Metodi numerici: esercizi e domande d’esame

Calcolare risposte che non hanno una formula: radici di equazioni con bisezione e Newton–Raphson, interpolazione nelle tabelle, integrazione numerica con le regole dei trapezi e di Simpson, ed equazioni differenziali con Eulero, Heun e Runge–Kutta. Gli esami chiedono alcune iterazioni in una tabella e la dimensione dell’errore.

Esercitati gratis su questo corsoEsercitati su questo corsoFai una simulazione d’esame5 esercizi gratuiti ogni giorno. Nessuna carta richiesta.

Pacchetto last-minute (PDF)Formulari, passaggi del metodo ed esercizi con soluzioni complete, pronti da stampare.

Argomenti di questo corso

  1. Metodi numericiradici e interpolazione · regole dei trapezi e di Simpson · Eulero, Heun e Runge–Kuttacalcoli
  2. Successioni e serieserie aritmetiche e geometriche · convergenza e serie di potenze · polinomi di Taylor e Maclaurincalcoli
  3. Matrici e determinantideterminante 2×2 · 3×3 e prodotti · autovalori e sistemicalcoli
  4. Equazioni differenzialicrescita e decadimento esponenziale · Legge di raffreddamento di Newton · lineari del primo ordinecalcoli

Consigli per l’esame di Metodi numerici

  • Mantieni almeno sei cifre significative in ogni iterata e arrotonda solo la risposta finale.
  • Scrivi i pesi della regola di integrazione sotto la tabella dei valori prima di sommare qualsiasi cosa.
  • Usa i polinomi di Taylor per spiegare l’errore: l’errore di Eulero è proporzionale a h, quello di Simpson a h⁴.

Esempi svolti

Metodi numericiFacile

Il metodo di bisezione parte da un intervallo di lunghezza 4. A ogni passo l’intervallo si dimezza. Quanti passi n servono almeno prima che l’intervallo sia più corto di 0,0001?

b − a = 4ε = 0,0001

Calcola n

Mostra i suggerimenti
  1. Dopo n passi l’intervallo ha lunghezza (b − a)/2ⁿ.
  2. Risolvi 4/2ⁿ < 0,0001, quindi 2ⁿ > 40000.
  3. n > log₂(40000) = 15,29
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Ricerca delle radici e interpolazione: il metodo di bisezione mantiene un intervallo [a, b] in cui f cambia segno; a ogni passo prende il punto medio c = (a + b)/2 e tiene la metà in cui il segno cambia ancora, così dopo n passi l’intervallo è largo (b − a)/2ⁿ. Newton–Raphson segue la retta tangente fino all’asse: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn); vicino a una radice semplice raddoppia circa il numero di cifre corrette a ogni passo. Interpolazione lineare tra due punti della tabella: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).

Condizione

4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000

Logaritmo

n > ln(40000)/ln 2 = 15,29
n = 16

Verifica

2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536

Risposta

n = 16
Successioni e serieMedia
kSn​12345678910S = ?

Trova la somma S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Calcola S

Mostra i suggerimenti
  1. Fratti semplici: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Scrivi i primi termini: la maggior parte si semplifica (una somma telescopica).
  3. Ciò che resta è (12/3)·(1 + … + 1/3).
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Convergenza: se i termini non tendono a 0 la serie diverge (criterio del termine n-esimo). Σ1/kᵖ converge solo per p > 1, e Σrᵏ solo per |r| < 1. Confronta una serie con una di queste quando i suoi termini si comportano come loro per k grande. Criterio del rapporto: L = lim |ak+1/ak|; criterio della radice: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 non decide nulla. Una serie di potenze Σck(x − x₀)ᵏ converge per |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie a segni alterni con termini decrescenti a 0 converge.

Fratti semplici

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Annulla

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Risposta

S = 7,333

Come funziona l’esercitazione

  • “Esercitati su questo corso” mescola esercizi di tutti i suoi argomenti, come in un vero esame.
  • Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta.
  • Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
  • Le simulazioni d’esame sono a tempo e senza suggerimenti; alla fine ricevi il punteggio e una revisione completa.

Calcolatrici per questo corso

Calcolatrice del determinante e della matrice inversaCalcolatore di autovalori e autovettoriCalcolatrice del tempo di dimezzamento e del decadimento esponenzialeRisolutore di sistemi di equazioni lineari (2×2 e 3×3)

Corsi correlati

Analisi matematica 2 per l’ingegneriaMatematica per l’ingegneriaEquazioni differenzialiAnalisi 2Esercizi per AP CalculusAnalisi matematica 1StatisticaStatistica 2: Inferenza statistica
Esercitati gratis su questo corsoEsercitati su questo corsoFai una simulazione d’esame5 esercizi gratuiti ogni giorno. Nessuna carta richiesta.