Probabilità: esercizi con soluzioni passo passo

Detto anche: calcolo delle probabilità · probabilità condizionata

Esercizi gratuiti su Probabilità con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: esiti equiprobabili, conteggio e complementare, distribuzione binomiale.

Esercizio gratuitoFacile
somma ≥ 4dado 1dado 2112345672234567833456789445678910556789101166789101112P = ?

Si lanciano due dadi equi. Qual è la probabilità P che la somma sia almeno 4?

2 dadi≥ 4

Scrivi la probabilità come numero decimale tra 0 e 1.

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Su cosa ti eserciti

  1. Facileesiti equiprobabili
  2. Mediaconteggio e complementare
  3. Difficiledistribuzione binomiale

Formule chiave

Complementare
P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Impara Probabilità da zero

1Che cos’è la probabilità

Una probabilità è un numero tra 0 e 1 che dice quanto è probabile qualcosa. 0 significa che non accade mai, 1 che accade sempre.

Quando tutti gli esiti sono ugualmente probabili, contali:

P(A) = numero di casi favorevoli / numero totale di casi

Un sacchetto contiene 3 palline rosse, 5 blu e 2 verdi, 10 in totale. Se ne estrai una a caso, P(blu) = 5/10 = 0,5.

Un dado equo ha 6 facce, quindi P(sei) = 1/6 ≈ 0,167 e P(pari) = 3/6 = 0,5.

Una probabilità si può scrivere anche come percentuale: 0,5 è il 50%. Le risposte d’esame di solito sono decimali tra 0 e 1.

Autoverifica Un sacchetto contiene 2 palline rosse, 8 blu e 4 verdi. Ne estrai una a caso. Quanto vale P(rossa)?
  1. 2/12 ≈ 0,167
  2. 2/14 ≈ 0,143
  3. 2/8 = 0,25
  4. 2

Risposta: 2/14 ≈ 0,143. Ci sono 2 + 8 + 4 = 14 palline, e 2 sono rosse: 2/14 ≈ 0,143. Dividere per 12 conta solo le altre palline, ma il totale deve includere anche quelle rosse.

2Regole per combinare gli eventi

  • Complementare: P(non A) = 1 − P(A). Usalo per le domande “almeno uno”: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno).
  • E, eventi indipendenti: moltiplica. Due monete eque danno P(due teste) = 0,5 · 0,5 = 0,25.
  • O: P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A e B). Sottrai la sovrapposizione per non contarla due volte.

Estrarre senza reinserimento cambia il sacchetto. Dopo aver tolto una pallina rossa, c’è una pallina rossa in meno e una pallina in meno in totale.

Con 5 palline rosse e 4 blu, P(due rosse) = 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278.

Per contare gruppi in cui l’ordine non conta, usa le combinazioni. Il numero di modi per scegliere k elementi tra n è:

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

Qui n! = n · (n − 1) · … · 1. Quindi C(6, 4) = 720 / (24 · 2) = 15 comitati di 4 persone scelte tra 6.

Autoverifica Un sacchetto contiene 5 palline rosse e 4 blu. Ne estrai due senza rimettere dentro la prima. Quanto vale P(entrambe rosse)?
  1. 0,139
  2. 0,278
  3. 0,309
  4. 0,556

Risposta: 0,278. 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278. Usare 5/9 · 5/9 ≈ 0,309 dimentica che la prima pallina rossa non è più nel sacchetto.

3La distribuzione binomiale

Alcune domande ripetono la stessa prova n volte: collaudare 5 componenti, tirare a indovinare 8 risposte, lanciare una moneta 3 volte. Ogni prova è un successo con probabilità p, indipendentemente dalle altre.

Il numero di successi X segue allora una distribuzione binomiale:

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
  • pᵏ: i k successi.
  • (1 − p)ⁿ⁻ᵏ: gli n − k insuccessi.
  • C(n, k): il numero di ordini diversi in cui possono cadere i successi.

Per “al massimo uno”, somma P(X = 0) e P(X = 1). Per “almeno uno”, usa 1 − P(X = 0).

Autoverifica Lanci una moneta equa 3 volte. Qual è la probabilità di ottenere esattamente 2 teste?
  1. 0,125
  2. 0,25
  3. 0,375
  4. 0,667

Risposta: 0,375. C(3, 2) · 0,5² · 0,5 = 3 · 0,125 = 0,375. Dimenticare C(3, 2) dà 0,125: è un solo ordine, come TTC, ma contano anche CTT e TCT.

4Il metodo passo dopo passo

  1. Scrivi che cos’è un esito e quanti esiti ci sono in totale.
  2. Traduci le parole: “e” significa moltiplicare, “o” significa sommare (meno la sovrapposizione), “non” significa 1 − P.
  3. Per “almeno uno”, calcola prima il complementare “nessuno”.
  4. Senza reinserimento: abbassa i conteggi dopo ogni estrazione. Oppure conta con le combinazioni.
  5. Prove indipendenti ripetute con p fissa: usa la formula binomiale.
  6. Controlla che la risposta stia tra 0 e 1.

Un diagramma ad albero aiuta quando ci sono più passi: moltiplica lungo un ramo e somma i rami che ti servono.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Un sacchetto contiene 4 palline rosse e 6 blu. Estrai due palline senza rimettere dentro la prima. Qual è la probabilità P che almeno una sia rossa?

1

Usa il complementare

“Almeno una rossa” ha tre casi: rossa–rossa, rossa–blu e blu–rossa. L’opposto, “nessuna rossa”, ha un solo caso: blu–blu.

P(almeno una rossa) = 1 − P(entrambe blu)
2

Prima estrazione

Ci sono 6 palline blu su 10.

P(prima blu) = 6/10
3

Seconda estrazione

Una pallina blu è uscita, quindi restano 5 palline blu su 9.

P(entrambe blu) = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 1/3
4/10R3/9R12/906/9B24/906/10B4/9R24/905/9B30/90

Nell’albero, R è una pallina rossa e B una blu. Il ramo in grassetto è blu–blu.

4

Prendi il complementare

P = 1 − 1/3 = 2/3 ≈ 0,667
5

Controlla il risultato

Conta con le combinazioni: ci sono C(10, 2) = 45 coppie, e C(6, 2) = 15 sono blu–blu. 15/45 = 1/3, come prima.

Anche gli altri tre rami dell’albero sommano 12/90 + 24/90 + 24/90 = 60/90 = 2/3.

Risposta

P = 2/3 ≈ 0,667

6Errori comuni

  • Sommare le probabilità per “almeno uno” invece di usare 1 − P(nessuno).
  • Dimenticare di abbassare i conteggi quando si estrae senza reinserimento.
  • Dimenticare il fattore C(n, k) nella formula binomiale.
  • Dividere per il totale sbagliato, per esempio solo per gli altri colori.
  • Dare una probabilità sopra 1 o sotto 0. È sempre il segno di un errore.
Autoverifica Lanci un dado equo due volte. Qual è la probabilità di ottenere almeno un sei?
  1. 1/3 ≈ 0,333
  2. 1/36 ≈ 0,028
  3. 11/36 ≈ 0,306
  4. 25/36 ≈ 0,694

Risposta: 11/36 ≈ 0,306. 1 − P(nessun sei) = 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36. Sommare 1/6 + 1/6 dà 1/3, che conta due volte il caso dei due sei.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: esiti ugualmente probabili. Un’estrazione da un sacchetto di palline colorate, o un lancio di un dado.
  • Medio: conteggi e complementari. Comitati con C(n, k), oppure due estrazioni senza reinserimento.
  • Difficile: la distribuzione binomiale. Esattamente k successi, oppure “al massimo uno” come P(X = 0) + P(X = 1).

Dai la risposta come decimale tra 0 e 1, arrotondato a tre o quattro decimali.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
xp(x)1?20,2530,1540,250,15

La tabella dà la distribuzione di probabilità di X, ma manca una probabilità. Trova P(X = 1).

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): ?, 0,25, 0,15, 0,2, 0,15

Calcola P(X = 1)

Mostra i suggerimenti
  1. Tutte le probabilità di una distribuzione sommano a 1.
  2. Somma le probabilità note.
  3. P = 1 − 0,75.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Somma delle probabilità note

0,25 + 0,15 + 0,2 + 0,15 = 0,75

Probabilità mancante

P(X = 1) = 1 − 0,75 = 0,25

Risposta

P(X = 1) = 0,25
Esempio 2Media
xp(x)10,1520,3530,0540,350,15μ = 2,95

Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,35, 0,05, 0,3, 0,15

Calcola Var(X)

Mostra i suggerimenti
  1. μ = Σx·p(x) = 2,95.
  2. Allora E(X²) = Σx²·p(x).
  3. Var(X) = E(X²) − μ².
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,05 + 4·0,3 + 5·0,15 = 2,95

Media dei quadrati

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,05 + 16·0,3 + 25·0,15 = 10,55

Varianza

Var(X) = 10,55 − 2,95² = 1,848

Risposta

Var(X) = 1,848
Esempio 3Difficile
n = 12, p = 0,3: P(X = 5) = ?k0123456789101112

Un test ha 12 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,3, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 5 risposte corrette?

n = 12p = 0,3k = 5

Calcola P

Mostra i suggerimenti
  1. È una distribuzione binomiale: numero fisso di prove indipendenti, stessa probabilità di successo.
  2. P(X = k) = C(n, k)·pk·(1 − p)n−k.
  3. C(12, 5) = 792.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomiale

P(X = 5) = 792·0,35·0,77 = 792·0,00243·0,08235 = 0,1585

Risposta

P = 0,1585

Domande e risposte

Probabilità: di cosa si tratta?

Una probabilità è un numero tra 0 e 1 che dice quanto è probabile qualcosa. 0 significa che non accade mai, 1 che accade sempre.

Quando tutti gli esiti sono ugualmente probabili, contali:

Probabilità: come si risolvono gli esercizi passo per passo?

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Probabilità: quali sono gli errori più comuni?
  • Questa è la somma delle probabilità note. Quella mancante è 1 meno questa somma.
  • I valori non sono ugualmente probabili: usa il fatto che tutte le probabilità sommano a 1.
  • E(X²) non è la varianza: sottrai μ².
Probabilità: che cosa si esercita?
  • Facile: esiti equiprobabili
  • Media: conteggio e complementare
  • Difficile: distribuzione binomiale

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