃.

R1 ∥ R3 = 10·2/(10+2) = 1,667 Ω
VA = V2·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 18·1,667/(12+1,667) = 2,195 V
VR3″ = VA − 0 = 2,195 − 0 = 2,195 V

Somma i contributi

VR3 = VR3′ + VR3″
VR3 = 2,634 + 2,195 = 4,829 V

Un risultato negativo significa che in realtà la polarità è opposta a quella indicata.

Esempio 2Media
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​12 ΩIR4​BIs​2 A

Usa la sovrapposizione degli effetti per trovare la potenza PR4 assorbita da R4.

V1 = 6 VIs = 2 AR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 8 ΩR4 = 12 Ω

Calcola PR4 (W)

Mostra i suggerimenti
  1. Questo circuito ha 2 generatori indipendenti, quindi risolvi 2 circuiti più semplici, uno per generatore. Spegni gli altri: un generatore di tensione diventa un cortocircuito, un generatore di corrente diventa un circuito aperto.
  2. Trova la corrente IR4 in R4 con la sovrapposizione degli effetti, poi elevala al quadrato: P = I²R.
  3. Con solo V1 attivo, IR4′ = 0,07059 A.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Sovrapposizione degli effetti: in un circuito lineare, ogni tensione o corrente è la somma delle risposte a ciascun generatore indipendente che agisce da solo. Per spegnere un generatore, sostituisci un generatore ideale di tensione con un cortocircuito e un generatore ideale di corrente con un circuito aperto. I resistori restano dove sono.

R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​12 ΩBAPERTO

Caso 1 · V1 da solo

Iₛ diventa un circuito aperto, quindi R₃ e R₄ formano un unico ramo in serie da A a massa, in parallelo con R₂.

R3+R4 = 8+12 = 20 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 6·20/(6+20) = 4,615 Ω
VA = 6·4,615/(15+4,615) = 1,412 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 1,412·12/20 = 0,8471 V
IR4′ = (VB − 0)/R4 = (0,8471 − 0)/12 = 0,07059 A
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 ΩCORTOR2​6 ΩAR4​12 ΩBIs​2 A

Caso 2 · Is da solo

V₁ diventa un cortocircuito, quindi R₁ è in parallelo con R₂. Iₛ si divide in B tra R₄ e il percorso attraverso R₃.

R1 ∥ R2 = 15·6/(15+6) = 4,286 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 12 ∥ 12,29 = 6,071 Ω
VB = Is·Req = 2·6,071 = 12,14 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 12,14·4,286/12,29 = 4,235 V
IR4″ = (VB − 0)/R4 = (12,14 − 0)/12 = 1,012 A

Somma i contributi di corrente

IR4 = IR4′ + IR4″ = 0,07059 + 1,012 = 1,082 A

Potenza nel resistore

La potenza dipende dal quadrato della corrente, quindi non segue la sovrapposizione degli effetti: somma prima le correnti, poi eleva al quadrato.

PR4 = IR4²·R4 = 1,082²·12 = 14,06 W

Risposta

PR4 = 14,06 W

Sommare le potenze dei singoli casi darebbe 12,34 W, che è sbagliato.

Esempio 3Difficile
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 Ω+−VR2​R4​ = 25 Ω+−V1​12 VR3​8 ΩAIs​1 AB+−V2​15 V

Usa la sovrapposizione degli effetti per trovare la tensione VR2 ai capi di R2 con la polarità indicata.

V1 = 12 VIs = 1 AV2 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩR4 = 25 Ω

Calcola VR2 (V)

Mostra i suggerimenti
  1. Questo circuito ha 3 generatori indipendenti, quindi risolvi 3 circuiti più semplici, uno per generatore. Spegni gli altri: un generatore di tensione diventa un cortocircuito, un generatore di corrente diventa un circuito aperto.
  2. Inizia con V₁ da solo: cortocircuita V₂, apri Iₛ. Visto da A, R₃ è in parallelo con R₂+R₄.
  3. Con solo V1 attivo, VR2′ = 0,6379 V. Trova gli altri contributi allo stesso modo e sommali.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Sovrapposizione degli effetti: in un circuito lineare, ogni tensione o corrente è la somma delle risposte a ciascun generatore indipendente che agisce da solo. Per spegnere un generatore, sostituisci un generatore ideale di tensione con un cortocircuito e un generatore ideale di corrente con un circuito aperto. I resistori restano dove sono.

R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 25 Ω+−V1​12 VR3​8 ΩAAPERTOBCORTO

Caso 1 · V1 da solo

V₂ diventa un cortocircuito e Iₛ un circuito aperto. Visto da A, R₃ è in parallelo con la coppia in serie R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 8 ∥ 29 = 6,27 Ω
VA = 12·6,27/(10+6,27) = 4,625 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 4,625·25/29 = 3,987 V
VR2′ = VA − VB = 4,625 − 3,987 = 0,6379 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 25 ΩCORTOR3​8 ΩAIs​1 ABCORTO

Caso 2 · Is da solo

Entrambi i generatori di tensione diventano cortocircuiti. Iₛ si divide in B tra R₄ (ora verso massa) e R₂ in serie con R₁ ∥ R₃.

R1 ∥ R3 = 4,444 Ω, quindi il ramo sinistro è R2+4,444 = 8,444 Ω
Req = R4 ∥ 8,444 = 6,312 Ω
VB = Is·Req = 1·6,312 = 6,312 V
VA = VB·4,444/8,444 = 3,322 V
VR2″ = VA − VB = 3,322 − 6,312 = −2,99 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 25 ΩCORTOR3​8 ΩAAPERTOB+−V2​15 V

Caso 3 · V2 da solo

V₁ diventa un cortocircuito e Iₛ un circuito aperto. R₁ ∥ R₃ parte da A, in serie con R₂ fino a B.

R1 ∥ R3 = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 15·8,444/33,44 = 3,787 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 3,787·4,444/8,444 = 1,993 V
VR2‴ = VA − VB = 1,993 − 3,787 = −1,794 V

Somma i contributi

VR2 = VR2′ + VR2″ + VR2‴
VR2 = 0,6379 + (−2,99) + (−1,794) = −4,146 V

Un risultato negativo significa che in realtà la polarità è opposta a quella indicata.

Domande e risposte

Sovrapposizione degli effetti: di cosa si tratta?

Molti circuiti hanno più di un generatore: due batterie, oppure una batteria e un generatore di corrente.

Risolverli tutti insieme può essere difficile. La sovrapposizione degli effetti ti permette di dividere il problema in parti più semplici.

Sovrapposizione degli effetti: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
  1. Conta i generatori indipendenti. Risolverai un circuito più semplice per ogni generatore.
  2. Mantieni un generatore e spegni gli altri: un generatore di tensione diventa un cortocircuito (un filo), un generatore di corrente diventa un circuito aperto (un’interruzione).
  3. Risolvi il circuito più semplice per la tensione o la corrente che ti serve, tenendo conto del suo verso.
  4. Ripeti per ogni generatore, poi somma i contributi con i loro segni.
Sovrapposizione degli effetti: quali sono gli errori più comuni?
  • Togliere un generatore di tensione invece di sostituirlo con un filo.
  • Sommare i contributi senza controllarne i versi.
  • Usare la sovrapposizione per la potenza: la potenza non è lineare, quindi trova prima la corrente totale e poi la potenza.
Sovrapposizione degli effetti: che cosa si esercita?
  • Facile: 2 generatori di tensione
  • Media: generatore di tensione + di corrente
  • Difficile: 3 generatori

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