Calcolatore della trasformata di Laplace
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Risultato
Trova la trasformata di Laplace di una funzione fatta di termini comuni: potenze di t, esponenziali, seni e coseni (con una fase), sinh e cosh, funzioni gradino traslate u(t − c) e impulsi δ(t − c). Il calcolatore trasforma ogni termine con la tabella standard e i teoremi della traslazione, mostra quali voci ha usato e fornisce F(s) con la sua regione di convergenza.
Soluzione passo passo
Trasforma ogni termine
Voci di tabella usate
Somma le trasformate (linearità)
Come trovare una trasformata di Laplace con la tabella
- Dividi f(t) in una somma di termini; la trasformata di Laplace è lineare.
- Usa le coppie di base: L{tⁿ} = n!/sⁿ⁺¹, L{sin ωt} = ω/(s² + ω²) e L{cos ωt} = s/(s² + ω²).
- Moltiplicare per e^(at) trasla s: L{e^(at) f(t)} = F(s − a).
- Un termine ritardato g(t)·u(t − c) si trasforma in e^(−cs)·L{g(t + c)}.
- Somma le trasformate dei termini; F(s) esiste per Re(s) maggiore dell’esponente a più grande.
Domande e risposte
Come scrivo f(t)?
Ad esempio 3t^2 e^(-2t) + 5sin(4t) - 2e^(-t)cos(3t) + 4u(t-1). Usa ^ per le potenze, e^(at) o exp(at) per gli esponenziali, u(t-c) per un gradino e δ(t-c) o delta(t-c) per un impulso. È ammessa una fase, come in sin(2t + 1).
Qual è la differenza tra t·u(t − 1) e (t − 1)·u(t − 1)?
La seconda è una rampa ritardata e si trasforma in e^(−s)/s². La prima è t·u(t − 1) = ((t − 1) + 1)·u(t − 1), che si trasforma in e^(−s)(1/s² + 1/s). Il calcolatore tratta entrambe scrivendo g(t + c).
Come si trasformano t·sin(ωt) e t·cos(ωt)?
Tramite L{tⁿ e^(jωt)} = n!/(s − jω)ⁿ⁺¹: la parte immaginaria dà il seno e la parte reale il coseno, ad esempio L{t sin ωt} = 2ωs/(s² + ω²)².
Cos’è la regione di convergenza?
I valori di s per cui l’integrale della trasformata converge: Re(s) maggiore del più grande tasso di crescita in f(t). Per e^(3t) è Re(s) > 3.
Posso inserire un prodotto di due seni?
Non direttamente. Riscrivilo prima con una formula di prostaferesi (da prodotto a somma), ad esempio sin(at)·cos(bt) = ½[sin((a + b)t) + sin((a − b)t)].
Esercitati da solo
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