Segnali e sistemi: esercizi e domande d’esame

Convoluzione discreta: l’uscita di un sistema lineare tempo-invariante è y[n] = Σ_k x[k]·h[n − k]: ribalta h, traslala di n, moltiplica campione per campione con x e somma. Se x ha L_x campioni che partono da n_x e h ha L_h campioni che partono da n_h, allora y ha L_x + L_h − 1 campioni che partono da n_x + n_h. La somma di tutti i campioni di y è uguale a (Σx)·(Σh). Un filtro FIR y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … è una convoluzione con h[n] = b_n.

Trasformata di Laplace: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt trasforma le derivate in moltiplicazioni per s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Coppie standard: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), e una traslazione s → s + σ moltiplica la funzione nel tempo per e^−σt. Per antitrasformare una F(s) razionale, scomponila in fratti semplici: il residuo di un polo semplice p è A = [(s − p)·F(s)] in s = p. Teorema del valore finale: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), valido solo quando tutti i poli di s·F(s) giacciono nel semipiano sinistro. Teorema del valore iniziale: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).