Calcolatore di permutazioni e combinazioni (nPr e nCr)
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Risultato
Conta in quanti modi si possono scegliere r elementi da n. Le permutazioni, nPr, contano le disposizioni ordinate; le combinazioni, nCr, contano le selezioni in cui l’ordine non conta. Il calcolatore fornisce anche i conteggi quando gli elementi possono essere ripetuti e lavora con numeri interi esatti per n e r fino a 1000: i passaggi mostrano ogni cifra, anche dei risultati molto grandi.
Soluzione passo passo
Permutazioni: l’ordine conta
Combinazioni: l’ordine non conta
Con ripetizione ammessa
Formule chiave
- Permutazioni
- P(n, r) = n!/(n − r)!
- Combinazioni
- C(n, r) = n!/(r!·(n − r)!)
- Con ripetizione
- nr se l’ordine conta, C(n + r − 1, r) altrimenti
Come calcolare permutazioni e combinazioni
- Decidi se l’ordine conta. Disporre delle persone in fila, assegnare il primo e il secondo premio o formare un codice: l’ordine conta, quindi usa le permutazioni. Scegliere una squadra o una mano di carte: l’ordine non conta, quindi usa le combinazioni.
- Permutazioni: nPr = n!/(n − r)!, il prodotto degli r fattori n·(n − 1)···(n − r + 1).
- Combinazioni: nCr = n!/(r!(n − r)!) = nPr/r!. Dividere per r! elimina gli r! ordini di ogni selezione.
- Con ripetizione ammessa, le scelte ordinate danno nʳ e le scelte non ordinate danno C(n + r − 1, r).
- Verifica con un caso piccolo: C(4, 2) = 6 e P(4, 2) = 12, perché ogni coppia può essere scritta in 2 ordini.
Domande e risposte
Qual è la differenza tra una permutazione e una combinazione?
Una permutazione è una disposizione ordinata e una combinazione è una selezione non ordinata. Dalle lettere A, B e C si possono formare 6 coppie ordinate (AB, BA, AC, CA, BC, CB) ma solo 3 coppie non ordinate ({A, B}, {A, C}, {B, C}).
Perché C(n, r) è uguale a C(n, n − r)?
Scegliere gli r elementi che prendi equivale a scegliere gli n − r elementi che lasci. Per esempio, C(10, 3) = C(10, 7) = 120.
Quanto vale 0!?
0! = 1. Così le formule funzionano agli estremi: C(n, 0) = C(n, n) = 1, perché c’è esattamente un modo di non scegliere nulla o di scegliere tutto.
Cosa sono le combinazioni con ripetizione?
Scelte non ordinate in cui lo stesso elemento può essere scelto più di una volta, come 3 palline da 10 gusti di gelato. Il numero è C(n + r − 1, r), cioè C(12, 3) = 220 in questo esempio.
Dove si usano le combinazioni in probabilità?
Nella formula binomiale, C(n, x) conta gli ordini in cui x successi possono presentarsi in n prove. Nelle lotterie e nei giochi di carte, la probabilità di una mano è il numero di combinazioni favorevoli diviso per il numero totale di combinazioni.
Esercitati da solo
Esercitati su Probabilità
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