Limiti: esercizi con soluzioni passo passo

Detto anche: calcolo dei limiti · teorema di de l’Hôpital · forme indeterminate

Esercizi gratuiti su Limiti con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: sostituzione diretta e scomposizione, limiti all’infinito, Regola di de l’Hôpital.

Esercizio gratuitoFacile
xy9x = 9

Calcola il limite L = limx→9 (√x − 3)/(x − 9).

f(x) = (√x − 3)/(x − 9)x → 9
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Su cosa ti eserciti

  1. Facilesostituzione diretta e scomposizione
  2. Medialimiti all’infinito
  3. DifficileRegola di de l’Hôpital

Formule chiave

Sostituzione diretta
prova prima x = a; 0/0 significa che devi semplificare
Scomponi e semplifica
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Coniugato
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limiti all’infinito
dividi per la potenza più alta di x; a gradi uguali il limite è il rapporto dei coefficienti direttivi
Limite notevole
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Regola di de l’Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Impara Limiti da zero

1Che cos’è un limite

Un limite descrive il valore a cui una funzione si avvicina quando x si avvicina a un certo numero. Non importa che cosa succede esattamente in quel numero.

Prendi f(x) = (x² − 1)/(x − 1). In x = 1 ottieni 0/0, che non ha valore. Ma puoi provare numeri vicini a 1.

  • x = 0,9 dà f = 1,9.
  • x = 0,99 dà f = 1,99.
  • x = 1,01 dà f = 2,01.

I valori si avvicinano sempre di più a 2. Scriviamo:

limx→1 (x² − 1)/(x − 1) = 2
xy12(1, 2)

Il grafico è una retta con un punto mancante, un buco in (1, 2). Il limite è l’altezza del buco.

Autoverifica Una funzione g dà g(2,9) = 5,9, g(2,99) = 5,99 e g(3,01) = 6,01. Non è definita in x = 3. Qual è il limite per x → 3?
  1. 3
  2. 5,99
  3. 6
  4. Non esiste, perché g(3) non è definita

Risposta: 6. I valori si avvicinano a 6 da entrambi i lati, quindi il limite è 6. Un limite guarda solo i valori vicini a x = 3, mai x = 3 stesso.

2Sostituzione, 0/0 e scomposizione

Prova sempre per prima la sostituzione diretta: inserisci il numero. Se ottieni un numero ordinario, quello è il limite.

limx→2 (x² + 3x) = 4 + 6 = 10

Se ottieni 0/0, non hai finito. 0/0 si chiama forma indeterminata: è un segnale per semplificare, non una risposta.

Di solito numeratore e denominatore hanno un fattore comune che si annulla in quel punto. Scomponi entrambi, semplifica il fattore comune, poi sostituisci di nuovo.

(x² − 9)/(x − 3) = (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3

Quindi il limite per x → 3 è 3 + 3 = 6. Schemi di scomposizione utili:

  • x² − a² = (x − a)(x + a)
  • x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²)
  • x³ + a³ = (x + a)(x² − ax + a²)
  • Un trinomio come x² − x − 30 si scompone in (x − 6)(x + 5): trova due numeri il cui prodotto è −30 e la cui somma è −1.

Con una radice quadrata, moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato: (√x − 2)(√x + 2) = x − 4.

Autoverifica Quanto vale limx→2 (x² − 4)/(x − 2)?
  1. 0
  2. 2
  3. 4
  4. Non esiste, perché si ottiene 0/0

Risposta: 4. La sostituzione dà 0/0, quindi scomponi: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, che vale 4 in x = 2. Fermarsi a 0/0 è l’errore che porta a “non esiste”.

3Limiti all’infinito e regola di de L’Hôpital

x → ∞ significa che x cresce senza fine. Per una frazione di polinomi, quando x è enorme contano solo le potenze più alte.

Dividi ogni termine per la potenza più alta di x al denominatore. Termini come 4/x e 7/x² tendono a 0.

(6x² + x)/(3x² − 5) = (6 + 1/x)/(3 − 5/x²) → 6/3 = 2
  • Stessa potenza più alta al numeratore e al denominatore: il limite è il rapporto dei coefficienti direttori.
  • Potenza più alta al denominatore: il limite è 0.
  • Potenza più alta al numeratore: la frazione cresce senza fine, quindi non esiste un limite finito.

Per √(x² + 6x) − x, moltiplica per il coniugato. Ottieni 6x/(√(x² + 6x) + x), che tende a 6/(1 + 1) = 3.

Regola di de L’Hôpital: se la sostituzione dà 0/0 o ∞/∞, puoi sostituire numeratore e denominatore con le rispettive derivate, ciascuno per conto suo.

limx→0 (eˣ − 1)/x = limx→0 eˣ/1 = 1

Se ottieni di nuovo 0/0, applica la regola un’altra volta. I limiti trigonometrici usano sempre x in radianti.

Autoverifica Quanto vale limx→∞ (4x² + 1)/(2x² + 3x)?
  1. 0
  2. 2
  3. ½
  4. ∞

Risposta: 2. Le potenze più alte sono uguali (x²), quindi il limite è il rapporto dei coefficienti direttori: 4/2 = 2. ½ deriva dal dividere al contrario.

4Il metodo passo dopo passo

  1. Sostituisci il numero. Un numero ordinario è la risposta.
  2. Se ottieni 0/0, scomponi numeratore e denominatore, oppure moltiplica per il coniugato se c’è una radice.
  3. Semplifica il fattore comune e sostituisci di nuovo.
  4. Se x → ∞, dividi ogni termine per la potenza più alta di x e lascia che termini come a/x tendano a 0.
  5. Se la scomposizione non funziona (eˣ, sin, cos, ln), usa la regola di de L’Hôpital sulla forma 0/0 o ∞/∞.
  6. Verifica con un numero molto vicino al punto, per esempio x = 1,001.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Trova L = limx→−2 (x³ + 8)/(x + 2).

1

Prova la sostituzione

((−2)³ + 8)/(−2 + 2) = (−8 + 8)/0 = 0/0

Questa è la forma indeterminata 0/0, quindi devi prima semplificare.

2

Scomponi il numeratore

8 = 2³, quindi il numeratore è una somma di cubi con a = 2.

x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4)
3

Semplifica il fattore comune

(x + 2)(x² − 2x + 4)/(x + 2) = x² − 2x + 4

Questo è lecito perché x si avvicina soltanto a −2, quindi x + 2 non è mai esattamente 0.

4

Sostituisci di nuovo

(−2)² − 2·(−2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
5

Controlla il risultato

Prova x = −1,99: (−7,880599 + 8)/0,01 = 11,94, che è vicino a 12.

xy−212

Il grafico è la parabola x² − 2x + 4 con un buco in (−2, 12).

Risposta

L = 12

6Errori comuni

  • Scrivere 0/0 come risposta, oppure dire che il limite non esiste. 0/0 significa: semplifica prima.
  • Usare la regola di de L’Hôpital quando la sostituzione non dà 0/0 o ∞/∞.
  • Usare la regola del quoziente nella regola di de L’Hôpital. Derivare numeratore e denominatore separatamente.
  • All’infinito, confrontare i primi termini scritti invece delle potenze più alte.
  • Usare i gradi invece dei radianti nei limiti con sin o cos.
Autoverifica Quanto vale limx→1 (x² + 1)/(x + 1)?
  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. Non esiste

Risposta: 1. La sostituzione dà 2/2 = 1, un numero ordinario, quindi quello è il limite. Usare qui de L’Hôpital (2x/1 = 2) è sbagliato, perché la forma non era 0/0.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: sostituzione diretta e scomposizione. La sostituzione dà 0/0, poi scomponi e semplifichi, come nell’esempio.
  • Medio: limiti all’infinito. Dividi per la potenza più alta, oppure usa il coniugato per una radice come √(x² + 4x) − x.
  • Difficile: la regola di de L’Hôpital, per esempio (eˣ − 1 − x)/x² o (1 − cos 3x)/x² per x → 0. Potresti dover applicare la regola due volte.

Un controllo rapido: inserisci con la calcolatrice un numero molto vicino al punto. Il risultato dovrebbe essere vicino alla tua risposta.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
xyx = 1

Calcola il limite L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1).

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

Calcola L

Mostra i suggerimenti
  1. La sostituzione dà 0/0. Scomponi il numeratore.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Limiti: prova prima la sostituzione diretta. Se dà 0/0, semplifica prima: scomponi e semplifica il fattore comune, oppure moltiplica per il coniugato. Per x → ∞, dividi numeratore e denominatore per la potenza più alta di x. Regola di de l’Hôpital: se f/g dà 0/0 o ∞/∞, allora lim f/g = lim f′/g′, derivando separatamente numeratore e denominatore (non con la regola del quoziente).

Prova la sostituzione diretta

numeratore → 0 e denominatore → 0, quindi la forma è 0/0.

Scomponi e semplifica

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

Sostituisci

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

Risposta

L = 4

Questa è la derivata di xⁿ in x = a: n·aⁿ⁻¹.

Esempio 2Media
xyy = L

Calcola il limite L = limx→∞ (1 + 1/x)x. Dai un valore decimale.

f(x) = (1 + 1/x)xx → ∞

Calcola L

Mostra i suggerimenti
  1. La forma è 1^∞. Scrivi L = e^(ln L) e trova ln L.
  2. ln L = limx→∞ x·ln(1 + 1/x).
  3. Per u piccolo, ln(1 + u) ≈ u. Qui u = 1/x.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Limiti: prova prima la sostituzione diretta. Se dà 0/0, semplifica prima: scomponi e semplifica il fattore comune, oppure moltiplica per il coniugato. Per x → ∞, dividi numeratore e denominatore per la potenza più alta di x. Regola di de l’Hôpital: se f/g dà 0/0 o ∞/∞, allora lim f/g = lim f′/g′, derivando separatamente numeratore e denominatore (non con la regola del quoziente).

Prendi il logaritmo

ln L = limx→∞ x·ln(1 + 1/x)

Calcola

ln(1 + u)/u → 1 per u → 0, quindi x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·1 = 1

Elimina il logaritmo

L = e1 = 2,718

Risposta

L = 2,718
Esempio 3Difficile
xyx = 0

Calcola il limite L = limx→0 ln(1 + 2x)/sin(3x), con x in radianti.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(3x)x → 0

Calcola L

Mostra i suggerimenti
  1. In x = 0: ln 1 = 0 e sin 0 = 0, quindi la forma è 0/0.
  2. (ln(1 + 2x))′ = 2/(1 + 2x), (sin 3x)′ = 3·cos 3x.
  3. Sostituisci x = 0 in f′/g′.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Limiti: prova prima la sostituzione diretta. Se dà 0/0, semplifica prima: scomponi e semplifica il fattore comune, oppure moltiplica per il coniugato. Per x → ∞, dividi numeratore e denominatore per la potenza più alta di x. Regola di de l’Hôpital: se f/g dà 0/0 o ∞/∞, allora lim f/g = lim f′/g′, derivando separatamente numeratore e denominatore (non con la regola del quoziente).

Regola di de l’Hôpital

L = limx→0 [2/(1 + 2x)]/[3·cos 3x]

Sostituisci x = 0

L = 2/3 = 0,6667

Risposta

L = 0,6667

Domande e risposte

Limiti: di cosa si tratta?

Un limite descrive il valore a cui una funzione si avvicina quando x si avvicina a un certo numero. Non importa che cosa succede esattamente in quel numero.

Prendi f(x) = (x² − 1)/(x − 1). In x = 1 ottieni 0/0, che non ha valore. Ma puoi provare numeri vicini a 1.

Limiti: come si risolvono gli esercizi passo per passo?

Limiti: prova prima la sostituzione diretta. Se dà 0/0, semplifica prima: scomponi e semplifica il fattore comune, oppure moltiplica per il coniugato. Per x → ∞, dividi numeratore e denominatore per la potenza più alta di x. Regola di de l’Hôpital: se f/g dà 0/0 o ∞/∞, allora lim f/g = lim f′/g′, derivando separatamente numeratore e denominatore (non con la regola del quoziente).

Limiti: quali sono gli errori più comuni?
  • Mantieni ogni termine del secondo fattore: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹), e in x = a tutti gli n termini sono uguali.
  • La forma 1^∞ è indeterminata, non vale 1. Prendi prima il logaritmo naturale.
  • Mantieni la derivata del numeratore al numeratore: lim f/g = lim f′/g′.
Limiti: che cosa si esercita?
  • Facile: sostituzione diretta e scomposizione
  • Media: limiti all’infinito
  • Difficile: Regola di de l’Hôpital

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