Calcolatore dell’antitrasformata di Laplace (fratti semplici)
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Risultato
Trova l’antitrasformata di Laplace di una funzione razionale F(s) = N(s)/D(s). Inserisci i coefficienti del numeratore e del denominatore, a partire dalla potenza più alta di s. Il calcolatore semplifica i fattori comuni, esegue la divisione se la frazione è impropria, trova i poli, calcola ogni coefficiente dei fratti semplici (per poli distinti, multipli e complessi) e scrive f(t) come somma di esponenziali, potenze di t, seni e coseni.
Soluzione passo passo
Scrivi F(s) come rapporto di polinomi
Poli: radici del denominatore
Fratti semplici
Coppie di trasformate usate
Antitrasformata di Laplace
Come trovare un’antitrasformata di Laplace con i fratti semplici
- Assicurati che F(s) sia propria: se il grado del numeratore non è inferiore a quello del denominatore, esegui prima la divisione. La parte polinomiale dà impulsi δ(t), δ′(t) e così via.
- Scomponi il denominatore per trovare i poli: un polo reale a dà un fattore (s − a), una coppia complessa a ± bj dà (s − a)² + b².
- Scrivi F(s) come somma di fratti semplici e trova i coefficienti. Per un polo semplice, A = [(s − a)·F(s)] in s = a (regola dei residui, o del “coprire”); i poli multipli richiedono le derivate.
- Trasforma ogni termine con la tabella: 1/(s − a) ↔ e^(at), 1/(s − a)ⁿ ↔ tⁿ⁻¹·e^(at)/(n − 1)! e (s − a)/((s − a)² + b²) ↔ e^(at)·cos bt.
- Somma i termini per ottenere f(t) per t ≥ 0.
Domande e risposte
Come inserisco F(s)?
Scrivi i coefficienti di ciascun polinomio dalla potenza più alta di s in giù, separati da spazi, con zeri per le potenze mancanti. (s + 3)/(s² + 3s + 2) ha numeratore 1 3 e denominatore 1 3 2; 1/(s³ + 4s) ha numeratore 1 e denominatore 1 0 4 0. Sono ammesse frazioni come 1/2 e numeri decimali.
Cos’è il metodo dei residui (cover-up)?
Per un polo semplice in s = a, moltiplica F(s) per (s − a), semplifica e sostituisci s = a. Per F(s) = (s + 3)/((s + 1)(s + 2)) si ottiene 2/1 = 2 in s = −1 e 1/(−1) = −1 in s = −2, quindi f(t) = 2e^(−t) − e^(−2t).
Come vengono trattati i poli complessi?
Una coppia di poli a ± bj dà un termine (B(s − a) + C·b)/((s − a)² + b²), la cui antitrasformata è e^(at)·(B cos bt + C sin bt). Il calcolatore ricava B e C dal coefficiente complesso A in a + bj: B = 2·Re A e C = −2·Im A.
E se il grado del numeratore è troppo alto?
Allora F(s) è impropria. La divisione tra polinomi dà F(s) = Q(s) + R(s)/D(s). Il polinomio Q(s) si trasforma in impulsi: una costante c dà c·δ(t), c·s dà c·δ′(t) e così via. La parte propria R(s)/D(s) si sviluppa in fratti semplici come al solito.
Quanto sono esatti i risultati?
I fattori comuni e i fattori ripetuti vengono trovati esattamente, con le frazioni. Le radici e i coefficienti sono poi calcolati numericamente con circa 14 cifre e mostrati con 4 cifre significative, quindi i poli irrazionali, come quelli di s² + s + 1, compaiono come decimali.
Perché f(t) vale solo per t ≥ 0?
La trasformata di Laplace unilatera usa solo i valori di f per t ≥ 0. A rigore il risultato è f(t)·u(t), con u il gradino unitario, quindi f(t) = 0 per t < 0.
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