Vettori: prodotto scalare e vettoriale: esercizi con soluzioni passo passo

Detto anche: prodotto scalare · prodotto vettoriale

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Esercizio gratuitoFacile
xyza

Trova il modulo |a| del vettore a = (6, −5, 9).

a = (6, −5, 9)
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Su cosa ti eserciti

  1. Facilemodulo e componenti
  2. Mediaprodotto scalare
  3. Difficileprodotto vettoriale e momenti

Come risolvere gli esercizi di Vettori: prodotto scalare e vettoriale

  1. Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
  2. Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
  3. Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.

Errori comuni

  • Sommare i moduli invece delle componenti.
  • Sbagliare il segno della componente centrale (y) di un prodotto vettoriale.
  • Usare la posizione del punto invece di r = A − O in un momento.
  • Calcolare l’arctan senza controllare il quadrante.

Formule chiave

Modulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Versore
û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Prodotto scalare
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b
a·b/|b|
Lavoro
W = F·d
Prodotto vettoriale
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Aree
parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O
MO = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo
V = |a·(b × c)|

Impara Vettori: prodotto scalare e vettoriale da zero

1Che cos’è un vettore

Alcune grandezze hanno bisogno solo di un numero: una massa di 5 kg o una temperatura di 20 °C. Sono scalari.

Altre grandezze richiedono anche una direzione. Una forza di 40 N che spinge verso l’alto è molto diversa da 40 N che spinge di lato. Sono vettori.

Descrivi un vettore con le sue componenti: fin dove arriva lungo x, lungo y e lungo z. Il vettore a = (4, 3, 0) arriva a 4 unità lungo x, 3 lungo y e 0 lungo z.

xyaax​ = 4ay​ = 3θO

Forze, spostamenti e velocità sono tutti vettori. Gli ingegneri usano la matematica dei vettori per sommare forze, trovare angoli e calcolare momenti in tre dimensioni.

I vettori si sommano componente per componente: (1, 2, 0) + (3, −1, 4) = (4, 1, 4). Così si trova la risultante di più forze.

Autoverifica Qual è la lunghezza del vettore a = (3, 4, 0)?
  1. 1
  2. 25
  3. 5
  4. 7

Risposta: 5. La lunghezza è √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5. Sommare le componenti (7) è sbagliato perché sono perpendicolari, e 25 dimentica la radice quadrata.

2Lunghezza, direzione e componenti

Il modulo |a| è la lunghezza del vettore. È Pitagora in tre dimensioni:

|a| = √(ax² + ay² + az²)

Un versore (vettore unitario) ha lunghezza 1 e punta nella stessa direzione. Lo ottieni dividendo ogni componente per il modulo:

û = a / |a|

Per a = (0, 3, 4) il modulo è 5, quindi û = (0, 0,6, 0,8). Verifica: 0,6² + 0,8² = 1.

Una forza nel piano xy è spesso data come intensità F e angolo θ, misurato in senso antiorario dal semiasse x positivo. Le sue componenti sono:

Fx = F·cos θ Fy = F·sin θ

Coseno e seno danno automaticamente i segni. Una forza a 120° ha una componente x negativa perché cos 120° = −0,5.

Tornando dalle componenti a un angolo, arctan(Ry/Rx) dà solo risposte tra −90° e 90°. Se Rx è negativa, aggiungi 180°. Se è negativa solo Ry, aggiungi 360°.

Autoverifica Qual è la componente y del versore nella direzione di a = (0, 3, 4)?
  1. 0,12
  2. 0,43
  3. 0,6
  4. 3

Risposta: 0,6. Dividi per il modulo 5: 3/5 = 0,6. 3 dimentica di dividere, 0,12 divide per |a|² = 25, e 0,43 divide per la somma delle componenti (7).

3Il prodotto scalare e il prodotto vettoriale

Ci sono due modi di moltiplicare due vettori. Il prodotto scalare dà un numero. Il prodotto vettoriale dà un nuovo vettore.

a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ

Qui θ è l’angolo tra i due vettori. Il prodotto scalare misura quanto i vettori puntano nella stessa direzione. È zero quando sono perpendicolari.

dFθ|F|·cos θ
  • L’angolo: cos θ = a·b / (|a|·|b|).
  • La proiezione scalare di a su b (la parte di a lungo b): a·b / |b|.
  • Il lavoro compiuto da una forza costante lungo uno spostamento: W = F·d.
  • Due vettori sono perpendicolari quando a·b = 0.

Il prodotto vettoriale a × b è un vettore perpendicolare sia ad a sia a b. La sua lunghezza è uguale all’area del parallelogramma generato dai due vettori.

a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
aba × bA

Per a = (1, 2, 0) e b = (3, 1, 0): a × b = (2·0 − 0·1, 0·3 − 1·0, 1·1 − 2·3) = (0, 0, −5). Il parallelogramma ha area 5 e il triangolo la metà, 2,5.

L’ordine conta: b × a = −(a × b). Il momento di una forza F applicata nel punto A rispetto al punto O è M = r × F, con r = A − O.

Autoverifica Per a = (2, 1, 0) e b = (1, 4, 0), qual è la componente z di a × b?
  1. 6
  2. 7
  3. 9
  4. −7

Risposta: 7. componente z = axby − aybx = 2·4 − 1·1 = 7. −7 è b × a (ordine scambiato), 6 è il prodotto scalare, e 9 somma i due prodotti invece di sottrarli.

4Il metodo passo dopo passo

  1. Scrivi ogni vettore in componenti. Per una forza data da intensità e angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
  2. Se la domanda dà dei punti, costruisci i vettori a partire da essi: il vettore da A a B è B − A.
  3. Decidi di quale strumento hai bisogno. Lunghezze e direzioni: modulo e versore. Angoli, proiezioni e lavoro: prodotto scalare. Aree, vettori perpendicolari e momenti: prodotto vettoriale.
  4. Scrivi prima la formula, poi inserisci i numeri una componente alla volta. Tieni i segni tra parentesi.
  5. Verifica il risultato: un versore ha lunghezza 1, a × b è perpendicolare ad a (quindi a·(a × b) = 0), e un angolo tra vettori sta tra 0° e 180°.

Per un versore perpendicolare a due vettori, prendi n = a × b e dividilo per la sua lunghezza. Se la domanda vuole una componente z positiva e la tua è negativa, inverti tutti i segni.

Il volume del parallelepipedo con spigoli a, b e c è |a·(b × c)|: prima il prodotto vettoriale, poi il prodotto scalare.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Una forza costante F = (6, 2, −3) N spinge un oggetto in linea retta dal punto A(1, 0, 2) al punto B(3, 4, 2). Le coordinate sono in metri. Trova il lavoro W compiuto dalla forza e l’angolo θ tra la forza e lo spostamento.

1

Costruisci lo spostamento

Lo spostamento è il vettore da A a B: sottrai il punto iniziale da quello finale.

d = B − A = (3 − 1, 4 − 0, 2 − 2) = (2, 4, 0) m
2

Lavoro con il prodotto scalare

Il lavoro è il prodotto scalare di forza e spostamento. Moltiplica le componenti corrispondenti e somma.

W = F·d = 6·2 + 2·4 + (−3)·0 = 12 + 8 + 0 = 20 J
3

I due moduli

|F| = √(6² + 2² + (−3)²) = √49 = 7 N
|d| = √(2² + 4² + 0²) = √20 ≈ 4,472 m
4

L’angolo

dFθ|F|·cos θ

Usa l’altra forma del prodotto scalare, F·d = |F|·|d|·cos θ, e risolvi per cos θ.

cos θ = 20 / (7 · 4,472) = 0,6389
θ = arccos 0,6389 ≈ 50,3°
5

Controlla il risultato

Il lavoro è positivo, quindi l’angolo deve essere minore di 90°. Lo è.

La parte della forza lungo il moto è |F|·cos θ = 7 · 0,6389 ≈ 4,47 N. Moltiplicata per la distanza 4,472 m dà di nuovo 20 J.

Risposta

W = 20 J e θ ≈ 50,3°.

6Errori comuni

  • Sommare i moduli invece delle componenti. Due forze di 3 N e 4 N ad angolo retto danno 5 N, non 7 N.
  • Usare le coordinate del punto invece di r = A − O in un momento.
  • Sbagliare il segno della componente centrale (y) di un prodotto vettoriale. È azbx − axbz, non il contrario.
  • Scambiare l’ordine in un prodotto vettoriale. b × a punta nel verso opposto ad a × b.
  • Usare arctan per una direzione senza controllare in quale quadrante si trova il vettore.
  • Dimenticare il ½ per l’area di un triangolo: è la metà di |AB × AC|.
Autoverifica Una forza F = (0, 10, 0) N agisce nel punto A(3, 0, 0) m. Qual è il modulo del suo momento rispetto a O(1, 0, 0) m?
  1. 10 N·m
  2. 20 N·m
  3. 30 N·m
  4. 40 N·m

Risposta: 20 N·m. r = A − O = (2, 0, 0) m, quindi M = r × F = (0, 0, 2·10) = (0, 0, 20) N·m. Usare il punto A stesso come r dà 30 N·m, A + O dà 40 N·m, e O da solo dà 10 N·m.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: modulo e componenti. La lunghezza di un vettore, una componente di un versore, una componente di una forza data da intensità e angolo, oppure il modulo o la direzione della risultante di due forze.
  • Medio: il prodotto scalare. Un prodotto scalare, l’angolo tra due vettori, una proiezione scalare, il lavoro compiuto da una forza tra due punti, o il valore di k che rende perpendicolari due vettori.
  • Difficile: il prodotto vettoriale e i momenti. Una componente di a × b, l’area di un parallelogramma o di un triangolo, il momento di una forza rispetto a un punto, un versore normale, o il volume di un parallelepipedo da un prodotto misto.

Per una domanda sulla perpendicolarità, poni a·b = 0. Si ottiene un’equazione lineare in k.

Per un triangolo con vertici A, B e C, usa i vettori dei lati AB = B − A e AC = C − A. L’area è ½·|AB × AC|.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
xy135°F1​F2​

Due forze agiscono in un punto del piano xy: F₁ = 110 N a 0° e F₂ = 190 N a 135°, entrambi gli angoli misurati in senso antiorario dall’asse x positivo. Trova la direzione φ della loro risultante, misurata in senso antiorario dall’asse x positivo (tra 0° e 360°).

F1 = 110 N, θ1 = 0°F2 = 190 N, θ2 = 135°

Calcola φ (°)

Mostra i suggerimenti
  1. Scomponi ogni forza nelle componenti x e y.
  2. Somma separatamente le componenti x e le componenti y.
  3. Rₓ = −24,35 N, Ry = 134,4 N.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Vectors: a vector a = (ax, ay, az) has magnitude |a| = √(ax² + ay² + az²), and the unit vector in its direction is û = a/|a|. A vector of magnitude F at an angle θ measured anticlockwise from the positive x-axis has components Fx = F·cos θ and Fy = F·sin θ. Vectors add component by component.

Componenti della risultante

Rₓ = 110·cos 0° + 190·cos 135° = −24,35 N
Ry = 110·sin 0° + 190·sin 135° = 134,4 N

Direzione

Rₓ è negativa, quindi la risultante punta nel secondo o nel terzo quadrante: somma 180° all’angolo dato dalla calcolatrice.

arctan(Ry/Rₓ) = arctan(134,4/−24,35) = −79,73°
φ = 100,3°

Risposta

φ = 100,3°
Esempio 2Media
xyzab

Trova il valore di k per cui i vettori a = (−4, −4, 0) e b = (k, 6, 4) sono perpendicolari.

a = (−4, −4, 0)b = (k, 6, 4)

Calcola k

Mostra i suggerimenti
  1. I vettori perpendicolari hanno prodotto scalare nullo.
  2. Scrivi a·b = 0 con k come incognita e risolvi l’equazione lineare.
  3. (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Il prodotto scalare è uguale a zero

a·b = (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0
−24 + (−4)·k = 0

Risolvi per k

k = −(−24)/(−4) = −6

Risposta

k = −6
Esempio 3Difficile
xyzABC

Trova l’area A del triangolo con vertici A(−3, −4, −1), B(−4, 3, −3) e C(1, 4, −4). Le coordinate sono in metri.

A(−3, −4, −1)B(−4, 3, −3)C(1, 4, −4)

Calcola A (m²)

Mostra i suggerimenti
  1. Costruisci due vettori dei lati dallo stesso vertice: AB = B − A e AC = C − A.
  2. L’area è ½·|AB × AC|.
  3. AB × AC = (−5, −11, −36).
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Vettori dei lati

AB = B − A = (−1, 7, −2)
AC = C − A = (4, 8, −3)

Prodotto vettoriale

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 7·(−3) − (−2)·8 = −5
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = (−2)·4 − (−1)·(−3) = −11
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = (−1)·8 − 7·4 = −36
|AB × AC| = √((−5)² + (−11)² + (−36)²) = 37,97

Area del triangolo

A = ½·37,97 = 18,99 m²

Risposta

A = 18,99 m²

Domande e risposte

Vettori: prodotto scalare e vettoriale: di cosa si tratta?

Alcune grandezze hanno bisogno solo di un numero: una massa di 5 kg o una temperatura di 20 °C. Sono scalari.

Altre grandezze richiedono anche una direzione. Una forza di 40 N che spinge verso l’alto è molto diversa da 40 N che spinge di lato. Sono vettori.

Vettori: prodotto scalare e vettoriale: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
  1. Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
  2. Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
  3. Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.
Vettori: prodotto scalare e vettoriale: quali sono gli errori più comuni?
  • Sommare i moduli invece delle componenti.
  • Sbagliare il segno della componente centrale (y) di un prodotto vettoriale.
  • Usare la posizione del punto invece di r = A − O in un momento.
  • Calcolare l’arctan senza controllare il quadrante.
Vettori: prodotto scalare e vettoriale: che cosa si esercita?
  • Facile: modulo e componenti
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