Equazioni differenziali: esercizi con soluzioni passo passo
Detto anche: equazioni differenziali ordinarie · problema di Cauchy
Esercizi gratuiti su Equazioni differenziali con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: crescita e decadimento esponenziale, Legge di raffreddamento di Newton, lineari del primo ordine.
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Prima di questo: Derivate, Integrali
1Che cos’è un’equazione differenziale
Un’equazione differenziale collega una grandezza alla propria velocità di variazione. Descrive come qualcosa cambia, non che cos’è.
I batteri si dividono, quindi una colonia più grande cresce più in fretta. La velocità di crescita è proporzionale al numero di cellule N:
dN/dt = k · N
Qui dN/dt è la derivata di N rispetto al tempo t, e k è la costante di velocità. Con k = 0,4 h⁻¹ e N = 1000 cellule, la colonia in quel momento cresce di 400 cellule all’ora.
Risolvere l’equazione significa trovare la funzione N(t) stessa. Serve anche un valore iniziale, come N(0) = 200. Si chiama condizione iniziale.
Autoverifica Una popolazione segue dN/dt = 0,2 · N. In questo momento N = 500. Quanto velocemente cresce?
- 0,2 all’ora
- 100 all’ora
- 2500 all’ora
- 500 all’ora
Risposta: 100 all’ora. Inserisci i numeri nell’equazione: dN/dt = 0,2 · 500 = 100. Dividere 500 per 0,2 dà 2500, che usa k al contrario.
2Crescita e decadimento esponenziali
L’equazione dy/dt = k·y ha sempre la stessa soluzione, una funzione esponenziale:
y(t) = y0 · ekt
Qui y0 è il valore in t = 0. Un k positivo significa crescita. Per il decadimento l’equazione è dy/dt = −k·y e la soluzione è y = y0e−kt.
Il decadimento radioattivo viene spesso dato tramite il suo tempo di dimezzamento t½: il tempo dopo il quale resta metà della sostanza. La costante di velocità ne discende:
k = ln 2 / t½
Per trovare un tempo, prendi il logaritmo naturale di entrambi i membri:
t = ln(y / y0) / k
Per esempio, 200 cellule che crescono con k = 0,4 h⁻¹ raggiungono 1000 cellule dopo t = ln(5)/0,4 ≈ 4,02 h.
Autoverifica Una sostanza ha un tempo di dimezzamento di 10 giorni. Parti da 80 mg. Quanto ne resta dopo 20 giorni?
- 0 mg
- 20 mg
- 40 mg
- 60 mg
Risposta: 20 mg. 20 giorni sono due tempi di dimezzamento: 80 → 40 → 20 mg. 0 mg deriva dal pensare che due metà facciano l’intero; la quantità si dimezza ogni volta.
3Raffreddamento ed equazioni lineari
Legge del raffreddamento di Newton: un oggetto caldo si raffredda più in fretta quando è molto più caldo dell’ambiente. Con la temperatura ambiente Ta:
dT/dt = −k · (T − Ta) ⇒ T(t) = Ta + (T0 − Ta) · e−kt
La differenza T − Ta decade esponenzialmente, quindi la temperatura tende alla temperatura ambiente e non scende mai al di sotto.
Per trovare k da una misura, inserisci i valori noti e prendi ln: k = −ln[(T1 − Ta)/(T0 − Ta)] / t1.
Un’equazione lineare del primo ordine ha la forma y′ + p(x)·y = q(x). Moltiplicala per il fattore integrante μ:
μ = e∫p dx, (μ·y)′ = μ·q
Poi integra entrambi i membri e dividi per μ. Per p = 2/x, μ = e2 ln x = x².
Autoverifica Del tè a 90 °C viene lasciato in una stanza a 20 °C. A quale temperatura si avvicina dopo un tempo molto lungo?
- 0 °C
- 20 °C
- 55 °C
- 90 °C
Risposta: 20 °C. Il termine (T0 − Ta)e−kt tende a 0, quindi T tende a Ta = 20 °C. 0 °C sarebbe la risposta se dimenticassi la temperatura ambiente.
4Il metodo passo dopo passo
- Riconosci il tipo: dy/dt = ky (crescita o decadimento), raffreddamento di Newton, oppure y′ + p(x)y = q(x).
- Scrivi la soluzione standard per quel tipo.
- Usa i dati forniti per trovare le costanti: y0 dal valore iniziale, k da un tempo di dimezzamento o da una seconda misura.
- Rispondi alla domanda: inserisci un tempo per trovare un valore, oppure usa ln per trovare un tempo.
- Controlla le unità di k (h⁻¹, min⁻¹) rispetto alle unità di t.
Per un’equazione lineare: trova μ, integra (μy)′ = μq, aggiungi la costante C, poi usa la condizione iniziale per trovare C.
5Un esempio svolto
Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.
Esempio svoltoUn tracciante radioattivo ha un tempo di dimezzamento di 8 giorni. Un campione contiene 60 mg all’inizio. Il decadimento segue dm/dt = −k·m. Quanto m resta dopo 12 giorni?
1Questo è un decadimento esponenziale, quindi la soluzione è:
m(t) = m0 · e−kt, m0 = 60 mg
2k = ln 2 / 8 = 0,6931 / 8 = 0,08664 giorno⁻¹
3k · t = 0,08664 · 12 = 1,0397
m = 60 · e−1,0397 = 60 · 0,3536 = 21,21 mg
412 giorni sono 1,5 tempi di dimezzamento. Dopo 8 giorni restano 30 mg e dopo 16 giorni 15 mg, quindi 21,2 mg sta in mezzo, come previsto.
60 · 0,51,5 = 21,21 mg
Risposta Dopo 12 giorni restano m ≈ 21,2 mg.
6Errori comuni
- Nella legge del raffreddamento di Newton, dimenticare di sottrarre e di sommare di nuovo la temperatura ambiente Ta.
- Usare un esponente positivo per il decadimento, così la quantità cresce invece di diminuire.
- Usare log10 invece del logaritmo naturale ln.
- Mescolare le unità di tempo, come k in min⁻¹ con t in ore.
- Con un fattore integrante, moltiplicare per μ solo il membro di sinistra.
Autoverifica Un pezzo a 80 °C si raffredda in una stanza a 20 °C. A un certo istante t, e−kt = 0,5. Qual è allora la sua temperatura?
- 30 °C
- 40 °C
- 50 °C
- 60 °C
Risposta: 50 °C. T = 20 + (80 − 20) · 0,5 = 20 + 30 = 50 °C. Dimezzare direttamente 80 dà 40 °C, il che dimentica la temperatura ambiente.
7Come sono fatte le domande d’esame
- Facile: crescita e decadimento esponenziali. Trova la quantità dopo un certo tempo, o il tempo per raggiungere una quantità, spesso partendo da un tempo di dimezzamento.
- Medio: legge del raffreddamento di Newton. Usa una misura per trovare k, poi trova una temperatura o un tempo.
- Difficile: un’equazione lineare del primo ordine come y′ + 2y/x = 3 con y(1) = 1. Usa il fattore integrante e trova y in un altro x.
Un controllo rapido: le risposte per decadimento e raffreddamento devono stare tra il valore iniziale e il valore finale (0, oppure la temperatura ambiente).
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