Impedenza AC e fasori: esercizi con soluzioni passo passo
Detto anche: regime sinusoidale · impedenza complessa · corrente alternata
Esercizi gratuiti su Impedenza AC e fasori con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: RL serie, RLC serie, tensione sul condensatore e risonanza.
Esercizio gratuitoFacile
Un circuito RL serie è collegato a un’alimentazione da 120 V (efficaci), 50 Hz. Trova la tensione efficace VR ai capi del resistore.
1Che cosa sono la corrente alternata e l’impedenza
L’alimentazione di rete è corrente alternata (AC): la tensione oscilla verso l’alto e verso il basso come un’onda sinusoidale, molte volte al secondo.
La frequenza f è il numero di oscillazioni complete al secondo, in hertz (Hz). La rete è a 50 Hz in Europa e a 60 Hz in Nord America.
I calcoli in AC spesso usano la pulsazione (frequenza angolare):
ω = 2π·f (rad/s)
Le tensioni e le correnti alternate sono normalmente date come valori efficaci (rms). Un valore efficace produce lo stesso effetto di riscaldamento di quel valore in continua. La rete “230 V” significa 230 V efficaci.
Nei circuiti in AC, anche induttori e condensatori limitano la corrente, non solo i resistori. Il loro effetto combinato si chiama impedenza Z, misurata in ohm.
Autoverifica Un’alimentazione funziona a 50 Hz. Qual è la sua pulsazione ω?
157 rad/s
314 rad/s
50 rad/s
7,96 rad/s
Risposta: 314 rad/s. ω = 2π·50 = 314 rad/s. Usare f stessa (50) o dividere per 2π (7,96) sono le distrazioni più comuni; 157 dimentica il fattore 2.
2Reattanza di un induttore e di un condensatore
Un induttore e un condensatore si oppongono alla corrente alternata in modo che dipende dalla frequenza. Questa opposizione dipendente dalla frequenza si chiama reattanza X, in ohm.
XL = ω·L XC = 1 / (ω·C)
Un induttore si oppone alle variazioni rapide. La sua reattanza XL cresce con la frequenza. In continua (f = 0) è un semplice filo.
Un condensatore blocca la continua ma lascia passare le variazioni rapide. La sua reattanza XC diminuisce al crescere della frequenza.
Usa sempre L in henry e C in farad: 100 mH = 0,1 H e 10 µF = 10·10−6 F.
Autoverifica Qual è la reattanza di un induttore da 100 mH a 50 Hz?
0,0318 Ω
31,4 Ω
5 Ω
5000 Ω
Risposta: 31,4 Ω. XL = ωL = 2π·50·0,1 = 31,4 Ω. Usare f invece di ω dà 5 Ω, e dimenticare di convertire mH in H dà 5000 Ω.
3Impedenza e angolo di fase
In un resistore, tensione e corrente salgono e scendono insieme. In un induttore la corrente è in ritardo di un quarto di periodo rispetto alla tensione; in un condensatore è in anticipo di un quarto di periodo.
A causa di questo sfasamento non puoi sommare R e X come semplici numeri. Li sommi ad angolo retto, scritti come numero complesso con j:
Z = R + j·(XL − XC)
Il modulo dell’impedenza e il suo angolo derivano dal triangolo rettangolo:
|Z| = √(R² + X²) φ = arctan(X / R)
La legge di Ohm funziona con il modulo: I = V / |Z|. L’angolo φ dice di quanto la corrente è in ritardo rispetto alla tensione. Un φ positivo significa induttivo (la corrente è in ritardo); un φ negativo significa capacitivo.
Autoverifica Un circuito serie ha R = 30 Ω e XL = 40 Ω. Quanto vale |Z|?
10 Ω
2500 Ω
50 Ω
70 Ω
Risposta: 50 Ω. |Z| = √(30² + 40²) = √2500 = 50 Ω. Sommare i due (70 Ω) ignora l’angolo retto, e 2500 dimentica la radice quadrata.
4Il metodo passo dopo passo
Converti la frequenza: ω = 2π·f.
Trova ciascuna reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC). Usa H e F.
Trova la reattanza netta X = XL − XC (circuito serie).
Trova |Z| = √(R² + X²) e, se serve, φ = arctan(X/R).
Usa la legge di Ohm: I = V/|Z|. Poi la tensione ai capi di una parte è I per la sua R o X.
In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni parte. Per questo puoi trovare prima I e usarla ovunque.
5Un esempio svolto
Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.
Esempio svolto
Un circuito RL serie con R = 50 Ω e L = 100 mH è collegato a un’alimentazione da 120 V (efficaci), 60 Hz. Trova |Z|, la corrente efficace I e l’angolo di fase φ.
1
Osserva il circuito
Non c’è alcun condensatore, quindi XC = 0.
2
Pulsazione e reattanza
ω = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω
3
Impedenza
|Z| = √(50² + 37,7²) = 62,6 Ω
4
Corrente e angolo di fase
I = V / |Z| = 120 / 62,6 = 1,92 A
φ = arctan(37,7 / 50) = 37,0°
L’angolo è positivo, quindi la corrente è in ritardo rispetto alla tensione, come previsto per un circuito induttivo.
5
Controlla il risultato
Il resistore assorbe 1,92·50 = 95,8 V e l’induttore 1,92·37,7 = 72,2 V. Sommati come semplici numeri sono 168 V, più dell’alimentazione.
Sommati ad angolo retto torna: √(95,8² + 72,2²) = 120 V, la tensione di alimentazione.
Risposta
|Z| = 62,6 Ω, I = 1,92 A e φ = 37,0° (corrente in ritardo).
6Errori comuni
Usare f invece di ω = 2πf in XL e XC.
Sommare R, XL e XC come semplici numeri. R è ad angolo retto rispetto a X; XL e XC puntano in direzioni opposte.
Dimenticare che la reattanza capacitiva si sottrae: X = XL − XC.
Lasciare L in mH o C in µF, oppure usare una calcolatrice impostata in radianti quando vuoi φ in gradi.
Autoverifica Un circuito RLC serie ha R = 40 Ω, XL = 50 Ω e XC = 20 Ω. Quanto vale |Z|?
110 Ω
50 Ω
70 Ω
80,6 Ω
Risposta: 50 Ω. X = 50 − 20 = 30 Ω, quindi |Z| = √(40² + 30²) = 50 Ω. Sommare XC invece di sottrarla dà √(40² + 70²) = 80,6 Ω; 110 Ω somma tutto come semplici numeri.
7Come sono fatte le domande d’esame
Facile: un circuito RL serie alimentato a 50 Hz o 60 Hz. Trovi |Z| oppure la corrente efficace I.
Medio: un circuito RLC serie a varie frequenze. Trovi la corrente I oppure l’angolo di fase φ, che è negativo quando XC è maggiore di XL.
Difficile: un circuito RLC serie in cui trovi la tensione sul condensatore, la corrente o la frequenza di risonanza.
Per la tensione sul condensatore, trova prima I e poi VC = I·XC. Vicino alla risonanza può essere maggiore della tensione di alimentazione.
In risonanza XL = XC, quindi si annullano a vicenda e |Z| = R. La frequenza di alimentazione non ha importanza per questo:
Trova la reattanza XC di un condensatore da 1 µF a 100 Hz.
C = 1 µFf = 100 Hz
Calcola XC(Ω)
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Trasforma L e C in reattanze: XL = 2πfL e XC = 1/(2πfC).
Converti prima i µF in F: moltiplica per 10⁻⁶.
ω = 628,3 rad/s.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.
Reattanza
ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·1·10⁻⁶) = 1592 Ω
Risposta
XC = 1592 Ω
Esempio 2Media
Un circuito RLC serie con L = 200 mH deve entrare in risonanza a 1000 Hz. Trova la capacità C necessaria.
f0 = 1000 HzL = 200 mH
Calcola C(µF)
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In risonanza XL = XC, da cui f₀ = 1/(2π√(LC)).
Riordina: C = 1/((2πf₀)²·L).
(2πf₀)² = 3,948 × 10⁷ s⁻².
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Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.
Condizione di risonanza
In risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano: ωL = 1/(ωC).
ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0,2) = 0,1267 µF
Risposta
C = 0,1267 µF
Esempio 3Difficile
Un circuito RLC serie ha R = 20 Ω, L = 200 mH e C = 1 µF. Trova il suo fattore di qualità Q in risonanza.
R = 20 ΩL = 200 mHC = 1 µF
Calcola Q
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Trova prima la frequenza di risonanza f₀ = 1/(2π√(LC)).
Q = ω₀L/R = (1/R)·√(L/C).
f₀ = 355,9 Hz, Q = 22,36.
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Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.
Frequenza di risonanza
f0 = 1/(2π·√(0,2·1·10⁻⁶)) = 355,9 Hz
Fattore di qualità
Q confronta la reattanza in risonanza con la resistenza: Q = ω₀L/R.
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,2/(1·10⁻⁶)) = 22,36
Risposta
Q = 22,36
Domande e risposte
Impedenza AC e fasori: di cosa si tratta?
L’alimentazione di rete è corrente alternata (AC): la tensione oscilla verso l’alto e verso il basso come un’onda sinusoidale, molte volte al secondo.
La frequenza f è il numero di oscillazioni complete al secondo, in hertz (Hz). La rete è a 50 Hz in Europa e a 60 Hz in Nord America.
Impedenza AC e fasori: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.
Impedenza AC e fasori: quali sono gli errori più comuni?
Usare f invece di ω.
Sommare i moduli delle impedenze invece dei valori complessi.
Dimenticare che la reattanza capacitiva è negativa nell’impedenza complessa.
Impedenza AC e fasori: che cosa si esercita?
Facile: RL serie
Media: RLC serie
Difficile: tensione sul condensatore e risonanza
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