Distribuzione normale: esercizi con soluzioni passo passo

Detto anche: distribuzione gaussiana · normale standardizzata · curva di Gauss

Esercizi gratuiti su Distribuzione normale con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: area in una coda, area tra due valori, percentili.

Esercizio gratuitoFacile
μ = 6567,5P = ?

Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Quale frazione è sopra 67,5 punti? Trova P(X > x) come numero decimale.

μ = 65σ = 10x = 67,5
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Su cosa ti eserciti

  1. Facilearea in una coda
  2. Mediaarea tra due valori
  3. Difficilepercentili

Come risolvere gli esercizi di Distribuzione normale

  1. Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
  3. Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
  4. Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Errori comuni

  • Leggere la tabella per la coda sbagliata.
  • Dimenticare di dividere per σ.
  • Usare il segno di z al contrario per i percentili sotto il 50%.

Formule chiave

Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Sotto x
P(X < x) = Φ(z)
Sopra x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentile
x = μ + z·σ

Impara Distribuzione normale da zero

Prima di questo: Statistica descrittiva

1La curva a campana

Molte grandezze, come le altezze, i punteggi del QI o il peso dei pacchetti prodotti da una macchina, seguono una distribuzione normale. La maggior parte dei valori sta vicino al centro, e i valori lontani sono rari.

Il grafico è una campana simmetrica. Ha due numeri: la media μ, dove sta la cima, e la deviazione standard σ, che determina la larghezza.

7085100μ115130

L’idea chiave: una probabilità è un’area sotto la curva. L’area totale è 1. La metà sinistra ombreggiata ha area 0,5, quindi metà di tutti i valori sta sotto la media.

Circa il 68% dei valori sta entro una σ dalla media, e circa il 95% entro due σ.

Autoverifica I pacchetti hanno un peso distribuito normalmente con media 500 g. Quale frazione dei pacchetti pesa meno di 500 g?
  1. 0,5
  2. 0,68
  3. 0,95
  4. Dipende da σ

Risposta: 0,5. La curva è simmetrica attorno alla media, quindi esattamente metà dell’area sta sotto μ, qualunque sia σ. 0,68 è l’area entro una σ su entrambi i lati.

2Punteggi z e la tabella

Ogni distribuzione normale diventa la stessa curva normale standard (media 0, σ = 1) quando converti un valore x in un punteggio z:

z = (x − μ) / σ

La tabella dà Φ(z): l’area a sinistra di z. Per esempio Φ(1,2) = 0,8849, quindi l’88,49% dei valori sta sotto z = 1,2.

  • Sotto x: P(X < x) = Φ(z).
  • Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z), perché l’area totale è 1.
  • Per uno z negativo: Φ(−z) = 1 − Φ(z), per simmetria. Quindi Φ(−1,2) = 0,1151.

Valori che incontrerai spesso: Φ(1) = 0,8413, Φ(1,5) = 0,9332, Φ(2) = 0,9772.

Autoverifica Φ(1,2) = 0,8849. Quanto vale P(Z > 1,2)?
  1. 0,1151
  2. 0,3849
  3. 0,8849
  4. 1,2

Risposta: 0,1151. La tabella dà l’area a sinistra. L’area a destra è 1 − 0,8849 = 0,1151. Usare direttamente 0,8849 significa leggere la coda sbagliata.

3Tra due valori e percentili

Per l’area tra due valori, sottrai le due aree a sinistra: tutto ciò che sta sotto il valore superiore, meno tutto ciò che sta sotto il valore inferiore.

P(x₁ < X < x₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁)

Un percentile funziona al contrario. Il 90° percentile è il valore con il 90% dell’area alla sua sinistra.

  • Trova lo z con Φ(z) uguale all’area. Per il 90%, z = 1,2816. Per l’80%, z = 0,8416.
  • Riconverti in x: x = μ + z · σ.

Per un percentile sotto il 50%, z è negativo. Il 10° percentile ha z = −1,2816.

Autoverifica I punteggi del QI sono normali con μ = 100 e σ = 15. Lo z per l’80° percentile è 0,8416. Quanto vale l’80° percentile?
  1. 100,8
  2. 112,6
  3. 115
  4. 87,4

Risposta: 112,6. x = 100 + 0,8416 · 15 = 112,6. Usando il segno meno si ottiene 87,4, il 20° percentile; 100,8 dimentica di moltiplicare per σ.

4Il metodo passo dopo passo

  1. Disegna la curva a campana, segna μ e il valore (o i valori), e ombreggia l’area richiesta.
  2. Converti ogni valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
  3. Cerca Φ(z), l’area a sinistra.
  4. Sotto: Φ(z). Sopra: 1 − Φ(z). Tra: Φ(z₂) − Φ(z₁).
  5. Per un percentile, vai al contrario: area → z → x = μ + zσ.
  6. Confronta con il tuo schizzo: un’area ombreggiata minore della metà deve dare un numero sotto 0,5.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

I punteggi del QI sono distribuiti normalmente con media 100 e deviazione standard 15. Quale frazione P sta tra 91 e 121?

1

Disegna l’area

91x₁100121x₂

L’area ombreggiata copre il centro e più della parte destra. Aspettati un numero un po’ sopra 0,5.

2

Punteggio z inferiore

z₁ = (91 − 100) / 15 = −9/15 = −0,6
3

Punteggio z superiore

z₂ = (121 − 100) / 15 = 21/15 = 1,4
4

Cerca entrambe le aree

Φ(1,4) = 0,9192
Φ(−0,6) = 1 − Φ(0,6) = 1 − 0,7257 = 0,2743
5

Sottrai

P = 0,9192 − 0,2743 = 0,6449

È un po’ sopra 0,5, come prevedeva lo schizzo.

Risposta

P ≈ 0,645: circa il 64,5% dei punteggi sta tra 91 e 121.

6Errori comuni

  • Leggere la coda sbagliata: usare Φ(z) quando la domanda chiede l’area sopra x.
  • Dimenticare di dividere per σ nel punteggio z.
  • Sommare le due aree a sinistra per un intervallo invece di sottrarle.
  • Usare il segno sbagliato di z per un percentile sotto il 50%.
  • Confondere σ con la varianza σ². Si divide per σ, la deviazione standard.
Autoverifica I punteggi d’esame sono normali con μ = 65 e σ = 10. Φ(−1,5) = 0,0668. Quale frazione ottiene un punteggio sopra 50?
  1. 0,0668
  2. 0,4332
  3. 0,5668
  4. 0,9332

Risposta: 0,9332. z = (50 − 65)/10 = −1,5, e P(X > 50) = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332. 0,0668 è l’area sotto 50: la coda sbagliata. La maggior parte degli studenti ottiene più di 50, quindi la risposta deve essere grande.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: l’area in una coda. Trova P(X < x) o P(X > x) con un solo punteggio z.
  • Medio: l’area tra due valori, Φ(z₂) − Φ(z₁), come nell’esempio.
  • Difficile: percentili. Trova il valore sotto il quale sta l’80% o il 90% dei dati.

Fai sempre prima uno schizzo. Uno schizzo di dieci secondi evita la maggior parte degli errori sulle code.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
μ = 3236,8P = ?

Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Quale frazione è sopra 36,8 min? Trova P(X > x) come numero decimale.

μ = 32σ = 6x = 36,8

Calcola P(X > x)

Mostra i suggerimenti
  1. Calcola il punteggio z: z = (x − μ)/σ.
  2. z = (36,8 − 32)/6 = 0,8.
  3. L’area a destra è 1 − Φ(z).
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggio z

z = (36,8 − 32)/6 = 0,8

Probabilità

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Risposta

P = 0,2119

Cioè il 21,19 %.

Esempio 2Media
750 g769,7 gX + Y?

X è normale con media 250 g e deviazione standard 4 g; Y è indipendente e normale con media 500 g e deviazione standard 9 g. Trova la probabilità P che X + Y sia maggiore di 769,7 g. Arrotonda z a due decimali.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 769,7 g

Calcola P

Mostra i suggerimenti
  1. E(X + Y) = 250 + 500 = 750 g.
  2. σ = √(4² + 9²) = 9,849 g.
  3. z = (769,7 − 750)/9,849.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione della somma

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standardizza

z = (769,7 − 750)/9,849 = 2

Coda superiore

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Risposta

P = 0,02275
Esempio 3Difficile
μ = 178x = ?20%

Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trova il valore x sotto il quale si trova il 20 % dei dati (il 20° percentile).

μ = 178σ = 7P = 20%

Calcola x (cm)

Mostra i suggerimenti
  1. Procedi a ritroso: cerca nella tavola lo z con Φ(z) = P/100.
  2. z = −0,8416.
  3. Poi x = μ + z·σ.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

z del percentile

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Ritorno a x

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Risposta

x = 172,11 cm

Domande e risposte

Distribuzione normale: di cosa si tratta?

Molte grandezze, come le altezze, i punteggi del QI o il peso dei pacchetti prodotti da una macchina, seguono una distribuzione normale. La maggior parte dei valori sta vicino al centro, e i valori lontani sono rari.

Il grafico è una campana simmetrica. Ha due numeri: la media μ, dove sta la cima, e la deviazione standard σ, che determina la larghezza.

Distribuzione normale: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
  1. Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
  3. Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
  4. Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.
Distribuzione normale: quali sono gli errori più comuni?
  • Leggere la tabella per la coda sbagliata.
  • Dimenticare di dividere per σ.
  • Usare il segno di z al contrario per i percentili sotto il 50%.
Distribuzione normale: che cosa si esercita?
  • Facile: area in una coda
  • Media: area tra due valori
  • Difficile: percentili

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