Risolutore di sistemi di equazioni lineari (2×2 e 3×3)
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Risultato
Risolvi un sistema di due o tre equazioni lineari. Scrivi le equazioni come le scriveresti a mano, per esempio 2x + y − z = 8, oppure inserisci la matrice completa. La calcolatrice mostra ogni operazione sulle righe dell’eliminazione di Gauss–Jordan, o i determinanti della regola di Cramer, lavora con frazioni esatte e riconosce i sistemi impossibili o con infinite soluzioni, che scrive con un parametro.
Soluzione passo passo
Il sistema
Matrice completa
Colonna 1 (x): pivot nella riga 1
Colonna 2 (y): pivot nella riga 2
Colonna 3 (z): pivot nella riga 3
Leggi la soluzione
Verifica nelle equazioni originali
Formule chiave
- determinante 2×2
- det = ad − bc
- Inversa di una 2×2
- A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
- Regola di Cramer
- xi = det(Ai)/det(A)
Come risolvere un sistema di equazioni lineari per eliminazione
- Scrivi il sistema come matrice completa: una riga per equazione, i coefficienti di x, y e z, e il termine noto dopo la barra.
- Scegli un pivot nella prima colonna (un elemento diverso da zero, meglio se 1) e, se serve, portalo nella prima riga scambiando le righe.
- Dividi la riga del pivot per il pivot, poi sottrai suoi multipli dalle altre righe per azzerare il resto della colonna.
- Ripeti per la colonna successiva e la riga successiva finché la parte dei coefficienti è in forma ridotta per righe.
- Leggi la soluzione. Una riga 0 = c con c ≠ 0 significa che non c’è soluzione; una colonna senza pivot significa una variabile libera e infinite soluzioni.
- Verifica sostituendo la soluzione nelle equazioni originali.
Domande e risposte
Quando conviene usare la regola di Cramer?
Per sistemi piccoli con determinante diverso da zero, soprattutto 2×2. Ogni incognita è un rapporto di determinanti: x = Dx/D. Per sistemi più grandi, o quando D = 0, l’eliminazione è più rapida e dice anche se non ci sono soluzioni o ce ne sono infinite.
Come capisco se un sistema non ha soluzione?
Quando l’eliminazione produce una riga con tutti i coefficienti nulli ma il termine noto diverso da zero, come 0 = 3. Geometricamente le rette o i piani non hanno alcun punto in comune, per esempio due rette parallele.
Che cosa significano infinite soluzioni?
Un’equazione è una combinazione delle altre, quindi le equazioni indipendenti sono meno delle incognite. Le soluzioni formano una retta o un piano, scritti con un parametro t: per esempio x = 2 − t, y = 1 + t, z = t.
Come inserisco le equazioni?
Separa le equazioni con punti e virgola e scrivi il coefficiente prima di ogni variabile: 2x + 3y − z = 5; x − y = 1; 4y + z = 0. Sono ammesse frazioni come 1/2x e decimali, e una variabile può comparire da entrambi i lati.
Che cos’è il rango?
Il numero di pivot dopo l’eliminazione, cioè il numero di equazioni indipendenti. Un sistema quadrato ha una soluzione unica esattamente quando il rango è uguale al numero di incognite, cioè quando il determinante è diverso da zero.
Esercitati da solo
Esercitati su Matrici e determinanti
Una calcolatrice ti dà la risposta. All’esame ti serve il metodo: esercitati con nuovi esercizi, suggerimenti e soluzioni svolte.