Calcolatore di autovalori e autovettori
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Risultato
| Autovalore | Molteplicità | Autovettore | Autovettore unitario |
|---|---|---|---|
| 5 | 1 | (2, 0, 1) | (0,8944, 0, 0,4472) |
| 3 | 1 | (1, 1, −1) | (0,5774, 0,5774, −0,5774) |
| 2 | 1 | (1, 0, −1) | (0,7071, 0, −0,7071) |
Trova gli autovalori e gli autovettori di una matrice 2×2 o 3×3. Il calcolatore sviluppa det(A − λI) nel polinomio caratteristico, lo risolve trovando gli autovalori reali o complessi con la loro molteplicità e determina gli autovettori di ogni autovalore reale risolvendo (A − λI)v = 0. Ogni autovettore viene verificato calcolando A·v e, per gli autovalori ripetuti, mostra se la matrice è diagonalizzabile.
Soluzione passo passo
Equazione caratteristica det(A − λI) = 0
Autovalori
Autovettore (λ = 5)
Autovettore (λ = 3)
Autovettore (λ = 2)
Formule chiave
- Autovalori
- det(A − λI) = 0
Come trovare autovalori e autovettori
- Sottrai λ da ogni elemento della diagonale di A per ottenere A − λI.
- Poni il determinante uguale a zero: det(A − λI) = 0. Per una matrice 2×2 diventa λ² − (tr A)λ + det A = 0; per una 3×3 è un’equazione cubica.
- Risolvi l’equazione caratteristica. Verifica: la somma degli autovalori è la traccia e il loro prodotto è il determinante.
- Per ogni autovalore, risolvi (A − λI)v = 0 con la riduzione per righe. Le soluzioni formano una retta (o un piano); ogni vettore non nullo al suo interno è un autovettore.
- Controlla ogni autovettore: A·v deve essere uguale a λ·v.
Domande e risposte
Come inserisco la matrice?
Scrivi le righe separate da punti e virgola e i numeri di ogni riga separati da spazi, ad esempio 4 1 2; 0 3 0; 1 -1 3 per una matrice 3×3. Sono ammessi decimali e numeri negativi.
Perché una matrice può avere autovalori complessi?
Il polinomio caratteristico può avere radici complesse e, per una matrice reale, compaiono sempre in coppie coniugate. La matrice di rotazione 0 -1; 1 0 ha autovalori ±i, perché nessun vettore reale mantiene la sua direzione in una rotazione.
Cosa significa un autovalore ripetuto?
Una radice del polinomio caratteristico con molteplicità 2 o 3. La matrice può comunque avere altrettanti autovettori indipendenti, come la matrice identità, oppure meno. Con meno è difettiva e non può essere diagonalizzata.
L’autovettore è unico?
No. Qualsiasi multiplo non nullo di un autovettore è a sua volta un autovettore. Il calcolatore mostra una forma semplice, con numeri interi dove possibile, e il versore di lunghezza 1.
A cosa servono gli autovalori?
Danno le frequenze naturali dei sistemi vibranti, le tensioni principali di un tensore delle tensioni, la stabilità dei sistemi di equazioni differenziali e le direzioni principali nell’analisi delle componenti principali.
Esercitati da solo
Esercitati su Matrici e determinanti
Una calcolatrice ti dà la risposta. All’esame ti serve il metodo: esercitati con nuovi esercizi, suggerimenti e soluzioni svolte.