Matrici e determinanti: esercizi con soluzioni passo passo
Detto anche: determinante · matrice inversa · calcolo matriciale
Esercizi gratuiti su Matrici e determinanti con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: determinante 2×2, 3×3 e prodotti, autovalori e sistemi.
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1Matrici e determinante 2×2
Una matrice è una tabella di numeri in righe e colonne. Una matrice con 2 righe e 3 colonne si chiama matrice 2×3: prima le righe, poi le colonne.
Gli ingegneri usano le matrici per scrivere molte equazioni insieme. Il sistema 2x + y = 5 e x − y = 1 è memorizzato come la matrice [2 1; 1 −1] dei suoi coefficienti.
Una matrice quadrata ha un numero speciale, il suo determinante, scritto det A. Per una matrice 2×2 è il prodotto di una diagonale meno il prodotto dell’altra.
det A = a·d − b·c
Per [3 1; 2 4] il determinante è 3·4 − 1·2 = 10.
Se det A = 0, la matrice non ha inversa, e il sistema di equazioni non ha un’unica soluzione.
Autoverifica Qual è il determinante di [4 2; 3 5]? (La riga 1 è 4 2, la riga 2 è 3 5.)
- 14
- 26
- 9
- −14
Risposta: 14. a·d − b·c = 4·5 − 2·3 = 20 − 6 = 14. Sommare i due prodotti dà 26, e prendere bc − ad dà −14.
2Determinanti 3×3 e prodotti
Per una matrice 3×3, sviluppa lungo la prima riga. Ogni elemento è moltiplicato per il suo minore: il determinante 2×2 che resta quando si cancellano la riga e la colonna di quell’elemento.
det A = a11·M11 − a12·M12 + a13·M13
I segni lungo la prima riga sono + − +. Questo schema dei segni è la parte più facile da dimenticare.
Un prodotto di matrici AB si costruisce con le righe di A e le colonne di B. L’elemento in riga i, colonna j è la riga i di A per la colonna j di B: moltiplica le coppie e somma.
[1 2; 3 4] · [5; 6] = [1·5 + 2·6; 3·5 + 4·6] = [17; 39]
Il prodotto esiste solo quando A ha tante colonne quante sono le righe di B. In generale AB non è uguale a BA.
Autoverifica A = [2 1; 0 3] e B = [1 4; 2 1]. Qual è l’elemento in riga 1, colonna 2 di AB?
- 13
- 4
- 6
- 9
Risposta: 9. La riga 1 di A è (2, 1) e la colonna 2 di B è (4, 1): 2·4 + 1·1 = 9. Moltiplicare solo gli elementi corrispondenti dà 1·4 = 4, e 13 è l’elemento di BA.
3Autovalori e sistemi
Un autovalore λ di A è un numero per cui A·v = λ·v per qualche vettore v ≠ 0. La matrice si limita ad allungare quel vettore, non lo ruota.
Trovi gli autovalori dall’equazione caratteristica. Qui I è la matrice identità [1 0; 0 1].
det(A − λI) = 0
Per una matrice 2×2 diventa un’equazione di secondo grado. Il suo coefficiente centrale è la traccia a + d, e il termine noto è det A:
λ² − (a + d)·λ + (ad − bc) = 0
Per [4 1; 2 3]: λ² − 7λ + 10 = 0, quindi (λ − 2)(λ − 5) = 0 e gli autovalori sono 2 e 5.
La regola di Cramer risolve un sistema con i determinanti. Sostituisci la colonna i di A con il termine noto per ottenere Ai, poi xi = det Ai / det A.
Per 2x + y = 5 e x − y = 1: det A = −3 e det Ax = 5·(−1) − 1·1 = −6, quindi x = −6/−3 = 2.
Autoverifica Qual è il maggiore degli autovalori di [2 1; 1 2]?
- 1
- 2
- 3
- 4
Risposta: 3. λ² − 4λ + 3 = 0 dà (λ − 1)(λ − 3) = 0, quindi gli autovalori sono 1 e 3. 4 è la traccia, cioè la somma degli autovalori, non uno di essi.
4Il metodo passo dopo passo
- Copia la matrice con attenzione, con ogni segno meno.
- Determinante 2×2: ad − bc.
- Determinante 3×3: per ogni elemento della prima riga, cancella la sua riga e la sua colonna e calcola il minore 2×2.
- Combina con i segni + − +: a11M11 − a12M12 + a13M13.
- Autovalori: scrivi λ² − (a + d)λ + det A = 0 e risolvi l’equazione di secondo grado.
- Controllo: una riga di zeri, o due righe uguali, dà sempre det A = 0.
Suggerimento: sviluppa lungo una riga o una colonna con molti zeri. Ogni elemento nullo ti fa risparmiare un minore.
5Un esempio svolto
Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.
Esempio svoltoTrova il determinante della matrice 3×3 A = [2 1 0; 1 3 1; 0 2 4].
1Cancella la riga 1 e la colonna 1 dell’elemento 2. Resta [3 1; 2 4].
M11 = 3·4 − 1·2 = 10
2Cancella la riga 1 e la colonna 2 dell’elemento 1. Resta [1 1; 0 4].
M12 = 1·4 − 1·0 = 4
3L’elemento a13 è 0, quindi il suo termine è 0 qualunque sia il minore. Puoi saltarlo.
4det A = 2·10 − 1·4 + 0 = 20 − 4 = 16
5Per le matrici 3×3, la regola di Sarrus dà lo stesso valore: tre prodotti delle diagonali “discendenti” meno tre prodotti delle diagonali “ascendenti”.
(2·3·4 + 1·1·0 + 0·1·2) − (0·3·0 + 2·1·2 + 1·1·4) = 24 − 8 = 16
6Errori comuni
- Dimenticare il segno meno del termine centrale nello sviluppo 3×3.
- Calcolare bc − ad invece di ad − bc.
- Perdere un segno meno quando un elemento è negativo: −2 · −3 è +6.
- Moltiplicare le matrici elemento per elemento invece che riga per colonna.
- Prendere la traccia o un elemento della diagonale come autovalore invece di risolvere l’equazione caratteristica.
Autoverifica Qual è il determinante di [1 2 0; 3 1 0; 0 0 2]?
- 10
- 14
- −10
- −14
Risposta: −10. det = 1·(1·2 − 0) − 2·(3·2 − 0) + 0 = 2 − 12 = −10. Usare + per il termine centrale dà 2 + 12 = 14, la distrazione più comune.
7Come sono fatte le domande d’esame
- Facile: il determinante di una matrice 2×2, spesso con elementi negativi. Usa ad − bc.
- Medio: un determinante 3×3 o un prodotto di matrici. Sviluppa lungo la prima riga con + − +.
- Difficile: autovalori di una matrice 2×2, oppure un’incognita di un sistema 2×2 con la regola di Cramer.
Un controllo rapido per gli autovalori: la loro somma deve essere la traccia a + d e il loro prodotto det A.
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