Calcolatore della distribuzione binomiale
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Risultato
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | 0,02825 | 0,02825 |
| 1 | 0,1211 | 0,1493 |
| 2 | 0,2335 | 0,3828 |
| 3 | 0,2668 | 0,6496 |
| 4 | 0,2001 | 0,8497 |
| 5 | 0,1029 | 0,9527 |
| 6 | 0,03676 | 0,9894 |
| 7 | 0,009002 | 0,9984 |
| 8 | 0,001447 | 0,9999 |
| 9 | 0,0001378 | 1 |
| 10 | 5,905 × 10⁻⁶ | 1 |
Calcola le probabilità binomiali per n prove indipendenti, ciascuna con probabilità di successo p: esattamente x successi, al massimo x, almeno x, meno di x o più di x. Il calcolatore mostra la formula binomiale, ogni termine che somma (o il complementare, più breve), la media np e la deviazione standard √(np(1 − p)). Per n fino a 30 elenca anche l’intera distribuzione in una tabella.
Soluzione passo passo
Formula della probabilità binomiale
Somma le probabilità
Media e deviazione standard
Formule chiave
- Binomiale
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
- Complementare
- P(not A) = 1 − P(A)
Come calcolare le probabilità binomiali
- Verifica che la situazione sia binomiale: un numero fisso di prove n, due esiti per prova, la stessa probabilità di successo p ogni volta e prove indipendenti.
- Per esattamente x successi usa P(X = x) = C(n, x)·pˣ·(1 − p)ⁿ⁻ˣ, dove C(n, x) = n!/(x!(n − x)!) conta gli ordini in cui possono presentarsi i successi.
- Per “al massimo x”, somma da P(X = 0) fino a P(X = x). Per “almeno x”, somma da P(X = x) fino a P(X = n).
- Se la somma ha molti termini, usa il complementare: P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1).
- Traduci le parole con attenzione: “meno di 4” significa X ≤ 3 e “più di 4” significa X ≥ 5.
Domande e risposte
Qual è la media e la deviazione standard di una distribuzione binomiale?
La media è μ = np e la varianza è σ² = np(1 − p), quindi la deviazione standard è σ = √(np(1 − p)). Per n = 10 e p = 0,3 si ha μ = 3 e σ = 1,449.
Qual è la differenza tra “almeno” e “più di”?
“Almeno 3” include il 3: P(X ≥ 3). “Più di 3” non lo include: P(X > 3) = P(X ≥ 4). Per una distribuzione discreta sono numeri diversi, quindi scegli l’opzione che corrisponde alla formulazione della domanda.
Perché il calcolatore a volte usa il complementare?
Poiché tutte le probabilità sommano a 1, P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1). Quando il complementare ha meno termini, a mano è più rapido e i passaggi mostrano questa strada. Il risultato è lo stesso.
Quanto può essere grande n?
Fino a 10 000 prove. I termini sono calcolati con i logaritmi, quindi i fattoriali grandi non vanno in overflow e le probabilità restano accurate.
Quando la distribuzione binomiale non è il modello giusto?
Quando le prove non sono indipendenti o p cambia, ad esempio quando estrai senza reinserimento da un piccolo gruppo: in quel caso vale la distribuzione ipergeometrica. Quando n è grande e p è piccolo, la distribuzione di Poisson con λ = np è una buona approssimazione.
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Esercitati su Probabilità
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