Calcolatore della distribuzione normale
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Risultato
Trova le probabilità per qualsiasi distribuzione normale N(μ, σ²): l’area a sinistra o a destra di un valore, tra due valori o in entrambe le code. Le modalità inverse risalgono da un’area al valore x, ed è così che si trovano percentili e punteggi soglia. Ogni risposta mostra i punteggi z e i valori di Φ usati, così puoi confrontarli con una tavola della normale standard.
Soluzione passo passo
Standardizza
Aree sotto la curva normale standard
Formule chiave
- Punteggio z
- z = (x − μ)/σ
- Sotto x
- P(X < x) = Φ(z)
- Sopra x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tra due valori
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentile
- x = μ + z·σ
Come trovare la probabilità di una distribuzione normale
- Scrivi la media μ e la deviazione standard σ. Se ti viene data la varianza σ², calcolane prima la radice quadrata.
- Standardizza ogni valore con z = (x − μ)/σ. Il punteggio z indica di quante deviazioni standard il valore si trova sopra o sotto la media.
- Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z sotto la curva normale standard, in una tavola o con una calcolatrice.
- Combina le aree: P(X < a) = Φ(z), P(X > a) = 1 − Φ(z) e P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a).
- Per risalire da un’area, trova lo z con Φ(z) uguale all’area della coda sinistra, poi riconvertilo con x = μ + z·σ.
Domande e risposte
Qual è la differenza tra P(X < a) e P(X ≤ a)?
Per una distribuzione continua come la normale non ce n’è nessuna. La probabilità di un valore esatto è zero, quindi P(X < a) = P(X ≤ a). Per le distribuzioni discrete, come la binomiale e la di Poisson, è diverso.
Come trovo un percentile di una distribuzione normale?
Usa la modalità inversa con un’area della coda sinistra. Il 90º percentile è il valore x con P(X < x) = 0,90: z = Φ⁻¹(0,90) = 1,2816, quindi x = μ + 1,2816σ. Per una soglia del 10% superiore, usa l’area della coda destra 0,10, che dà lo stesso valore.
Cosa dice la regola 68–95–99.7?
Circa il 68% di una distribuzione normale si trova entro una deviazione standard dalla media, circa il 95% entro due (più precisamente 1,96σ) e circa il 99,7% entro tre. È un modo rapido per controllare se una risposta è nell’intervallo giusto.
Perché la mia tavola dei valori z dà una risposta leggermente diversa?
Una tavola stampata arrotonda z a due decimali e Φ(z) a quattro. La calcolatrice valuta Φ numericamente, con molta più precisione di una tavola z stampata, anche lontano nelle code, e mostra il risultato con 4 cifre significative, quindi le risposte ricavate dalla tavola possono differire nell’ultima cifra.
Quando posso usare la distribuzione normale per un problema binomiale?
Quando np e n(1 − p) sono entrambi almeno circa 10, una distribuzione binomiale è vicina a una normale con μ = np e σ = √(np(1 − p)). Aggiungi o sottrai 0,5 al limite (la correzione di continuità). Per una risposta esatta, usa il calcolatore della distribuzione binomiale.
Esercitati da solo
Esercitati su Distribuzione normale
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