Convoluzione e sistemi LTI: esercizi con soluzioni passo passo

Esercizi gratuiti su Convoluzione e sistemi LTI con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: convoluzione discreta, convoluzione continua, risposta impulsiva e serie di Fourier.

Esercizio gratuitoFacile
x[n]n−10−31224334h[n]n−101112134

Le sequenze x[n] = {−3, 2, 4, 3} e h[n] = {1, 1, 1} partono entrambe da n = 0. Trova il campione y[1] della convoluzione y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−3, 2, 4, 3}, n = 0…3h[n] = {1, 1, 1}, n = 0…2
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Su cosa ti eserciti

  1. Facileconvoluzione discreta
  2. Mediaconvoluzione continua
  3. Difficilerisposta impulsiva e serie di Fourier

Come risolvere gli esercizi di Convoluzione e sistemi LTI

  1. Disegna entrambi i segnali e annota dove ciascuno è non nullo.
  2. Ribalta h e falla scorrere: per ogni istante di uscita, trova l’intervallo in cui i due segnali si sovrappongono.
  3. Moltiplica e somma (discreto) oppure moltiplica e integra (continuo) solo su quella sovrapposizione.
  4. Controlla il risultato: l’uscita inizia alla somma degli istanti iniziali, finisce alla somma degli istanti finali, e la sua area o somma è il prodotto delle aree o somme degli ingressi.

Errori comuni

  • Moltiplicare i due segnali campione per campione invece di convolverli.
  • Traslare h senza ribaltarla, il che dà la correlazione.
  • Usare la formula della risposta al gradino dove si chiede la risposta impulsiva, o viceversa.
  • Contare male l’ordine dell’armonica: la componente a k/T è l’armonica k.

Formule chiave

Convoluzione discreta
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
Convoluzione continua
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
Lunghezza e somma
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
Inizio, fine e area
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
Gradino in e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
Sistema del primo ordine
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
Ricorsione del primo ordine
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
Sinusoide attraverso h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
Ampiezze della serie di Fourier
onda quadra ±A: 4A/(kπ), k dispari; onda triangolare ±A: 8A/(π²k²), k dispari; treno di impulsi: A·D e (2A/(kπ))|sin kπD|

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Prima di questo: Integrali

1Che cosa fa la convoluzione

Un sistema lineare tempo-invariante (LTI) è descritto completamente dalla sua risposta impulsiva h: l’uscita che dà quando l’ingresso è un singolo breve impulso.

Qualsiasi ingresso si può vedere come una fila di impulsi scalati e traslati. Ogni impulso produce una copia scalata e traslata di h, e l’uscita è la somma di tutte le copie. Quella somma è la convoluzione y = x ∗ h.

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

La convoluzione compare ovunque un sistema abbia memoria: filtri, sensori, strutture, circuiti e la diffusione di un segnale nel tempo.

Autoverifica Un sistema ha h[n] = {1, 3} (n = 0, 1). L’ingresso è un solo campione x[0] = 2. Qual è l’uscita?
  1. y[n] = {2, 3}
  2. y[n] = {2, 6}
  3. y[n] = {3, 1}
  4. y[n] = {8}

Risposta: y[n] = {2, 6}. Un impulso di altezza 2 dà una copia di h scalata di 2: {2·1, 2·3} = {2, 6}. La convoluzione mantiene la forma di h; non somma i campioni tra loro.

2Convoluzione discreta passo dopo passo

Per le sequenze la convoluzione è una somma:

y[n] = Σk x[k]·h[n − k]
  1. Ribalta h: h[−k] è h specchiata rispetto a k = 0.
  2. Trasla la h ribaltata di n.
  3. Moltiplicala campione per campione con x e somma i prodotti. Questo dà y[n].
  4. Ripeti per ogni n. Se x ha Lx campioni e h ne ha Lh, y ha Lx + Lh − 1 campioni, che partono dalla somma dei due indici iniziali.

Un controllo rapido: la somma di tutti i campioni di y è uguale a (Σx)·(Σh).

Autoverifica Per x[n] = {1, 2} e h[n] = {3, 1}, entrambe a partire da n = 0, quanto vale y[1]?
  1. 2
  2. 5
  3. 6
  4. 7

Risposta: 7. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1·1 + 2·3 = 7. Moltiplicare solo x[1]·h[1] dà 2, e 6 tiene solo uno dei due prodotti.

3Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Convolvi x[n] = {2, 1, −1} con h[n] = {1, 3}, entrambe a partire da n = 0.

1

Osserva le sequenze

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

x ha 3 campioni e h ne ha 2, quindi y ha 3 + 2 − 1 = 4 campioni, da n = 0 a n = 3.

2

y[0]

Si sovrappongono solo x[0] e h[0].

y[0] = 2·1 = 2
3

y[1]

y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 2·3 + 1·1 = 7
4

y[2] e y[3]

y[2] = x[1]·h[1] + x[2]·h[0] = 1·3 + (−1)·1 = 2
y[3] = x[2]·h[1] = (−1)·3 = −3
5

Controlla il risultato

Σx = 2 e Σh = 4, quindi Σy deve essere 8. Infatti 2 + 7 + 2 − 3 = 8.

Risposta

y[n] = {2, 7, 2, −3} per n = 0 … 3.

4Convoluzione continua

Per i segnali a tempo continuo la somma diventa un integrale:

y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ

Il metodo è lo stesso: ribalta h, falla scorrere fino alla posizione t e integra il prodotto sulla parte in cui entrambi i segnali sono non nulli.

x(t)t12h(t)t1

Con x(t) = 2 per 0 ≤ t < 1 s e h(t) = e−tu(t), l’uscita mentre l’impulso è attivo è y(t) = ∫₀ᵗ 2e−(t − τ) dτ = 2(1 − e−t). In t = 1 s raggiunge 2(1 − e−1) = 1,26, e dopo decade come 1,26·e−(t − 1).

  • y inizia alla somma dei due istanti iniziali e finisce alla somma dei due istanti finali.
  • L’area sotto y è l’area sotto x per l’area sotto h.
  • Due impulsi rettangolari danno un trapezio; due uguali danno un triangolo.
Autoverifica x(t) è non nullo da 0 a 2 s e h(t) da 1 s a 4 s. Quando finisce y(t) = x(t) ∗ h(t)?
  1. 3 s
  2. 4 s
  3. 5 s
  4. 6 s

Risposta: 6 s. y finisce alla somma degli istanti finali: 2 + 4 = 6 s. Inizia a 0 + 1 = 1 s, quindi dura 5 s; 5 s è la durata, non la fine.

5Risposte impulsive e serie di Fourier

Un sistema del primo ordine y′ + a·y = b·x ha la risposta impulsiva h(t) = b·e−atu(t). Il suo cugino discreto y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] ha h[n] = b·aⁿ per n ≥ 0.

Una sinusoide attraversa un sistema LTI con la frequenza invariata. Viene scalata di |H(jω)| e sfasata di ∠H(jω), dove H è la trasformata di Fourier di h. Per h(t) = b·e−atu(t), H(jω) = b/(a + jω).

Un segnale periodico di periodo T è una somma di armoniche alle frequenze k/T. Alcune ampiezze standard:

  • Onda quadra tra −A e +A: solo k dispari, ampiezza 4A/(kπ).
  • Onda triangolare tra −A e +A: solo k dispari, ampiezza 8A/(π²k²).
  • Treno di impulsi di altezza A e rapporto di lavoro D: valor medio A·D, armoniche (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
Autoverifica Un’onda quadra commuta tra −2 e +2. Qual è l’ampiezza della sua terza armonica?
  1. 0,283
  2. 0,424
  3. 0,849
  4. 2,546

Risposta: 0,849. 4A/(kπ) = 8/(3π) = 0,849. 2,546 è la fondamentale, 0,283 divide per k² come per un’onda triangolare, e 0,424 usa 2A/(kπ), la formula per un’onda da 0 ad A.

6Errori comuni

  • Moltiplicare i due segnali campione per campione invece di convolverli.
  • Far scorrere h senza ribaltarla; questo dà la correlazione, non la convoluzione.
  • Confondere la risposta impulsiva con la risposta al gradino: la risposta al gradino è la somma cumulata o l’integrale di h.
  • Contare male le armoniche: la componente a k/T è l’armonica k.
Autoverifica x[n] = {1, 2} e h[n] = {1, 1}, entrambe da n = 0. Quanto vale y[1]?
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

Risposta: 3. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1 + 2 = 3. Il prodotto campione per campione x[1]·h[1] dà solo 2.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: convoluzione discreta. Trovi un campione dell’uscita, il campione massimo, la somma di tutti i campioni, il primo o l’ultimo indice di y, l’uscita di un filtro FIR o la risposta a un gradino.
  • Medio: convoluzione continua. Trovi y(t) in un dato istante per due impulsi, un esponenziale con un gradino o un impulso, o due esponenziali, e l’area, l’inizio, la fine o la durata di y.
  • Difficile: risposte impulsive e serie di Fourier. Trovi h(t) di un’equazione differenziale del primo ordine, h[n] o la risposta al gradino di una ricorsione, il guadagno o la fase per una sinusoide, o un’armonica di un’onda quadra, triangolare o a treno di impulsi.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
x[n]n−1041−32−234h[n]n−10311234

Le sequenze x[n] = {4, −3, −2} e h[n] = {3, 1} partono entrambe da n = 0. Trova il campione y[1] della convoluzione y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1

Calcola y[1]

Mostra i suggerimenti
  1. y[n] = Σ x[k]·h[n − k].
  2. Per n = 1 i termini sono k = 0, 1.
  3. x[0]·h[1] + x[1]·h[0].
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Convoluzione discreta: l’uscita di un sistema lineare tempo-invariante è y[n] = Σk x[k]·h[n − k]: ribalta h, traslala di n, moltiplica campione per campione con x e somma. Se x ha Lx campioni che partono da nx e h ha Lh campioni che partono da nh, allora y ha Lx + Lh − 1 campioni che partono da nx + nh. La somma di tutti i campioni di y è uguale a (Σx)·(Σh). Un filtro FIR y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … è una convoluzione con h[n] = bn.

Termini della somma

Contribuiscono solo i k per cui esistono sia x[k] sia h[n − k].

x[0]·h[1] = 4·1 = 4
x[1]·h[0] = −3·3 = −9

Sommale

y[1] = −5

Risposta

y[1] = −5
Esempio 2Media
x(t)t11h(t)t1

L’impulso x(t) = 1 per 0 ≤ t < 1 s (nullo altrove) è applicato a un sistema con h(t) = e−2tu(t). Trova l’uscita y(2,5) in t = 2,5 s, dopo che l’impulso è terminato.

x(t) = 1, 0 ≤ t < 1 sh(t) = e−2tu(t)t = 2,5 s

Calcola y(2.5)

Mostra i suggerimenti
  1. Scrivi l’impulso come un gradino in t = 0 meno un gradino in t = 1 s.
  2. La risposta al gradino è (A/a)(1 − e−at).
  3. Dopo l’impulso: y(t) = y(1)·e−a(t − 1).
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Convoluzione continua: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Ribalta h, falla scorrere fino alla posizione t e integra il prodotto delle parti sovrapposte. Per segnali causali l’integrale va da 0 a t. Risultati utili: l’area di y è l’area di x per l’area di h; se x dura da t₁ a t₂ e h da t₃ a t₄, y dura da t₁ + t₃ a t₂ + t₄. Per h(t) = e−atu(t) e un gradino di altezza A, y(t) = (A/a)(1 − e−at).

Uscita alla fine dell’impulso

y(1) = (1/2)(1 − e−2) = 0,4323

Decadimento dopo l’impulso

y(2,5) = 0,4323·e−2·1,5 = 0,02152

Risposta

y(2,5) = 0,02152
Esempio 3Difficile
δ(t)y′ + 5y = 3xh(t)

Un sistema obbedisce a y′(t) + 5·y(t) = 3·x(t). Trova la sua risposta impulsiva in t = 0,05 s, h(0,05).

y′ + 5y = 3xt = 0,05 s

Calcola h(0.05)

Mostra i suggerimenti
  1. Applica la trasformata di Laplace con condizioni iniziali nulle: (s + 5)Y(s) = 3X(s).
  2. H(s) = 3/(s + 5).
  3. h(t) = 3·e−5tu(t).
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Risposta impulsiva e serie di Fourier: la risposta impulsiva h(t) descrive completamente un sistema LTI: per y′ + a·y = b·x è h(t) = b·e−atu(t), e per y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] è h[n] = b·aⁿu[n]. Una sinusoide cos ωt passa con guadagno |H(jω)| e fase ∠H(jω), dove H è la trasformata di Fourier di h. Un segnale periodico è una somma di armoniche a k/T: un’onda quadra di ±A ha solo armoniche dispari con ampiezze 4A/(kπ), un’onda triangolare di picco A ha 8A/(π²k²), e un treno di impulsi di altezza A e rapporto di duty D ha il valor medio A·D e le armoniche (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.

Funzione di trasferimento

H(s) = Y(s)/X(s) = 3/(s + 5)

Risposta all’impulso

h(t) = 3·e−5tu(t)
h(0,05) = 3·e−0,25 = 2,336

Risposta

h(0,05) = 2,336

Domande e risposte

Convoluzione e sistemi LTI: di cosa si tratta?

Un sistema lineare tempo-invariante (LTI) è descritto completamente dalla sua risposta impulsiva h: l’uscita che dà quando l’ingresso è un singolo breve impulso.

Qualsiasi ingresso si può vedere come una fila di impulsi scalati e traslati. Ogni impulso produce una copia scalata e traslata di h, e l’uscita è la somma di tutte le copie. Quella somma è la convoluzione y = x ∗ h.

Convoluzione e sistemi LTI: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
  1. Disegna entrambi i segnali e annota dove ciascuno è non nullo.
  2. Ribalta h e falla scorrere: per ogni istante di uscita, trova l’intervallo in cui i due segnali si sovrappongono.
  3. Moltiplica e somma (discreto) oppure moltiplica e integra (continuo) solo su quella sovrapposizione.
  4. Controlla il risultato: l’uscita inizia alla somma degli istanti iniziali, finisce alla somma degli istanti finali, e la sua area o somma è il prodotto delle aree o somme degli ingressi.
Convoluzione e sistemi LTI: quali sono gli errori più comuni?
  • Moltiplicare i due segnali campione per campione invece di convolverli.
  • Traslare h senza ribaltarla, il che dà la correlazione.
  • Usare la formula della risposta al gradino dove si chiede la risposta impulsiva, o viceversa.
  • Contare male l’ordine dell’armonica: la componente a k/T è l’armonica k.
Convoluzione e sistemi LTI: che cosa si esercita?
  • Facile: convoluzione discreta
  • Media: convoluzione continua
  • Difficile: risposta impulsiva e serie di Fourier

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