Test chi quadrato: esercizi con soluzioni passo passo
Detto anche: test del chi quadrato · test χ² · tabelle di contingenza
Esercizi gratuiti su Test chi quadrato con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: bontà dell’adattamento, test di indipendenza, decisione con il valore critico.
Esercizio gratuitoFacile
Un produttore di caramelle dichiara le proporzioni di colore riportate nella tabella. Un campione casuale di 200 caramelle dà le frequenze osservate. Calcola la statistica chi quadrato di bontà dell’adattamento χ² per H₀: le proporzioni dichiarate sono corrette.
Un test del chi quadrato (χ²) confronta conteggi. Chiede se i conteggi che osservi differiscono dai conteggi che ti aspetti più di quanto farebbe il caso.
Esempio: lanci un dado 60 volte. Se è equo, ogni faccia dovrebbe uscire circa 60 · 1/6 = 10 volte. Questi sono i conteggi attesi E.
Osservi 8, 12, 9, 11, 6 e 14. Questi sono i conteggi osservati O. Non sono mai esattamente 10, nemmeno per un dado equo. La domanda è se si discostano troppo.
Come in ogni test d’ipotesi, H₀ dice che non succede nulla di speciale: il dado è equo, oppure due variabili sono indipendenti.
Autoverifica Un dado è lanciato 120 volte per verificare se è equo. Qual è il conteggio atteso per ogni faccia?
1/6
120
20
6
Risposta: 20. E = n · p = 120 · 1/6 = 20. La probabilità 1/6 non è un conteggio; devi moltiplicarla per il numero di lanci.
2La statistica test
Per ogni categoria, prendi la differenza O − E, elevala al quadrato e dividila per E. Poi somma su tutte le categorie:
χ² = Σ (O − E)² / E
L’elevamento al quadrato rende ogni termine positivo. Dividere per E fa pesare di più una differenza di 4 quando se ne aspettavano solo 10 che quando se ne aspettavano 1000.
I gradi di libertà per questo test di adattamento (bontà di adattamento) sono gdl = k − 1, dove k è il numero di categorie. Sei facce danno gdl = 5.
Un χ² grande significa che i dati si adattano male a H₀. Rifiuta H₀ se χ² è maggiore del valore critico della tabella. Con α = 0,05:
gdl 1: 3,841, gdl 2: 5,991, gdl 3: 7,815
gdl 4: 9,488, gdl 5: 11,070, gdl 6: 12,592
Per il dado, 4,2 è sotto 11,070, quindi non ci sono prove che sia truccato.
Autoverifica Una categoria ha O = 14 ed E = 10. Quanto aggiunge a χ²?
0,4
1,6
16
4
Risposta: 1,6. (14 − 10)²/10 = 16/10 = 1,6. Dimenticare di elevare al quadrato dà 0,4, e dimenticare di dividere per E dà 16.
3Il test di indipendenza
Una tabella di contingenza conta i casi secondo due variabili insieme, come il trattamento (righe) e il risultato (colonne). H₀: le due variabili sono indipendenti.
Se sono indipendenti, il conteggio atteso in ogni cella segue dai totali:
E = totale di riga × totale di colonna / totale generale
Poi χ² si calcola con la stessa formula di prima, su ogni cella della tabella, senza i totali.
df = (r − 1)(c − 1)
Qui r è il numero di righe e c il numero di colonne, senza contare i totali. Una tabella 2×2 ha gdl = 1.
Autoverifica In una tabella con totale generale 120, una cella ha totale di riga 40 e totale di colonna 30. Qual è il suo conteggio atteso?
10
1200
3
70
Risposta: 10. E = 40 · 30 / 120 = 1200/120 = 10. 1200 dimentica di dividere per il totale generale.
4Il metodo passo dopo passo
Enuncia H₀: le proporzioni dichiarate sono corrette (adattamento), oppure le variabili sono indipendenti.
Calcola ogni conteggio atteso: E = n · p, oppure totale di riga × totale di colonna / totale generale.
Per ogni cella, calcola (O − E)²/E. Sommali tutti per ottenere χ².
Trova gdl: k − 1 per l’adattamento, (r − 1)(c − 1) per l’indipendenza.
Cerca il valore critico per quel gdl con α = 0,05.
Rifiuta H₀ se χ² è maggiore del valore critico. Esprimi la conclusione a parole.
Controllo: i conteggi attesi di ogni riga e colonna sommano agli stessi totali dei conteggi osservati.
5Un esempio svolto
Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.
Esempio svolto
In una sperimentazione, 120 pazienti ricevono un nuovo farmaco (riga A) e 100 un placebo (riga B). La colonna 1 conta i pazienti migliorati, la colonna 2 quelli non migliorati. Verifica con α = 0,05 se il risultato è indipendente dal trattamento.
1
Leggi la tabella
Totali di riga: 120 e 100. Totali di colonna: 110 e 110. Totale generale: 220.
Un dado viene lanciato 300 volte per verificare se è equo. Sono riportate le frequenze di ciascuna faccia. Calcola la statistica chi quadrato di bontà dell’adattamento χ² per H₀: ogni faccia ha probabilità 1/6.
n = 300k = 6
Calcola χ²
Mostra i suggerimenti
Frequenze attese sotto H₀: E = n·p per ogni categoria.
E = 50, 50, 50, 50, 50, 50.
Somma (O − E)²/E su tutte le categorie.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Test chi quadrato: confronta le frequenze osservate O con le frequenze E attese sotto H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Bontà dell’adattamento: E = n·p per ogni categoria, gl = k − 1 (meno uno in più per ogni parametro stimato dai dati). Indipendenza in una tabella r × c: E = totale di riga × totale di colonna / totale generale, gl = (r − 1)(c − 1). Rifiuta H₀ quando χ² supera il valore critico per l’α scelto.
gl = 5. Con α = 0,05 il valore critico è 11,070, quindi H₀ non viene rifiutata.
Esempio 2Media
La tabella di contingenza riporta le frequenze osservate. Calcola la statistica chi quadrato χ² per il test di indipendenza tra la variabile di riga e quella di colonna. Non usare la correzione di continuità.
N = 1802 × 2
Calcola χ²
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Frequenza attesa di ogni cella: E = totale di riga × totale di colonna / totale generale.
E = 32, 48 | 40, 60.
Somma (O − E)²/E su tutte le 4 celle.
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Test chi quadrato: confronta le frequenze osservate O con le frequenze E attese sotto H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Bontà dell’adattamento: E = n·p per ogni categoria, gl = k − 1 (meno uno in più per ogni parametro stimato dai dati). Indipendenza in una tabella r × c: E = totale di riga × totale di colonna / totale generale, gl = (r − 1)(c − 1). Rifiuta H₀ quando χ² supera il valore critico per l’α scelto.
gl = 1. Con α = 0,05 il valore critico è 3,841, quindi H₀ (indipendenza) non viene rifiutata.
Esempio 3Difficile
Si esegue un test chi quadrato di indipendenza su una tabella di contingenza con 2 righe e 6 colonne (totali esclusi). Quanti gradi di libertà df ha il test?
2 × 6
Calcola df
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I gradi di libertà contano quante celle possono variare liberamente una volta fissati i totali (ed eventuali parametri stimati).
Bontà dell’adattamento: k − 1, meno uno per ogni parametro stimato.
Indipendenza: (r − 1)(c − 1).
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Test chi quadrato: confronta le frequenze osservate O con le frequenze E attese sotto H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Bontà dell’adattamento: E = n·p per ogni categoria, gl = k − 1 (meno uno in più per ogni parametro stimato dai dati). Indipendenza in una tabella r × c: E = totale di riga × totale di colonna / totale generale, gl = (r − 1)(c − 1). Rifiuta H₀ quando χ² supera il valore critico per l’α scelto.
Gradi di libertà
df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5
Risposta
df = 5
Domande e risposte
Test chi quadrato: di cosa si tratta?
Un test del chi quadrato (χ²) confronta conteggi. Chiede se i conteggi che osservi differiscono dai conteggi che ti aspetti più di quanto farebbe il caso.
Esempio: lanci un dado 60 volte. Se è equo, ogni faccia dovrebbe uscire circa 60 · 1/6 = 10 volte. Questi sono i conteggi attesi E.
Test chi quadrato: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
Test chi quadrato: confronta le frequenze osservate O con le frequenze E attese sotto H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Bontà dell’adattamento: E = n·p per ogni categoria, gl = k − 1 (meno uno in più per ogni parametro stimato dai dati). Indipendenza in una tabella r × c: E = totale di riga × totale di colonna / totale generale, gl = (r − 1)(c − 1). Rifiuta H₀ quando χ² supera il valore critico per l’α scelto.
Test chi quadrato: quali sono gli errori più comuni?
Dividi ogni differenza al quadrato per la frequenza attesa E, non per la frequenza osservata O.
Dividi ogni differenza al quadrato per la sua frequenza attesa E prima di sommare, non il totale per n.
Le frequenze attese derivano dai totali marginali, non dalla ripartizione uniforme del totale: E = totale di riga × totale di colonna / totale generale.
Test chi quadrato: che cosa si esercita?
Facile: bontà dell’adattamento
Media: test di indipendenza
Difficile: decisione con il valore critico
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta. Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
Come funziona l’esercitazione
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta.
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